Coseno di un angolo

Coseno di un angolo
Per definire la funzione matematica coseno di un
angolo, si prende in considerazione un triangolo
rettangolo, [ABC].
Gli elementi di un
triangolo rettangolo sono:
[AC] = ipotenusa
[AB] = Cateto
[BC] = Cateto
Un angolo è caratterizzato da tre elementi:
a) Un vertice;
b) Due lati
Si considera l’angolo acuto  = [BAC].
Definizione: Il coseno dell’angolo =[BAC] è il
rapporto tra il cateto, [AB], che forma l’angolo  e
l’ipotenusa, [AC].

AB 
cos  
AC
Si considera l’altro angolo acuto  = [BCA].
Definizione: Il coseno dell’angolo =[BCA] è il
rapporto tra il cateto, [BC], che forma l’angolo  e
l’ipotenusa, [AC].

BC
cos  
AC
Osservazione:
Dalla definizione di coseno degli angoli  e 

AB 
cos  
AC

BC
cos  
AC
Si nota che il denominatore, [AC], è maggiore dei
due numeratori. Ciò significa che i valori dei due
coseni sono inferiori o uguali ad uno.

AB 
cos  
1
AC

BC
cos  
1
AC
Per generalizzare la definizione della funzione
coseno, si abbandona l’ambito ristretto ma
importante del triangolo rettangolo, e si prende in
considerazione una circonferenza trigonometrica.
La circonferenza ha la caratteristica di avere un
raggio pari all’unità. Se il raggio fosse diverso
dall’unità, il valore del coseno di un angolo non
cambierebbe (tale affermazione sarà dimostrata in
seguito.) La scelta del raggio unitario, pertanto, sarà
(come si vedrà nella esposizione) di pura comodità.
Si consideri la circonferenza goniometrica, c. Nella
circonferenza viene individuato l’angolo . In una
circonferenza
goniometrica
un
angolo,
per
convenzione, è individuato dai seguenti elementi:
1) Il vertice dell’angolo
coincide con l’origine, O,
degli assi cartesiani;
2) Un lato coincide con
l’asse delle ascisse positive;
3) Il secondo lato, b, è
quello variabile, la cui
posizione
dipende
dall’ampiezza dell’angolo.
Il lato, b, variabile incontra la circonferenza nel punto
A. La coordinate del punto A sono: A(xA, yA).
Dal punto A si traccia la perpendicolare all’asse x.
L’intersezione tra l’asse
x e la perpendicolare è il
punto B.
Le coordinate del punto
B sono: B(xB, 0).
I punti A e B hanno le
stesse ascisse:
xA = yA
Definizione di coseno di un angolo.
Il coseno dell’angolo  è il
rapporto tra il lato [OB],
cateto
del
triangolo
rettangolo
[OBA]
e
coincidente con l’asse delle
ascisse positive, ed il raggio
della circonferenza, che
coincide con l’ipotenusa del
triangolo rettangolo:

OB  OB 
cos  

OA  R
Definizione di coseno di un angolo.
Pertanto, in riferimento ad
una circonferenza
goniometrica di raggio
unitario, il coseno di un
angolo viene definito come
l’ascissa del punto di
intersezione del lato
variabile dell’angolo con la
circonferenza.
cos   x A
Valori particolari del coseno di un angolo.
Se l’angolo è nullo
= 0 rad = 0°
i punti A e B coincidono e si
trovano entrambi sulla
circonferenza.
Pertanto
xA = xB = 1
Quindi il coseno
dell’angolo nullo vale:
cos 0  cos 0  1
Valori particolari del coseno di un angolo.
Se l’angolo  è
00    900

0 
2
0  cos   1
cioè se il punto A si trova
nel primo quadrante, per
cui la sua ascissa è positiva,
allora il valore del coseno è
positivo e minore dell’unità
Valori particolari del coseno di un angolo.
Se l’angolo  è retto
  90


2
0
L’ascissa del punto A è
nulla
xA = xB = 0
Pertanto il valore del coseno
è nullo.

cos 90  cos  0
2
0
Valori particolari del coseno di un angolo.
Se l’angolo  è ottuso
90    180
0
0


2
Il punto A si trova nel
secondo quadrante e la sua
ascissa è negativa
xA = xB < 0
Pertanto il valore del coseno
è negativo.
cos   0
0
Valori particolari del coseno di un angolo.
Se l’angolo  è piatto
  180
0

Il punto A coincide con il
punto B e la sua ascissa è
negativa.
xA = x B < 0
Il suo valore assoluto è
uno. Pertanto il valore del
coseno dell’angolo piatto è
cos 180  cos   1
0
Valori particolari del coseno di un angolo.
Se l’angolo  è
180    270
0
0
3
 
2
il punto A si trova nel terzo
quadrante e la sua ascissa è
negativa ma maggiore di -1.
Quindi il valore del coseno è:
 1  cos   0
Valori particolari del coseno di un angolo.
Se l’angolo  vale
  270
0
3
 
2
il punto A ha ascissa nulla,
per cui il valore del coseno è
zero.
cos   0
Valori particolari del coseno di un angolo.
Se l’angolo  è compreso
nell’intervallo
270 0    360 0
3
    2
2
il punto A si trova nel quarto
quadrante e la sua ascissa è
positiva e minore dell’unità.
Quindi il calore del coseno è:
0  cos   1
Valori particolari del coseno di un angolo.
Se  è un angolo giro
  360 0
  2 
il punto A coinciderà con il
punto B, la sua ascissa è
positiva ed il suo valore è
uno. Pertanto il valore del
coseno è:
cos   1
Dall’analisi dei valori del coseno di un angolo per diversi
valori degli stessi, si nota che il valore del coseno è un
numero reale compreso in un intervallo i cui estremi sono -1
e 1.
 1  cos   1
cos    1, 1
Per angoli superiori ad un angolo giro, i valori del coseno si
ripetono. Cioè il coseno è una funzione periodica
Grafico della funzione coseno