quadrilatero

Il quadrilatero è il più comune tra i poligoni ed è presente nelle
forme e negli oggetti che ci circondano.
DOMANDA
Costruibilità di un quadrilatero
Attività didattica:
Costruiamo dei quadrilateri con cartoncino e
graffette a farfalla e facciamo notare che i
quadrilateri sono figure deformabili rispetto ai
triangoli.
Domande:
- Quanti vertici hanno?
- Quanti lati hanno?
- Quanti angoli hanno?
- Quante diagonali hanno?
- I lati, gli angoli e i vertici sono in ugual numero?
Definizione: Un poligono con quattro lati e quattro angoli si dice quadrilatero.
Possiamo notare che il quadrilatero può essere
visto come la somma di due triangoli:
La somma degli angoli interni di un quadrilatero è
sempre 360°.
Osservazione
Osserviamo questi oggetti ed individuiamo tra essi i trapezi presenti:
Definizione: Il trapezio è
un quadrilatero particolare
avente 2 lati paralleli; se gli
altri due non sono paralleli si
dicono lati obliqui.
Possiamo notare che le rette r ed r’, parallele tra loro, se tagliate da due trasversali
s ed s’, formano coppie di angoli coniugati interni che sono supplementari.
I trapezi possono essere classificati in tre categorie:
 isoscele
 scaleno
 rettangolo
Trapezio scaleno
Non gode di particolari proprietà; i lati obliqui non sono congruenti
Trapezio rettangolo
I lati obliqui non sono congruenti ed uno di essi è perpendicolare alle basi
Trapezio isoscele
Il trapezio isoscele ha i lati obliqui congruenti
Attività didattica:
Creiamo, con cartoncino e forbici, un trapezio isoscele e disegniamo la
perpendicolare alle due basi passante per i punti medi. Procediamo come in figura:
Ripiegando il cartoncino lungo
la perpendicolare MN, notiamo
che le due parti coincidono.
DOMANDA
Cosa si può
dedurre?
Riutilizziamo
il
trapezio
precedente e disegniamo le due
perpendicolari AH e DK.
Come prima ripieghiamo
il cartoncino lungo la
perpendicolare MN.
DOMANDA
Cosa si può
dedurre?
Adesso creiamo un altro trapezio, in carta velina, uguale al primo e tracciamo le
diagonali come in figura.
Ribaltando orizzontalmente il secondo trapezio e sovrapponendolo sul primo,
notiamo che le diagonali coincidono
DOMANDA
Cosa si può
dedurre?
Le diagonali di un trapezio isoscele sono congruenti
OSSERVAZIONE: Possiamo osservare che un trapezio rettangolo, isoscele o
scaleno, può essere ottenuto tagliando un triangolo rispettivamente rettangolo,
isoscele o scaleno con una retta parallela alla base:
Definizione: Si dice parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti
a due a e paralleli.
Ovviamente il parallelogramma possiede le proprietà dei trapezi a cui si aggiungono
le seguenti:
1. In un parallelogramma gli angoli
opposti sono congruenti
sono
angoli
coniugati
interni
rispetto a coppie di rette parallele tagliate
da una trasversale e quindi supplementari
2. In un parallelogramma i lati opposti sono congruenti
Consideriamo un parallelogramma e la sua diagonale AC: questa lo divide in
due triangoli che sono congruenti per il III criterio di congruenza dei
triangoli. Come conseguenza possiamo dire che gli angoli B e D sono
congruenti.
Se consideriamo la diagonale BD, faremmo le stesse deduzioni per cui
otterremmo che anche gli angoli A e C sono congruenti.
3. In un parallelogramma le diagonali si incontrano in un punto che le
divide in due parti congruenti (punto medio)
Consideriamo il parallelogramma ABCD e le sue diagonali: notiamo che si
incontrano in un punto O.
Tagliamo il parallelogramma in due triangoli secondo la diagonale AC. I due
triangoli ACD e ABC sono congruenti per il primo criterio, quindi posso
sovrapporli facendoli coincidere perfettamente. Osserviamo quindi che:
OB = OD.
La stessa considerazione possiamo farla tagliando il parallelogramma lungo
la diagonale DB constatando ancora che: ADB = DBC per cui AO = OC.
Quindi possiamo affermare che un parallelogramma è diviso da ciascuna
delle diagonali in due triangoli congruenti.
Definizione: Il rettangolo è un parallelogramma avente i quattro angoli
congruenti (e quindi retti).
DOMANDA
Quali tra i seguenti
poligoni è un rettangolo?
Ovviamente il rettangolo possiede le proprietà dei parallelogrammi a cui si
aggiunge la seguente:
Le
diagonali
di
un
rettangolo sono congruenti.
Dimostrazione: I triangoli DAB e
DCB sono congruenti poiché hanno
cateti congruenti e di conseguenza
anche AC=BD.
Riassumiamo le tutte le proprietà di cui gode il rettangolo:
 I lati opposti sono congruenti e paralleli a due a due
 I quattro angoli sono congruenti e quindi retti
 Le diagonali sono congruenti e si bisecano (si incontrano nel
punto medio)
Definizione: Il rombo è un parallelogramma avente tutti e quattro i lati
congruenti.
Poiché i rombi sono particolari
parallelogrammi, per essi devono
valere tutte le proprietà relative ai
parallelogrammi,
alle
quali
si
aggiungono le seguenti:
Le diagonali sono perpendicolari
Le diagonali sono bisettrici degli angoli interni opposti
Attività didattica:
Costruiamo, in carta velina, un rombo come in figura e proviamo le due
proprietà:
Pieghiamo il rombo lungo le diagonali e notiamo che i triangoli DOC, COB, BOA,
AOD sono congruenti e che l’angolo in O di ciascun triangolo è di . Pertanto le
diagonali risultano perpendicolari tra loro.
Dalla congruenza dei 4 triangoli DOC, COB, BOA, AOD segue anche che:
quindi le diagonali sono
bisettrici degli angoli
interni opposti.
Definizione: Il quadrato è un parallelogramma avente tutti i lati congruenti
e tutti gli angoli retti e quindi congruenti.
Possiamo considerare il quadrato come un
parallelogramma che gode sia delle
proprietà del rettangolo sia delle
proprietà del rombo. Riassumiamole:
 I lati sono tutti e 4 quattro congruenti e a due a due paralleli
 Gli angoli sono tutti retti
 Le diagonali sono congruenti, sono perpendicolari, sono bisettrici
degli angoli e si bisecano
 E’ un poligono regolare
L’esame dei quadrilateri e dei suoi sottoinsiemi può essere visualizzato con
un diagramma di Eulero-Venn:
QUADRILATERI
TRAPEZI
PARALLELOGRAMMI
ROMBI
QUADRATI
RETTANGOLI
MAPPA CONCETTUALE
POLIGONI
sono
QUADRILATERI
possono
essere
TRAPEZI
possono
essere
DELTOIDI
SCALENO
possono
essere
ISOSCELE
PARALLELOGRAMMI
possono
essere
RETTANGOLO
possono
essere
ROMBI
sono
RETTANGOLI
sono
QUADRATI