Hp: ABCD parallelogramma
AD @ DM @ MC
AE ^ AM ; BE ^ BM
Th: AMBE
rettangolo
Dim. ADM è un triangolo isoscele, in quanto AD @ DM, per
cui ha gli angoli alla base congruenti: DÂM ≅ DM̂A .
Si osservi che anche MCB è un triangolo isoscele, in quanto CB @ AD (essendo lati opposti di un
parallelogramma) e di conseguenza MC @ CB, per cui MCB ha gli angoli alla base congruenti:
CM̂B ≅ CB̂M .
Inoltre si osservi che:
1) DM̂A ≅ MÂB , in quanto angoli alterni interni nella coppia di rette parallele DM // AB tagliate
dalla trasversale AM, pertanto DÂM ≅ MÂB per la proprietà transitiva della congruenza.
2) CM̂B ≅ MB̂A in quanto angoli alterni interni nella coppia di rette parallele MC // AB tagliate
dalla trasversale MB, pertanto CB̂M ≅ MB̂A per la proprietà transitiva della congruenza.
Quindi, AM risulta bisettrice dell’angolo DAB e BM risulta bisettrice dell’angolo CBA.
Sapendo che gli angoli adiacenti di un parallelogramma sono supplementari, si ha che
DÂB + CB̂A ≅ 180° , ovvero 2MÂB + 2MB̂A ≅ 180° , per cui MÂB + MB̂A ≅ 90° . Da ciò discende
subito che l’angolo AMB è un angolo retto, in quanto la somma degli angoli interni di un triangolo
è di 180°. Pertanto AMBE possiede tre angoli retti, di cui due coppie adiacenti, esso è pertanto un
parallelogramma particolare, ossia un rettangolo.
Hp: ABCD rombo
BS sul prolungamento di AB
BS @ AB
Th: BSCD
parallelogramma
ACS triangolo
rettangolo
Dim. Si osservi che AB @ BS per ipotesi. Inoltre AB @ DC
per ipotesi, in quanto un rombo ha tutti i lati congruenti.
Pertanto BS @ DC per la proprietà transitiva della
congruenza. Inoltre, DC // BS, in quanto BS giace sul
prolungamento di AB e per ipotesi si sa che AB // DC,
in quanto un rombo è un particolare parallelogramma. Dunque BSCD è un parallelogramma perché
ha una coppia di lati opposti congruenti e paralleli.
Di conseguenza DB // CS. Essendo DB ^ AC (poiché le diagonali di un rombo sono
perpendicolari tra loro), si ha che anche CS ^ AC, essendo parallela a DB. Quindi il triangolo ACS
è rettangolo in C.
Hp: ABCD quadrato
AE @ BF @ CG @ HD
Th: EFGH quadrato
Dim. Si considerino i triangoli AEF, FBG, GCH e HDE
Essi sono tutti triangoli rettangoli, in quanto i loro
lati sono costruiti sui prolungamenti dei lati del
quadrato ABCD, avente per definizione i quattro
angoli tutti retti.
I quattro triangoli rettangoli considerati hanno:
1) AE @ BF @ CG @ HD per ipotesi;
2) DE @ AF @ BG @ CH poiché somma di
segmenti congruenti ( i lati del quadrato ABCD
sono tutti congruenti tra loro)
Pertanto i quattro triangoli suddetti sono tutti
congruenti, per i criteri di congruenza dei triangoli
rettangoli. Di conseguenza:
1) EF @ GF @ GH @ HE
2) AÊF ≅ BF̂G ≅ CĜH ≅ DĤE
3) EF̂A ≅ FĜB ≅ GĤC ≅ HÊD
Da ciò discende che HÊF ≅ EF̂G ≅ FĜH ≅ GĤE e che sono tutti retti, in quanto somma di angoli
congruenti e complementari. Pertanto EFGH è un quadrato, avendo tutti i lati congruenti e tutti gli
angoli retti.
