Hp: ABCD parallelogramma Th: AMBE AD @ DM @ MC rettangolo
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Hp: ABCD parallelogramma AD @ DM @ MC AE ^ AM ; BE ^ BM Th: AMBE rettangolo Dim. ADM è un triangolo isoscele, in quanto AD @ DM, per cui ha gli angoli alla base congruenti: DÂM ≅ DM̂A . Si osservi che anche MCB è un triangolo isoscele, in quanto CB @ AD (essendo lati opposti di un parallelogramma) e di conseguenza MC @ CB, per cui MCB ha gli angoli alla base congruenti: CM̂B ≅ CB̂M . Inoltre si osservi che: 1) DM̂A ≅ MÂB , in quanto angoli alterni interni nella coppia di rette parallele DM // AB tagliate dalla trasversale AM, pertanto DÂM ≅ MÂB per la proprietà transitiva della congruenza. 2) CM̂B ≅ MB̂A in quanto angoli alterni interni nella coppia di rette parallele MC // AB tagliate dalla trasversale MB, pertanto CB̂M ≅ MB̂A per la proprietà transitiva della congruenza. Quindi, AM risulta bisettrice dell’angolo DAB e BM risulta bisettrice dell’angolo CBA. Sapendo che gli angoli adiacenti di un parallelogramma sono supplementari, si ha che DÂB + CB̂A ≅ 180° , ovvero 2MÂB + 2MB̂A ≅ 180° , per cui MÂB + MB̂A ≅ 90° . Da ciò discende subito che l’angolo AMB è un angolo retto, in quanto la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°. Pertanto AMBE possiede tre angoli retti, di cui due coppie adiacenti, esso è pertanto un parallelogramma particolare, ossia un rettangolo. Hp: ABCD rombo BS sul prolungamento di AB BS @ AB Th: BSCD parallelogramma ACS triangolo rettangolo Dim. Si osservi che AB @ BS per ipotesi. Inoltre AB @ DC per ipotesi, in quanto un rombo ha tutti i lati congruenti. Pertanto BS @ DC per la proprietà transitiva della congruenza. Inoltre, DC // BS, in quanto BS giace sul prolungamento di AB e per ipotesi si sa che AB // DC, in quanto un rombo è un particolare parallelogramma. Dunque BSCD è un parallelogramma perché ha una coppia di lati opposti congruenti e paralleli. Di conseguenza DB // CS. Essendo DB ^ AC (poiché le diagonali di un rombo sono perpendicolari tra loro), si ha che anche CS ^ AC, essendo parallela a DB. Quindi il triangolo ACS è rettangolo in C. Hp: ABCD quadrato AE @ BF @ CG @ HD Th: EFGH quadrato Dim. Si considerino i triangoli AEF, FBG, GCH e HDE Essi sono tutti triangoli rettangoli, in quanto i loro lati sono costruiti sui prolungamenti dei lati del quadrato ABCD, avente per definizione i quattro angoli tutti retti. I quattro triangoli rettangoli considerati hanno: 1) AE @ BF @ CG @ HD per ipotesi; 2) DE @ AF @ BG @ CH poiché somma di segmenti congruenti ( i lati del quadrato ABCD sono tutti congruenti tra loro) Pertanto i quattro triangoli suddetti sono tutti congruenti, per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli. Di conseguenza: 1) EF @ GF @ GH @ HE 2) AÊF ≅ BF̂G ≅ CĜH ≅ DĤE 3) EF̂A ≅ FĜB ≅ GĤC ≅ HÊD Da ciò discende che HÊF ≅ EF̂G ≅ FĜH ≅ GĤE e che sono tutti retti, in quanto somma di angoli congruenti e complementari. Pertanto EFGH è un quadrato, avendo tutti i lati congruenti e tutti gli angoli retti.
