Le geometrie non-eucidee
di Deborah Perco (2 A) e Matteo Landi (2 C)
Anno scolastico 2013/2014
Euclide
Matematico greco, vissuto ad Alessandria attorno
al 300 a.C.
Scuola di Euclide (Alessandria) = centro di cultura
nei secoli
Autore degli ELEMENTI, opera in 13 libri
Nel primo introduce: gli Assiomi, i Termini e i
Postulati
Diapositiva di Matteo Landi
Postulati
Negli Elementi sono 5, di cui:
• 3 costruttivi, legati all'uso di riga e compasso
• il IV non costruttivo, ma fondamentale per il V
• il V non di immediata comprensione e molto
complicato rispetto agli altri
"Si richiede che, se un retta venendo a cascare
su due rette forma degli angoli interni e dalla
stessa parte < di 2 retti, le due rette prolungate
illimitatamente verranno a incontrarsi da quella
parte in cui gli angoli sono < di 2 retti"
α + β < 180˚
β
t
s
α
Diapositiva di Matteo Landi
r
Dimostrazione del V postulato
Perfino Euclide non era molto convinto della
veridicità del suo postulato e in più occasioni cercò
di sostituirlo con altre dimostrazioni.
Dopo di lui, furono in moltissimi a cercarne una
dimostrazione o un assioma sostitutivo, sperando
di poterlo ricondurre agli assiomi precedenti, ma i
loro tentativi furono vani
Diapositiva di Matteo Landi
Saccheri
Tra i personaggi più importanti che lavorarono con il V postulato, troviamo
l'italiano Gerolamo Saccheri (1667-1733) che non tentò di sostituirlo ma solo
di dimostrarlo attraverso quelli che ora sono conosciuti come “quadrilateri di
Saccheri”. Egli ipotizzò che, in essi, AB fosse congruente a CD e che gli angoli
in A e in D fossero retti. Questa situazione diede origine a tre possibilità:
1. Gli angoli in B e in C sono ottusi. Ma egli scartò
subito questa ipotesi.
2. Gli angoli in B e in C sono acuti. Anche questa
ipotesi venne però scartata da Saccheri.
3. Gli angoli in B e in C sono retti. Questa era l'ultima
ipotesi e Saccheri pensò così di essere riuscito
a dimostrare il V postulato.
Diapositiva di Deborah Perco
Geometria iperbolica
Saccheri, senza rendersene conto, in questo modo introdusse due nuovi tipi di
geometrie, dette non euclidee perché non utilizzavano il V postulato di Euclide. Una
di queste è la geometria iperbolica, sviluppata da Nicolaj Lobacevskij (1792-1856),
Janos Bolyai (1802-1860) e Karl Friedrich Gauss (1777-1855). In questa geometria,
data una retta ed un punto non appartenente ad essa, per quel punto passano infinite
rette parallele a quella data.
Un modello di questa geometria fu
creato da Lobacevskij. Era il modello
della pseudosfera, in cui qualunque
figura costruita non cadeva in alcuna
contraddizione.
Questa geometria si fonda su 5 postulati:
1. Si può condurre una linea retta da un qualsiasi punto a ogni altro punto.
2. Un arco di circonferenza può essere prolungato all'infinito.
3. Si può descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza.
4. Gli angoli retti sono congruenti.
5. Dato un punto P e una retta r che non lo contiene, esistono almeno due rette passanti
per P ma che non incontrano r.
Diapositiva di Deborah Perco
Modello di Poincaré
Uno dei più famosi modelli della geometria iperbolica è il modello di
Poincaré, creato da Jules Henri Poincaré (1854-1912).
In questo modello:
- un punto è un qualsiasi punto
interno alla circonferenza
- una retta è un qualsiasi arco o
diametro, esclusi gli estremi
- un piano è formato da tutti i
punti interni ad un cerchio
In questo caso, come si può
osservare dal disegno e come
detto in precedenza, esistono
più rette parallele ad una retta
data.
Diapositiva di Deborah Perco
Geometria sferica
Ipotesi angoli ottusi di Saccheri (irrisolvibile nella
geometria euclidea) => soluzione in un altro tipo di
geometria: la geometria sferica
Conseguenze e variazioni rispetto alla geometria
euclidea:
-
La somma degli angoli interni di un ∆ è > 180˚
2 ∆ che hanno angoli interni congruenti sono congruenti
(similitudine)
- Tutte le rette sono linee chiuse e non si possono prolungare
-
Una coppia di rette si incontra in 2 punti del piano e delimita una
superficie segue che non ci sono parallele ad una retta data
-
Non è valido il teorema di Pitagora
Diapositiva di Matteo Landi
Modello di Riemann
Vediamo, per mezzo di un modello studiato appositamente per la
geometria sferica, il modello di Riemann (1826-1866), raffigurazioni
grafiche di quanto sostenuto dagli assiomi di questa geometria:
a. Tutte le rette sono linee
chiuse e non si possono
b. Una coppia di rette
prolungare
si incontra in 2 puntidel piano
Diapositiva di Matteo Landi
c. La somma degli angoli
interni di un ∆ è > 180˚
Campi di applicazione delle
geometrie non-euclidee
Come si è visto, alcune geometrie trovano applicazioni in diversi campi,
i quali possono essere spiegate e rappresentate con altri tipi di
geometrie:
• Geometria sferica => geografia e studi
planetari
• Geometria iperbolica => studi dello spazio
e relatività generale
Diapositiva di DA DEFINIRE
Applicazioni in arte
Altre applicazioni delle geometrie non euclidee, in particolare della
geometria iperbolica, le troviamo anche nelle opere di Maurits Cornelis
Escher (1898-1972).
Questa è una delle sue opere più
famose, intitolata “Il limite del
cerchio”.
Diapositiva di Deborah Perco
Bibliografia
• Matematica blu (Le geometrie non euclidee - volume ω) - AUTORI
ZANICHELLI
