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Le geometrie non-eucidee di Deborah Perco (2 A) e Matteo Landi (2 C) Anno scolastico 2013/2014 Euclide Matematico greco, vissuto ad Alessandria attorno al 300 a.C. Scuola di Euclide (Alessandria) = centro di cultura nei secoli Autore degli ELEMENTI, opera in 13 libri Nel primo introduce: gli Assiomi, i Termini e i Postulati Diapositiva di Matteo Landi Postulati Negli Elementi sono 5, di cui: • 3 costruttivi, legati all'uso di riga e compasso • il IV non costruttivo, ma fondamentale per il V • il V non di immediata comprensione e molto complicato rispetto agli altri "Si richiede che, se un retta venendo a cascare su due rette forma degli angoli interni e dalla stessa parte < di 2 retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno a incontrarsi da quella parte in cui gli angoli sono < di 2 retti" α + β < 180˚ β t s α Diapositiva di Matteo Landi r Dimostrazione del V postulato Perfino Euclide non era molto convinto della veridicità del suo postulato e in più occasioni cercò di sostituirlo con altre dimostrazioni. Dopo di lui, furono in moltissimi a cercarne una dimostrazione o un assioma sostitutivo, sperando di poterlo ricondurre agli assiomi precedenti, ma i loro tentativi furono vani Diapositiva di Matteo Landi Saccheri Tra i personaggi più importanti che lavorarono con il V postulato, troviamo l'italiano Gerolamo Saccheri (1667-1733) che non tentò di sostituirlo ma solo di dimostrarlo attraverso quelli che ora sono conosciuti come “quadrilateri di Saccheri”. Egli ipotizzò che, in essi, AB fosse congruente a CD e che gli angoli in A e in D fossero retti. Questa situazione diede origine a tre possibilità: 1. Gli angoli in B e in C sono ottusi. Ma egli scartò subito questa ipotesi. 2. Gli angoli in B e in C sono acuti. Anche questa ipotesi venne però scartata da Saccheri. 3. Gli angoli in B e in C sono retti. Questa era l'ultima ipotesi e Saccheri pensò così di essere riuscito a dimostrare il V postulato. Diapositiva di Deborah Perco Geometria iperbolica Saccheri, senza rendersene conto, in questo modo introdusse due nuovi tipi di geometrie, dette non euclidee perché non utilizzavano il V postulato di Euclide. Una di queste è la geometria iperbolica, sviluppata da Nicolaj Lobacevskij (1792-1856), Janos Bolyai (1802-1860) e Karl Friedrich Gauss (1777-1855). In questa geometria, data una retta ed un punto non appartenente ad essa, per quel punto passano infinite rette parallele a quella data. Un modello di questa geometria fu creato da Lobacevskij. Era il modello della pseudosfera, in cui qualunque figura costruita non cadeva in alcuna contraddizione. Questa geometria si fonda su 5 postulati: 1. Si può condurre una linea retta da un qualsiasi punto a ogni altro punto. 2. Un arco di circonferenza può essere prolungato all'infinito. 3. Si può descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza. 4. Gli angoli retti sono congruenti. 5. Dato un punto P e una retta r che non lo contiene, esistono almeno due rette passanti per P ma che non incontrano r. Diapositiva di Deborah Perco Modello di Poincaré Uno dei più famosi modelli della geometria iperbolica è il modello di Poincaré, creato da Jules Henri Poincaré (1854-1912). In questo modello: - un punto è un qualsiasi punto interno alla circonferenza - una retta è un qualsiasi arco o diametro, esclusi gli estremi - un piano è formato da tutti i punti interni ad un cerchio In questo caso, come si può osservare dal disegno e come detto in precedenza, esistono più rette parallele ad una retta data. Diapositiva di Deborah Perco Geometria sferica Ipotesi angoli ottusi di Saccheri (irrisolvibile nella geometria euclidea) => soluzione in un altro tipo di geometria: la geometria sferica Conseguenze e variazioni rispetto alla geometria euclidea: - La somma degli angoli interni di un ∆ è > 180˚ 2 ∆ che hanno angoli interni congruenti sono congruenti (similitudine) - Tutte le rette sono linee chiuse e non si possono prolungare - Una coppia di rette si incontra in 2 punti del piano e delimita una superficie segue che non ci sono parallele ad una retta data - Non è valido il teorema di Pitagora Diapositiva di Matteo Landi Modello di Riemann Vediamo, per mezzo di un modello studiato appositamente per la geometria sferica, il modello di Riemann (1826-1866), raffigurazioni grafiche di quanto sostenuto dagli assiomi di questa geometria: a. Tutte le rette sono linee chiuse e non si possono b. Una coppia di rette prolungare si incontra in 2 puntidel piano Diapositiva di Matteo Landi c. La somma degli angoli interni di un ∆ è > 180˚ Campi di applicazione delle geometrie non-euclidee Come si è visto, alcune geometrie trovano applicazioni in diversi campi, i quali possono essere spiegate e rappresentate con altri tipi di geometrie: • Geometria sferica => geografia e studi planetari • Geometria iperbolica => studi dello spazio e relatività generale Diapositiva di DA DEFINIRE Applicazioni in arte Altre applicazioni delle geometrie non euclidee, in particolare della geometria iperbolica, le troviamo anche nelle opere di Maurits Cornelis Escher (1898-1972). Questa è una delle sue opere più famose, intitolata “Il limite del cerchio”. Diapositiva di Deborah Perco Bibliografia • Matematica blu (Le geometrie non euclidee - volume ω) - AUTORI ZANICHELLI
