Esercizi risolti

Esercizi risolti - 1
Esercizio 1. Quanti sono i numeri di 6 cifre con almeno una cifra dispari? E quelli con almeno una
cifra pari?
Intanto calcoliamo quanti sono i numeri di sei cifre; tenendo conto che non possono cominciare per
0, sono 9·10·10·10·10·10 = 900000. Posso poi calcolare i numeri che hanno solo cifre pari; in
questo caso ho 4 scelte per il primo posto e 5 per ciascuno degli altri 5, quindi 4·55 = 12500. Invece
i numeri che hanno solo cifre dispari sono 56 (lo zero non è dispari), cioè 15625. Si ottiene 90000012500=887500 per la prima richiesta, 884375 per la seconda.
Esercizio 2. Quante sono le soluzioni naturali dell'equazione x+y+z = 33, con le condizioni x≥4 e
y≥7?
Se non ci fossero le condizioni si tratterebbe di trovare le combinazioni con ripetizione di 3 oggetti
di classe 33, ottenendo Cr3,33 = C3+33-1,33 = C35,33 = 595. Le limitazioni poste implicano che ci sono
24 oggetti da distribuire: è esattamente come risolvere la equazione x+y+z = 24. Ci sono C26,24 =
325 possibilità.
(*)Esercizio 3. Data una funzione a valori reali f(x1,x2,...,xn) di n variabili reali, quante derivate
parziali di ordine k ammette, nell'ipotesi che si possa scambiare l'ordine di derivazione?
Si tratta delle combinazioni con ripetizione di n oggetti (posso derivare rispetto ad una qualunque
delle variabili) di classe k (in totale devo derivare k volte): Crn,k.
Esercizio 4. Si vogliono disporre su una scacchiera 3 torri, in modo che nessuna possa "mangiare"
le altre. In quanti modi si può fare?
La prima torre può essere piazzata in ognuna delle 64 caselle (82 possibilità). Questa torre minaccia
7 caselle in orizzontale e 7 in verticale, per un totale di 14 caselle. La seconda torre allora non potrà
essere piazzata né in queste 14 caselle, né naturalmente nella casella occupata dalla prima torre: le
restano 64-14-1 = 49 = 72 possibilità. Questa seconda torre minaccia ancora 14 caselle, ma due le ho
già contate con la prima torre. Per la terza torre devo quindi escludere 14 +12 caselle minacciate,
più 2 occupate. Ne restano 36 = 62. In totale avrei 82·72·62 possibilità, ma devo tenere conto che le
tre torri sono indistinguibili, per cui una loro permutazione non modifica nulla. In totale si ha allora
82·72·62/3! = (8·7·6)2/3! = 18816. La formula trovata si presta ad una facile generalizzazione. Con
cinque torri avrei (8·7·6·5·4)2/5! = 376320 possibilità.
Esercizio 5. Si devono disporre su una fila di 10 sedie cinque coppie uomo-donna. In quanti modi
la cosa si può fare se la disposizione può essere fatta alla rinfusa? E se le donne e gli uomini devono
rimanere vicini tra di loro? E se le coppie devono rimanere unite?
Nel primo caso ci sono 10! (3628800) possibilità. Nel secondo si tratta di calcolare le possibili
permutazioni dei maschi (5!), delle femmine (ancora 5!) e dei due gruppi (2!): 28800 possibilità.
Nell'ultimo caso di tratta di permutare ciascuna coppia nei 2! modi possibili e poi le 5 coppie nei 5!
modi possibili: 480 possibilità.
Esercizio 6. In una classe di 22 studenti, di cui 12 femmine e 10 maschi, si deve formare un
gruppo per una ricerca costituito da 3 maschi e 3 femmine. In quanti modi la cosa si può fare se nei
dieci maschi ci sono due gemelli e si decide che non possano stare insieme?
Se non ci fosse alcuna restrizione il numero delle scelte possibili sarebbe C12,3·C10,3 = 26400. Il
numero delle possibilità tra le femmine non è alterato dalla restrizione. Tra i maschi basterà che
contiamo in quanti modi si può operare una scelta che contenga i due gemelli: questo numero andrà
sottratto dal totale delle possibili scelte tra i maschi. E' immediato che se un gruppo di 3 maschi
deve averne due predefiniti (i gemelli), restano 10-2 possibilità di scelta. Il numero cercato è allora
C12,3·(C10,3 - 8) = 24640.
Esercizio 7. In quanti modi n palline indistinguibili possono venire collocate in n celle numerate,
in modo che esattamente una cella rimanga vuota? Che cosa cambia se le palline sono distinguibili?
Bisogna innanzitutto scegliere la cella vuota (si può fare in n modi). Successivamente si deve
collocare almeno una pallina nelle restanti n-1 celle e poi scegliere una cella dove collocare due
palline (si può fare in n-1 modi). In totale la collocazione si può fare in n(n-1) modi. Se invece le
palline sono distinguibili, dopo aver scelto la cella vuota e quella che deve contenere due palline,
cosa che si può fare in n(n-1) modi come prima, occorre ancora scegliere quali palline mettere nelle
varie celle. Ci sono Cn,2 modi di scegliere le due palline da mettere nella cella che le conterrà, e poi
(n-2)! modi di distribuire le restanti palline nelle restanti celle. In totale ci sono
modi per collocare le palline come richiesto.
Esercizio 8. Se da un campione di n oggetti in cui ve ne sono k di difettosi se ne prendono a caso
m, quante sono le possibilità che ci siano i pezzi difettosi (≤k e ≤m)?
E' un problema classico di controllo di qualità a campione. Intanto si possono scegliere i oggetti
difettosi tra i k in Ck,i modi. In un'estrazione di m pezzi, ciascuno di questi campioni difettosi si
potrà combinare con uno costituito da oggetti tutti non difettosi: la scelta si può fare in C(n-k),(m-i)
modi. Basterà fare il prodotto di questi due numeri per avere il numero richiesto:
.
Esercizio 9. Se si lancia 8 volte un dado, in quanti modi si possono ottenere 4 coppie diverse di
numeri uguali?
Intanto bisognerà scegliere 4 tra i sei numeri che compaiono nelle facce di un dado: ciò si può fare
in C6,4 modi diversi, ovvero in 15 modi. Fissata ora la scelta delle coppie, per esempio quelle
formate dai numeri 1,2,3,4, dobbiamo contare in quanti modi compaiono, in qualunque ordine, due
"1", due "2", due "3", due "4" su otto caselle: si tratta delle permutazioni di otto oggetti divisi in
quattro gruppi da 2, P2,2,2,28 = 2520. In totale 37800 modi.
Esercizio 10. 3 ragazze e 2 ragazzi si siedono a tavola in cinque posti consecutivi. In quanti modi
possono sedersi se ogni femmina vuole avere a fianco almeno un maschio e viceversa?.
La cosa più semplice da fare è tracciare uno schema ad albero ("grafo") esaminando le varie
possibilità. Si può partire da un maschio o da una femmina e si ottiene:
M
F
M
no
F
M
F
F
F
F
M
F
F
F
F
M
M
F
no
no
F
no
M
F
M
F
M
F
F
M
F
no
Dunque le uniche possibilità sono MFFMF (e qui ho 2 possibilità di scelta al primo posto, 3 al
secondo, 2 al terzo e 1 per i due rimanenti, in totale 12), FMFMF (e qui ho 3 possibilità di scelta al
primo posto, 2 al secondo, 2 al terzo e 1 per i due rimanenti, in totale 12), FMFFM (e qui ho 3
possibilità di scelta al primo posto, 2 al secondo, 2 al terzo e 1 per i due rimanenti, in totale 12). In
totale 36 possibili disposizioni.