Moti rotatori
Definizioni delle grandezze rotazionali
Moto circolare uniforme
Dv
• Il moto è circolare perché la sua traiettoria
v2
v2
è una circonferenza, ed è uniforme perché
v1
il modulo della sua velocità è costante.
r2
• E’ costante solo il modulo, non il vettore
Ds
r1
velocità.
• Istante per istante la direzione del
vettore velocità cambia, quindi varia e Dv : v Ds : r
1
1
pertanto il moto è soggetto ad una
quindi dividendo per Δt
accelerazione.
• Il modulo di questa accelerazione
sarà pari a:
•
a = v2/r
• la direzione, istante per istante,
perpendicolare al vettore velocità
• verso diretto al centro della traiettoria
Dv Ds
:v1
:r1
Dt
Dt
per Dt 0
a:v v:r
v2
a
r
v1
Moto traslatorio e moto rotatorio
• Nei moti traslatori tutti i punti hanno la stessa
velocità lineare
• Nei moti rotatori tutti i punti hanno la stessa
velocità angolare
• In un moto puramente rotatorio tutti i punti di un
corpo compiono un moto circolare attorno ad un
asse. L’asse di rotazione.
• Le velocità tangenziali dei punti di un corpo in
rotazione variano al variare della distanza
dall’asse. La velocità angolare è la stessa per tutti
i punti.
Angoli in radianti
Sia data una particella che si muova con moto
uniforme lungo la circonferenza di un cerchio di
raggio r .
La posizione della particella in movimento può
essere rappresentata da un vettore rotante di
raggio r ed angolo q.
r
q
Definizione di radiante:
Il rad è l’angolo q formato dal raggio rotante dopo aver percorso un
arco di circonferenza pari alla lunghezza del raggio r .
L’angolo giro 360°è pari a 2pr
1 (rad) = 57,3248°
1°= 0,01744 rad
Posizione angolare di un
solido
• Si individui un segmento r
appartenente ad un corpo rigido e si
supponga che possa girare incernierato
normalmente all’asse z .
• Si supponga inoltre che il secondo
estremo percorra un arco lungo s.
• Si potrà dire che il solido ha percorso un angolo q e tale angolo
vale q = s/r.
• Dopo un giro completo il corpo si troverà nella stesso punto di
partenza, ovvero l’arco percorso sarà stato 2pr uguale a 360°
• In questo modo un arco di 360°è equivalente a 2p radianti
• Se 2p rad = 360°allora 1 rad = 360/2p ovvero 1 rad = 57,32°
y
Spostamento e
velocità angolare
s
r
x
Dq q2 q1 è lo spostamento angolare e può essere positivo o
negativo. E’ positivo se il corpo ruota in senso antiorario, negativo nel
caso opposto.
q 2 q1 Dq
La velocità angolare media è:
t2 t1
Dt
La velocità angolare istantanea è:
Dq dq
Dt 0 Dt
dt
lim
L’accelerazione angolare istantanea è:
lim
Dt 0
D
Dt
d
dt
Moti rotatori e moti lineari
caso dei moti ad accelerazione costante
I moti rotatori sono governati da equazioni omomorfe,
alle equazioni dei moti lineari.
v = v0 + at
= 0 + t
x-x0 = v0t + ½ at2
q - q0 = 0 t + ½ t2
v2= v02+2a(x-x0)
2 = 02 + 2(q-q0)
x-x0 = ½ (v0+v)t
q - q0 = ½ (0 + )t
x-x0 = vt - ½ at2
q – q0 = t ½ t2
Esempi di moti
rotazionali
Il disco di figura ruota secondo la
legge oraria:
1 2 6
q (t ) t t 1
4
10
La sua velocità sarà data dalla derivata
prima:
dq/dt = -0,6 + 0,5t
la sua accelerazione dalla sua derivata
seconda
d2q/dt2 = 0,5
Moto circolare descritto
in radianti
r
L’arco percorso quando un raggio si sposta di q
rad è
s=rq
La sua velocità sarà: ds/dt = r dq/dt ovvero v = r
In un corpo che ruota con velocità angolare , le
velocità tangenziali di ciascun punto del disco
dipendono linearmente dal raggio.
Il periodo T sarà T [S] = |s|/|v| = 2p r/v T = 2p /
Il periodo T è inversamente proporzionale alla
velocità
q
Esempio di moto
circolare uniforme
v
ar
T
• Il tempo necessario a percorrere una orbita circolare è il
periodo T. Sappiamo che la velocità è lo spazio diviso un
tempo quindi:
v = 2pr/T
da cui
T = 2pr/v
d’altronde l’accelerazione radiale è definita da:
ar = v2/r quindi
ar = (4p2r2/T2)/r
Esempio:
Se la Luna dista dalla Terra 3.84x105 km ed il periodo è 27,3
giorni, quanti g vale l’accelerazione centripeta che subisce la
Luna?
Dinamica del moto
circolare uniforme
Il moto circolare uniforme è pur sempre un moto che subisce una
accelerazione, quindi deve esserci una Forza che determina la
curvatura della sua traiettoria. Questa forza ha la stessa
direzione e verso dell’accelerazione: sempre perpendicolare alla
direzione della velocità e diretta verso il centro della
circonferenza. Questa forza è la Forza Centripeta ed è pari a:
Fc m ac
mv2
Fc
r
Fc m 2 r
Forze centripete e
Forze centrifuge
Se un corpo è tenuto da una fune, fissata al centro di
una circonferenza, e si muove con velocità v; significa
che è soggetto ad una forza F = mv2/r diretta verso il
centro.
Forza centripeta.
• L’uomo al centro della circonferenza che tiene in v
Fcp
mano la fune sente che il corpo tende ad
allontanarsi da lui.
Forza centrifuga F = m2r
• Le due forze sono, in realtà, la stessa forza, ma
Fcf
l’effetto è descritto in due diversi sistemi di
riferimento
Forze apparenti
Oltre la forza centrifuga che troviamo nei
corpi in rotazione è possibile riscontrare
altre forze apparenti che si manifestano su
un corpo pur senza essere applicate
direttamente.
La forza di Coriolis, che spiega il moto degli uragani, e il pendolo di
Foucault sono gli esempi più eclatanti. Anche la forza che ci spinge in
avanti quando un treno decelera repentinamente è una forza
apparente.
