Moti rotatori
Definizioni delle grandezze
rotazionali
Moti dei corpi rigidi
Un corpo rigido ha generalmente un moto
complesso (vedi un bastone lanciato in aria).
n
In realtà qualunque moto può essere descritto
componendo un moto puramente traslatorio e un
moto puramente rotatorio
n
Sappiamo che nei moti traslatori tutti i punti di un
corpo hanno la stessa velocità lineare
n
Nei moti rotatori tutti i punti che hanno la stessa
distanza dall’asse di rotazione hanno la stessa
velocità lineare e per distanze diverse, dall’asse di
rotazione, si hanno velocità diverse
n
Quali sono le caratteristiche di un moto puramente
rotatorio?
n
Moto puramente rotatorio
• In un moto puramente rotatorio tutti i punti di un corpo rigido
compiono un moto circolare uniforme attorno all’asse di
rotazione del corpo.
• Le velocità tangenziali dei punti di un corpo in rotazione
dipendono dalla distanza che hanno rispetto all’asse. Più
grande è la distanza di un punto dall’asse di rotazione più
grande è il modulo della sua velocità. Quindi:
|v| = ω r
dove ω è la velocità angolare
• La velocità angolare è il rapporto fra l’angolo percorso ed il
tempo impiegato a percorrerlo.
• Sarà utile definire il concetto di “radiante”
Moto circolare uniforme ü Il moto è circolare perché la sua
traiettoria è una circonferenza, ed è
uniforme perché il modulo della sua
velocità è costante.
ü E’ costante solo il modulo; non il vettore
velocità.
ü Istante per istante, la velocità, cambia
direzione, quindi la velocità varia nel
tempo e per questo il moto è soggetto ad
una accelerazione.
ü Il modulo di questa accelerazione sarà
pari a:
a = v2/r
ü la direzione, istante per istante,
perpendicolare al vettore velocità
ü verso diretto al centro della traiettoria
Δv
v2
v2
v1
r2
r1
Δs
Ricordando un teorema dei
triangoli simili
! !
! !
Δv : v1 = Δs : r1
dividendo per Δt
!
!
Δv ! Δs !
:v1 =
:r1
Δt
Δt
e per Δt → 0
a:v =v:r
v2
a =
r
v1
Posizione angolare
• Per determinare una posizione, serve definire
un sistema di riferimento e trovare una unità di
misura.
• Si individui un segmento r appartenente ad un
corpo rigido e si supponga che possa girare
incernierato normalmente all’asse z .
• Il secondo estremo del segmento percorrerà un arco lungo s.
• Allora il solido avrà percorso un angolo θ e tale che θ = s/r.
• Dopo un giro completo l’arco percorso sarà stato 2πr che diviso
per il raggio r determinerà l’angolo 2π.
• Pertanto diremo che 360°= 2π rad
• I radianti essendo un rapporto di due lunghezze sono numeri puri.
1 rad: 2π rad = θ°: 360°
Angoli in radianti
n
n
r
θ
Sia data una particella che si muova con moto
uniforme lungo la circonferenza di un cerchio
di raggio r .
La posizione della particella in movimento può essere
rappresentata da un vettore rotante di raggio r che forma un
angolo θ con l’asse x.
Definizione di radiante:
L’angolo θ [rad] formato dal raggio rotante dopo aver percorso
un arco di circonferenza di lunghezza pari ad r .
L’angolo giro 360° è pari a 2πr
1 (rad) = 57,3248°
1° = 0,01744 rad
Spostamento e
velocità angolare
y
• Δθ = θ2 - θ1 è lo spostamento angolare e può
essere positivo o negativo. E’ positivo se il corpo
ruota in senso antiorario, negativo nel caso
opposto.
s
r
x
θ 2 − θ1 Δθ
=
t2 − t1
Δt
• La velocità angolare media è:
ω=
• La velocità angolare istantanea è:
ω = lim
• L’accelerazione angolare istantanea è:
α = lim
Δθ dθ
=
Δt →0 Δt
dt
Δt →0
Δω
Δt
dω
=
dt
Esempio di moto
rotazionale
• Il disco di figura ruota secondo la legge
oraria:
1 2 6
θ (t ) = t − t − 1
4
10
• La sua velocità sarà data dalla derivata prima:
dθ/dt = -0,6 + 0,5t
• la sua accelerazione dalla sua derivata seconda
d2θ/dt2 = 0,5
Moti rotatori e moti lineari
caso dei moti ad accelerazione costante
• I moti rotatori sono governati da equazioni omomorfe, simili nella
forma, alle equazioni dei moti lineari.
•
v = v0 + at
ω = ω0 + αt
•
x-x0 = v0t + ½ at2
θ - θ0 = ω0 t + ½ αt2
•
v2= v02+2a(x-x0)
ω2 = ω02 + 2α(θ-θ0)
•
x-x0 = ½ (v0+v)t
θ - θ0 = ½ (ω0 + ω)t
•
x-x0 = vt - ½ at2
θ – θ0 = ωt - ½ αt2
Le caratteristiche dei
moti circolari
•
•
•
•
•
r
θ
L’arco S percorso quando un raggio r si sposta di θ rad è
s=rθ
La sua velocità sarà: ds/dt = r dθ /dt ovvero v = r ω
Il periodo sarà T = 2π r /v o T = 2π /ω
Il periodo T è inversamente proporzionale a ω
In un disco che ruota attorno al suo centro, le velocità
tangenziali di ciascun punto del disco dipendono
linearmente dal raggio.
Il moto circolare uniforme
αr
v
T
• Il tempo necessario a percorrere una orbita
circolare è il periodo T, ovvero:
T = 2πr / v
v = 2πr / T
• d’altronde l’accelerazione radiale è definita da:
αr = v2 / r
oppure αr = 4π2 r / T2
•
Esempio:
Se la Luna dista dalla Terra 3.84 x105 km (circa 50 raggi terrestri) ed il periodo
è 27,3 giorni, quale è l’accelerazione centripeta che subisce la Luna?
αc = 2.72x 10-3 m/s2 à
