Teoremi di Trigonometria

Teoremi di Trigonometria.
Teorema dei Triangoli Rettangoli.
In un triangolo rettangolo il cateto è uguale all’ipotenusa per sino dell’angolo opposto,
all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente, all’altro cateto per la tangente dell’angolo
opposto oppure alla cotangente dell’angolo adiacente.
a  c sin 
a  b tan 
a  c cos 
b  a tan 
b  c cos 
b  c sin 
Dimostrazione:
Costruendo un triangolo simile al triangolo dato e avente ipotenusa pari a 1. Per definizione
Abbiamo che il cateto opposto all’angolo  è lungo sin  e il cateto adiacente è lungo
cos  , e quindi impostando la proporzione abbiamo che
a
c
 oppure
sin  1
b
c

da cui a  c sin 
b  c cos 
cos  1
  90  
e ricordando che
abbiamo che
a  c sin(90   )  c cos 
b  c cos(90   )  c sin 
Infine dividendo a membro a membro le relazioni abbiamo che:
a c sin 

 tan 
b c cos 
ecc.
Area di un triangolo
L’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati consecutivi per il seno dell’angolo
compreso diviso due.
Area 
Dimostrazione
1
ab sin 
2
1
1
Area  bh dato che h  a sin  ho che Area  ab sin 
2
2
Teorema dei seni:
In un triangolo valgono le seguenti proporzioni:
a
b
c


sin  sin  sin 
Dimostrazione:
Considerando l’altezza h ho che
h  a sin  e
h  b sin  da cui
a sin   b sin  da cui la
prima proporzione. Ripetendo lo stesso ragionamento per l’altezza relativa ad a e b ottengo
tutto il teorema.
Teorema del coseno
In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri lati meno il
doppio prodotto degli altri due lati per il coseno dell’angolo compreso.
c 2  a 2  b2  2ab cos 
a 2  c 2  b2  2bc cos 
b 2  a 2  c 2  2ac cos 
Dimostriamo la seconda relazione in modo analogo si dimostrano le altre.
Sia c diviso dall’altezza h in due segmenti x e y. Da cui c=x+y (Vedi figura)
a 2  h2  x2
h2  b2  y 2 . sostituendo h 2 alla prima abbiamo che
a 2  b2  y 2  x 2 dato che x2  (c  y)2  y 2  c 2  2cy  y 2  c 2  2cb cos  sostituendo alla
2
2
2
2
2
2
2
prima abbiamo che a  b  y  y  c  2cb cos   b  c  2cb cos  . Cdd.
e
Il teorema della Corda:
In una circonfereza di raggio r, un corda è uguale a 2 volte il raggio per il seno dell’angolo alla
circonferenza individuato dalla corda.
Dim:
Sia una corda AB e sia   ACB un qualsiasi angolo alla circonferenza. Consideriamo il
Triangolo rettangolo ADB, la cui ipotenusa coincide con il diametro DB. Osserviamo che
  ACB  ADB . Allora per i teoremi dei triangoli rettangoli
AB  BD sin   2r sin 
Area di un quadrilatero
In un quadrilatero l’area è uguale al prodotto delle diagonali per il sino dell’angolo compreso.
Area 
1
h  k sin 
2
Area  Area( ABO)  Area( BCO)  Area(CDO)  Area ( ADO)
1
1
1
1
Area  AO  BO sin   CO  BO sin   CO  DO sin   AO  DO sin 
2
2
2
2
Infatti.
Raccogliendo .
1
1
1
AO  ( BO  DO) sin   CO  ( BO  DO) sin   ( AO  CO)  ( BO  DO) sin  da cui
2
2
2
1
1
Area  AC  BD sin   h  k sin 
2
2
Area 
Teorema di Eulero.
Area  p( p  a)( p  b)( p  c) dove 2 p  a  b  c
Raggio di un triangolo inscritto
R
abc
4 Area
Dim:
dal teorema dei seni abbiamo che
due altri lati R 
R
a
moltiplicando numeratore e denominatore per i
2sin 
abc
abc

2bc sin  4 Area
Raggio di un triangolo circoscritto.
R
2Area
Perimetro
Dim:
Area 
1
1
1
R
R
aR  bR cR  (a  b  c)  ( Perimetro) da cui l’asserto
2
2
2
2
2