Dato un triangolo ABC con lati a, b e c e angoli α, β e γ ricordiamo il
Teorema dei seni
a
b
c
=
=
.
sin α
sin β
sin γ
Esercizio 1. Applicando il Teorema dei seni al triangolo ACH provare che l’altezza h del triangolo
in figura vale
h = b sin γ.
Ricordiamo il
Teorema delle proiezioni
a = b cos γ + c cos β.
Esercizio 2. Scrivi le analoghe relazioni per i lati b e c.
Dalle tre relazioni, moltiplicando la prima per a, la seconda per −b e la terza per −c e sommando
le tre uguaglianze cosı̀ ottenute si ottiene il
Teorema di Carnot.
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α.
Esercizio 3. Se il triangolo ABC è rettangolo, e l’angolo retto è α cosa si ottiene?
Esercizio 4. Sia M il punto medio del lato BC, e sia m il segmento AM (la mediana). Applicando il Teorema di Carnot ai triangoli ABM e AMC, e ricordando che angoli supplementari
hanno coseni opposti, ricavare la formula
m=
1p 2
2b + 2c2 − a2 .
2
1
Esercizio 5. Applicando le formule di bisezione nel Teorema di Carnot ricavare le Formule di
Briggs
r
α
(p − b)(p − c)
sin =
,
2
bc
r
p(p − a)
α
,
cos =
2
bc
a+b+c
dove p =
.
2
Esercizio 6. Inversamente dalle Formule di Briggs, ricavare attraverso le formule di duplicazione
p
2 p(p − a)(p − b)(p − c)
sin α =
.
bc
Utilizzando l’Esercizio 1 si ricava per l’area del triangolo
S=
ab sin γ
,
2
ed utilizzando la relazione dell’Esercizio 6 nella precedente si trova l’importante Formula di Erone
p
S = p(p − a)(p − b)(p − c)
dove p è sempre il semiperimetro.
Questa formula è importante in quanto consente di determinare l’area del triangolo conoscendo
solo le misure dei lati.
Esercizio 7. Sia Pn il poligono regolare di n lati, inscritto ad una circonferenza di raggio r.
Iterando la formula di Erone, provare che l’area del poligono è
r
`
`2
S=n
r2 −
2
4
dove ` è la misura del lato di Pn .
2
