EQUAZIONI
DIFFERENZIALI
ORDINARIE
ALTRI TIPI
INTEGRABILI
“PER QUADRATURA” .
Argomenti della lezione
Ulteriori tipi d’equazioni del
prim’ordine.
Alcuni tipi d’equazioni del
second’ordine.
ULTERIORI TIPI
D’EQUAZIONI
DEL
PRIM’ORDINE
Equazioni differenziali lineari
del prim’ordine.
(4)
y’ = a(x) y(x) + b(x)
con a(x) e b(x) funzioni continue
definite su un intervallo I a valori
in R.
L’equazione (4) si dice anche
equazione completa, mentre
(5) y’ = a(x) y(x)
si dice equazione omogenea
associata alla (4).
Se A(x) è una primitiva di a(x),
allora la totalità delle soluzioni di
(5) è data da
y(x) = c exp(A(x))
dove c è una costante reale
arbitraria.
Infatti.. (calcoli a parte)
Vale ora il seguente fatto generale
(per le equazioni lineari):
Se z(x) è una generica soluzione
––––
dell’omogenea e y(x) è una soluzione
particolare dell’equazione completa,
allora le funzioni del tipo
––––
y(x) = z(x) + y(x)
forniscono tutte le soluzioni dell’
equazione completa
Dimostriamo che una soluzione
particolare dell’eq. completa è data
da
y(x) =
x e(
x
0
A(x) - A(t))b(t)
dt
Dimostremo ciò utilizzando il
metodo detto di “variazione delle
costanti arbitrarie”
Si cerca la soluzione y(x) nella
forma y(x) = c(x) exp(A(x)) ...
Allora si può concludere che la
soluzione generale del problema
di Cauchy per la (4)
y’(x) = a(x)y(x) + b(x)
y(x0) = y0
è data da
y(x) = c e A(x) +
xe(
0
x
A(x) - A(t))b(t)
dt
Esempio 1:
y’ = y + x
a(x) = 1, A(x) = x, b(x) = x.
Soluzione: y(x) = c ex - x -1 + ex
Esempio 2:
y’ = (1/x) y + (1/x2)
a(x) = (1/x), A(x) = log x, b(x) = (1/x2).
Soluzione: y(x) = c x + x/2 -(1/2x)
x y + ex
y
’
=
2
e
Esempio 3:
a(x) = - 2 ex, A(x) = - 2 ex,
b(x) = ex.
Soluzione: y(x) = c exp(-2ex)+
(1/2) [1 - exp(2-2ex)]
Equazioni di Bernoulli.
Sono le equazioni del tipo
(6)
y’ = a(x) y(x) + b(x) y(x)k
con k≠ 0, 1 e a(x), b(x) funzioni
continue definite su un intervallo
I a valori in R.
Osserviamo che se è 0 < k < 1, non
è garantita l’unicità della soluzione.
Infatti fy può non essere definita.
Se k > 0, y 0 è una soluzione.
Supposto y(x) ≠ 0, dividendo per y(x)k
e prendendo come nuova incognita
u(x) = y(x)1-k , si trova l’equazione
lineare
u’(x) = (1-k) a(x) u(x) + (1-k) b(x)
che è un’equazione lineare che
sappiamo risolvere
Esempio 4: Si voglia risolvere
il seguente p.d.C.
y’ = 2 y(x) tg(x) + y(x)1/2
y(0) = 1, con |x|< /2
Dopo qualche calcolo si trova
y(x) = [1/(cos x) + (1/2) tg x]2
ALCUNI TIPI
D’EQUAZIONI
DEL
SECOND’ORDINE
Sono equazioni del tipo
(7)
y’’(x) = f(x,y(x),y’(x))
con f : A R3 R, A aperto.
una funzione y(x) è soluzione dell’
equazione data se è di classe C2(I)
su un intervallo I, se (x,y(x),y’(x))T
sta in A, per ogni x I, e se
soddisfa identicamente la (7).
Se f , fy e fz sono continue in A,
allora si può dimostrare che
esiste una soluzione locale unica
del pdC:
y’’(x) = f(x,y(x),y’(x))
0) = y0
y
(x
y’(x0) = z0
Un tipo d’equazioni che possiamo
affrontare è il seguente:
(8)
y’’(x) = f(y(x))
nel quale f dipende solo da y ed è
di classe C1(J) con J intervallo
aperto in R.
Moltiplicando i due membri di (8)
per y’(x), si trova,
se indichiamo con F(u) una
primitiva di f(u),
(y’(x))2 = 2 [F(y(x)) - F(y0)] + (z0)2
Quest’equazione, trattata con
prudenza, si può ridurre a
un’equazione del prim’ordine,
a variabili separabili.
Esempio 5: Si voglia risolvere
il seguente p.d.C.
y’’(x) = 3 y2; y(0) =2-(1/3); y’(0) = 1.
Si trova, procedendo come sopra,
(y’(x))2 - 1 = 2 y3(x) - 1
Poiché y’(0) > 0
Ci si riduce al pdC
y’(x) = [2 y3(x)](1/2) ; y(0) =2-(1/3).
Si trova la soluzione
y(x) = (2(1/6) - x 2-(1/2) )-2
