geometria: il parallelismo

1
Una premessa….
2
1
4
3
b
4-6 e 3-5: angoli alterni interni
5
a
8
6
7
1-7 e 2-8: angoli alterni esterni
5-4 e 3-6: angoli coniugati interni
1-8 e 2-7: angoli coniugati esterni
t
4-8, 1-5, 2-6, 3-7:
angoli corrispondenti
2
Il quinto postulato di Euclide
a cura di Elisabetta Boselli – [email protected]
3
DEF: due rette si dicono parallele se non hanno
alcun punto in comune oppure sono coincidenti
Un criterio per il parallelismo…
a
TEO delle rette parallele (o CRITERIO di parallelismo): se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni tra loro congruenti

Hp: α  β
sono parallele
Th: a // b
dim
b
α
β
t
4
CRITERIO generale per il parallelismo:
Se due rette, tagliate da una trasversale, formano
– angoli alterni (interni o esterni) congruenti,
oppure
– angoli corrispondenti congruenti
oppure
– angoli coniugati (interni o esterni) supplementari
allora le due rette sono parallele.
a
5
b
COROLLARIO : due rette perpendicolari alla stessa retta sono parallele.
La retta a forma quattro angoli retti con
la trasversale t; così anche la retta b.
In particolare gli angoli alterni interni α
e β saranno entrambi retti e quindi congruenti tra loro.
Quindi le rette a e b sono parallele per il
criterio di parallelismo (infatti gli angoli
alterni interni interni α e β formati dalla
trasversale t con le rette a e b sono congruenti).
t
α
β
6
Costruzione di una parallela ad una retta per un punto dato
Consideriamo una retta a e un punto P ad essa esterno.
t
Tracciamo una retta t passante per P: essa formerà un
angolo α con la retta a.
Tracciamo ora una retta b passante per P che forma con
t un angolo  congruente all’angolo α (questo è
possibile per il postulato del trasporto dell’angolo)
 Le rette a e b sono parallele, poiché rispetto alla trasversale t formano
angoli alterni interni congruenti.
b
P


α
a
7
Il criterio di parallelismo e quanto visto sulla costruzione
della parallela ad una retta data per un punto esterno ad essa
ci permette quindi di affermare che vale il seguente:
TEOREMA di esistenza della retta parallela:
data una retta a ed un punto P esterno ad essa,
esiste una retta b passante per P
e parallela alla retta data
t
Potrebbe esistere una seconda retta passante
teorema
non ci assicura
che
per Questo
P che, pur
non formando
angoli alterni
P
tale rettasia
siacomunque
unica !!!

interni congruenti,
parallela alla retta a…

b
α
a
8
Attenzione, infatti….
due rette tagliate da una
trasversale
formano angoli alterni
interni tra loro
congruenti
due rette tagliate da una
trasversale
non formano angoli
alterni interni tra loro
congruenti


sono parallele
non sono parallele
… non sono affermazioni equivalenti!!!
Questo ci ha permesso di
stabilire l’esistenza della
parallela
Questo ci permetterebbe
di stabilire che non esiste
una eventuale seconda
retta parallela
9
Per garantire che non esiste una seconda retta parallela
ad una retta per un punto dato è indispensabile introdurre il seguente postulato:
POSTULATO dell’unicità della parallela
(o QUINTO POSTULATO di EUCLIDE)
Data una retta ed un punto esterno ad essa,
è unica la retta passante per quel punto e
parallela alla retta data.
10
È solo grazie al quinto postulato di Euclide che
diventa possibile dimostrare il seguente teorema:
INVERSO del CRITERIO di parallelismo
a
due rette tagliate da una trasversale
sono parallele

formano angoli alterni interni
tra loro congruenti
b
Hp: a // b
Th: α  β
dim
α
β
t
11
Più in generale, è possibile dimostrare che:
Se due rette sono parallele, allora formano con
una trasversale
– angoli alterni (interni o esterni) congruenti,
e
– angoli corrispondenti congruenti
e
– angoli coniugati (interni o esterni) supplementari
12
Perché il quinto postulato di Euclide
è così importante?
- Euclide stesso probabilmente non reputava tale postulato di
sufficiente evidenza: nella redazione dei suoi “Elementi” vi ricorre così solo quando non può farne a meno, dimostrando i
primi 28 teoremi senza utilizzarlo
- nel tentativo (fallito!) di darne una dimostrazione, sono state
formulate alcune importanti teorie, oggi note sotto il nome di
“geometrie non euclidee”: esse si sono affermate nel corso del
XIX sec., con enormi riflessi anche nell’ambito degli studi filosofici
- nella formulazione della teoria generale della relatività,
Einstein utilizzerà la descrizione non euclidea dello spazio
13
A partire dall’inverso del criterio di parallelismo è possibile dimostrare:
TEOREMA dell’angolo esterno (versione euclidea)
In un triangolo ogni angolo esterno
è congruente alla somma dei due
angoli interni non adiacenti ad esso.
dim
TEOREMA sulla somma
degli angoli interni di un poligono convesso
In un poligono convesso di n lati
La somma degli angoli interni è
congruente a (n – 2) angoli piatti.
dim
14
DIMOSTRAZIONI
fine
DIMOSTRAZIONE del CRITERIO di parallelismo
Per assurdo:
Hp: α  β
15
Th: a // b
b
Neghiamo la tesi:
le rette a e b non sono tra loro parallele
 esiste un punto P  a  b
Si considera quindi il triangolo ABP.
Per il triangolo ABP l’angolo β è un angolo esterno  β è maggiore di ogni angolo
interno non adiacente (teo angolo esterno)
In particolare, quindi, si avrà α < β
(1)
Del resto α  β per ipotesi
(2)
La conclusione (1) e l’ipotesi (2)
SONO IN CONTRADDIZIONE TRA LORO:
siamo giunti ad un assurdo, la tesi non A
poteva quindi essere negata
t
a
P
α
β
B
DIMOSTRAZIONE dell’inverso del criterio di parallelismo
Hp: a // b
16
Th: α  β
Per assurdo: Neghiamo la tesi: α e β (angoli formati dalle rette a e
b con la trasversale t) non sono congruenti tra loro.
Esisterà, quindi, una retta c passante per P che forma con t un angolo  congruente ad α.
t
Per il criterio di parallelismo, c, passante per P, è parallela ad a.
Del resto b, anch’essa passante per P, è parallela ad a per ipotesi.
Quindi per il punto P passano due rette entrambe parallele ad a.
QUESTO CONTRADDICE
IL QUINTO POSTULATO DI EUCLIDE:
siamo giunti ad un assurdo, la tesi non
poteva quindi essere negata
b
c
P


β
α
a
DIMOSTRAZIONE del TEOREMA dell’angolo esterno
(versione euclidea)
D
Hp: ABC triangolo
Th: e   + 
Prolunghiamo il lato AC dalla
parte di C; sia D un punto su
tale prolungamento.
Costruiamo la retta CE in modo che ECB   : si avrà che
CE // AB (criterio di parallelismo)
C
A
Varrà quindi che l’angolo ECD   (generalizzazione dell’inverso
del criterio di parallelismo).
Pertanto l’angolo esterno e risulterà congruente alla somma di due
angoli a loro volta congruenti ad  e  e, poiché somme di angoli
congruenti sono congruenti, si avrà la tesi.
c.v.d.
E

B
17
18
DIMOSTRAZIONE del TEOREMA
della somma degli angoli interni di un poligono convesso
La seguente figura dovrebbe rendere immediatamente evidente la
correttezza della tesi nel caso il poligono considerato sia un triangolo (la somma degli angoli interni risulta uguale a 3-2 angoli
piatti).
D
Hp: ABC triangolo
Th:  +  +   
E
C
A

B
19
DIMOSTRAZIONE del TEOREMA
della somma degli angoli interni di un poligono convesso
Ora osserviamo che ciascun poligono di n lati può essere suddiviso
in n–2 triangoli, mediante tutte le diverse diagonali che è possibile
tracciare da uno dei suoi vertici (a scelta) verso ciascuno dei restanti vertici…
B
C
T1
T2
D
A
T3
T4
F
E
20
La DIMOSTRAZIONE per ASSURDO
IPOTESI  TESI
Si ragiona a partire dalla negazione della TESI,
per arrivare ad una contraddizione:
con l’IPOTESI del teorema
oppure
con un assioma ammesso dalla geometria
oppure
con un teorema già dimostrato.
Questo significa che non è corretto negare la TESI,
e quindi che essa è VERA.