aleatorio

Dizionario Zingarelli
probabilità - condizione,
carattere di ciò che è
probabile;
probabile - credibile,
verosimile, ammissibile
in base a motivi e
argomenti abbastanza
sicuri
Introduzione
Fenomeno deterministico: se
l’esperimento è condotto nelle
stesse condizioni si trova lo
stesso risultato
Esempi:
•Moto di un grave
•Traiettoria di una pallina in
un biliardo
Fenomeno non deterministico:
anche se gli esperimenti sono
condotti nelle stesse condizioni
si trovano risultati diversi
Esempi:
•Risultato del lancio di una
moneta
•Traiettoria di 100 palline in un
biliardo
•Vincita in una lotteria
•Numero di lanci di un dado per
ottenere un 6
La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici
“Immaginiamo di aver lanciato una moneta per sei
volte e di aver ottenuto i seguenti risultati”
A. Testa, testa, testa, croce, croce, croce.
B. Testa, croce, croce, testa, croce, testa.
Quale fra A e B è la sequenza più probabile?
•
La maggior parte delle persone sceglie B, perché
rappresenta lo STEREOTIPO di sequenza casuale (sia A
che B = 1/64)
Problema : Gioco dell’oca - un finale carico di tensione
Vince colui che per primo arriva.
esattamente sulla casella FINE
Supponiamo che debba giocare C, poi B, poi A, nell'ordine.
Che probabilità ha ciascun giocatore di vincere al primo colpo?
Lo scopriremo ...
Probabilità
Nei precedenti problemi non si riesce a determinare con
certezza l'esito tra varie possibili alternative.
Due cause possibili:
- mancanza di informazioni
- l'indeterminatezza connaturata.
Ma la causa non interessa: chiameremo tali eventi
"casuali".
Per fare comunque previsioni introduciamo una nuova
quantità: la probabilità.
Caratteristiche della probabilità
- Non importa la sua vera natura: basta che sia misurabile
ed utile in casi interessanti.
- Si determina attraverso processi logici.
- E' un numero puro e si esprime in genere in frazioni di
100 (tipo 30%) o con un numero in [0,1].
Quest'ultimo metodo è conveniente per le moltiplicazioni: il 3% del 40% è
l'1,2%, facilmente ottenibile da 0,03x0,40=0,12.
Spazio campione:
Insieme S di tutti i risultati dell’esperimento
Esempio:
•Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}
•Nel caso dei numeri di lanci di un dado necessari per avere 6
S=N (numeri naturali)
Evento:
Sottoinsieme E di S dato da un insieme di risultati
caratterizzati dal godere di una stessa proprietà
Esempio:
•E={Testa} nel lancio di una moneta
Concezioni alternative di probabilità
Fenomeno casuale
Concetti
primitivi
Ogni fenomeno che non sia
prevedibile con certezza
( es del tempo a Oslo)
Evento elementare (E)
Uno dei qualsiasi modi in cui il
fenomeno si può manifestare
Probabilità dell’evento (E)
Casi favorevoli/Casi possibili
Fenomeno (o esperimento) casuale
Fenomeni ripetibili
Fenomeni
equiprobabili
Frequenza relativa delle volte in cui si
verifica (E) In una successione infinita di
osservazioni del fenomeno nelle
medesime condizioni
Grado di fiducia che un individuo
ha sul verificarsi di E
Fenomeno casuale o prova
Lancio di un dado
P

Spazio campionario
(campione)
1
Evento
elementare
Finito
n
Durata di una lampadina
N
i
Infinito
0
max
Lancio di un dado
Spazio campionario
(campione)
E=
E
Faccia “pari”

,
Si realizza se viene faccia 3 o faccia 6
A=
Modi di descrivere l’evento
Faccia “dispari”

B=


,
,
NB l’insieme può anche essere continuo ( durata lampadina)
,
,


Interpretazioni della probabilità
Esistono varie scuole su come definire la probabilità:
- Classica
- Frequentista
- Soggettivistica
- Assiomatica
Definizione classica di probabilità:
(detta a priori) -1812 Pierre Simon de Laplace:
la probabilità è data dal rapporto tra I casi
favorevoli all’evento ed il numero di casi
possibili (quando sono ugualmente possibili)
Dato un evento E:
num. casi favorevoli
P (E ) 
num. casi possibili
Es : il dado, la monete, il lotto, ecc
Uno dei protagonisti delle vicende fu
il Cavaliere di Merè, un incallito
giocatore d’azzardo, che, volendo
trovare un metodo che gli
consentisse di vincere al gioco, pose
a Blaise Pascal due problemi che
ormai sono rimasti celebri nel mondo
del calcolo delle probabilità:
E’ più probabile avere un 6 lanciando
4 volte un dado o avere almeno una
volta il doppio 6 lanciando 24 volte
due dadi?
Se due giocatori, della stessa
bravura, interrompono all’improvviso
un gioco in cui vince chi per primo
totalizza un fissato numero di punti,
come va divisa la posta se nessuno
raggiunge il punteggio?
CLASSICA
Un’urna contiene 50 palline di cui 30 bianche, 15 verdi e 5 rosse.
La probabilità che estratta una pallina essa sia bianca: 30/50=3/5, che
sia verde: 15/50= 3/10 e che sia rossa:
5/50=1/10
Da un’urna che contiene 40 palline di cui 12 b, 11 r, 17v si estraggono
CONTEMPORANEAMENTE due palline. Calcolare la probabilità che
esse siano a) entrambe bianche b) entrambe rosse c) una rossa e una
verde.
I casi possibili sono le combinazioni di 40 oggetti in due posti
C 40,2 
   40 2 39  780
40
2
a) i casi favorevoli sono tutte le combinazioni di 12 palline bianche
C12,2 =
( ) = 122• 11 = 66
12
2
in 2 posti e la probabilità richiesta è p=66/780=11/130
b) I casi favorevoli sono ora C11,2 =55 e la probabilità in senso classico è
55/780=11/156
c) I casi favorevoli sono 11*17 e la probabilità è 187/ 780.
Nel gioco del Lotto qual è la probabilità di fare ambo?
Tra tutte le cinquine possibili
i casi favorevoli sono
quindi la probabilità è
90  89  88  87  86
C90,5   905  
 43.949.268
 
5!
88
C88,3  
 3 



88  87  86
 109.736
3!
109.736
2
=
43.949.268 801
Calcolare la probabilità che, lanciando contemporaneamente 3 monete, si presentino 2
teste.
I casi possibili sono: { TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC,CCC}
Quelli favorevoli sono: {TTC,TCT,CTT}
La probabilità è quindi 3/8.
3 possibilità
8 possibilità
X= somma della faccia superiore dei due dadi {2, 3 , …, 12}
x= somma dei 2 dadi
x
combinazioni possibili
2
3
1,1
1,2
2,1
4
2,2
3,1
1,3
5
6
7
8
9
10
11
12
2,3
3,2
4,1
1,4
3,3
4,2
2,4
5,1
1,5
3,4
4,3
5,2
2,5
6,1
4,4
5,3
3,5
6,2
2,6
6,3
3,6
5,4
4,5
5,5
6,4
4,6
5,6
6,5
p(x)
1/36
6,6
Vai a DUEDADI
2/36
3/36
4/36
5/36
1,6
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Concezione frequentista o statistica.
(detta a posteriori) -1919 Richard von Mises
Si basa sulla ripetibilità della prova sotto le stesse
condizioni. Gli esiti della prova (eventi) non sono sempre
gli stessi. Se ripetiamo la prova n volte e l’evento A si
verifica nA volte, la sua probabilità (frequenza relativa) è:
nA
fr ( A)  Pr( A) 
n
Es: prove ripetute con il lancio di un dado o la caduta di un grave in
laboratorio
Ma anche le auto ad un casello, la pioggia alla festa della paciarella, il
quesito alla maturità, …
Legge empirica del caso:
In un gruppo di prove ripetute più volte
nelle stesse condizioni, ciascuno degli
eventi possibili compare con una
frequenza approssimativamente uguale
alla sua probabilità; generalmente
l’approssimazione migliora quando il
numero delle prove cresce.
Ovvero il valore della frequanza relativa f(E)=m/n tende al
valore della probabilità p(E) all’aumentare del numero n di
prove effettuate.
Vai a file excel “ dado moneta e calc comb”
Concezione soggettivista:
P(E)= prezzo da pagare / somma ricevuta al verificarsi di E
1931 Bruno de Finetti
“La probabilità di un evento è la misura della
fiducia che un individuo razionale e
coerente attribuisce, in base alle proprie
conoscenze e alle informazioni che
possiede, al verificarsi dell’evento stesso”.
Maturità 2006 corso sperimentale sessione ordinaria:
Bruno de Finetti , tra i più illustri matematici italiani,del quale ricorre il centenario
della nascita, alla domanda :”che cos’è la probabilità” era solito dire:” la
probabilità non eisiste !”
Quale significato puoi attribuire a tale risposta?E’ possibile collegarla a una delle
def di probabilità che sono state storicamente proposte?
Definizioni e insidie
classica
i casi possibili devono avere “ugual peso” (esempio del
lancio di 2 monete perfettamente identiche o la partita
juventus-acireale)
la definizione diventa “autodefinente”: la probabilità di un
evento è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il
numero di casi possibili, purchè questi siano
equiprobabili!
Presuppone una situazione “di laboratorio”, poco adatta alla
vita reale
Applicabile solo ad uno spazio degli eventi finito
frequentista
Quante prove effettuare?
La probabilità dipende dal numero di esperimenti considerati, più tale
numero è grande, più è affidabile la valutazione di probabilità
Ancora con il calcio: non si può ripetere la stessa partita tante volte...
NB un evento singolo è un evento unico che non può essere ripetuto
Per es: l’italia vincerà i mondiali nel 2010
•soggettivista
Probabilità come aspettativa soggettiva che si nutre rispetto al
realizzarsi dell’evento; la valutazione dipende dalla singola persona
che la effettua.
Soggettivo non vuol dire arbitrario, ma semplicemente legato alle
conoscenze del soggetto.
Naturalmente il soggetto deve esprimere la sua valutazione
simmetricamente, cioè deve essere disposto a mantenerla in caso
di scambio di ruoli (gioco equo).
Teoria ASSIOMATICA della probabilità
1933 Andrej Nikolavic Kolmogorov
“Non serve una definizione, serve una teoria che mi permetta di
calcolarla”.
Termini:
L’insieme di tutti gli eventi elementari è detto SPAZIO CAMPIONARIO.
L’evento IMPOSSIBILE è quello che non può mai verificarsi
L’evento CERTO è quello che si verifica sicuramente.
Evento ALEATORIO è un evento che non è nè impossibile nè certo
Due eventi si dicono INCOMPATIBILI se si verifica che A∩B = Ø
Se A è B sono due eventi allora sono eventi anche
A  B; A  B; e A
Proprietà
Unione
Intersezione
Commutativa
A B  B  A
A B  BA
Idempotenza
AA  A
AA  A
Associativa
(A  B)  C  A  (B  C)
Distributiva
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
Inoltre, si ha:
A  A
A  
A  
A  A
AA  
AA  
(A  B)  C  A  (B  C)
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
Leggi di De Morgan

(1)
(2)
AB  AB

AB  AB

 AB  AB

 AB  AB
Partizione dello Spazio Campionario
Si dice che gli eventi A1,…,Ak appartenenti ad  formano una partizione
dello spazio campionario se:
(1)
A i  A j    i  j  1,..., k
k
(2)
A
i

i 1
Vedere file probabilità e teoria degli insiemi 1 e 2
Definizione di probabilità mediante gli
Assiomi di Kolmogorov :
Postulato 1.
Postulato 2.
Postulato 3.
PEi   0, Ei  
PΩ   1
Ei  E j    PEi  E j   PEi   PE j 

1.
P(Ei) 0: (non negatività) La probabilità di un evento
Ei è sempre maggiore o uguale a 0
2.
2.i P(Ei) = 1 :(norma) La somma delle probabilità di
tutti gli eventi Ei  allo spazio degli eventi è = 1
3. Regola della Somma della Probabilità: (additività)
Si applica ad eventi incompatibili (
contemporaneamente)
cioè che non si verificano
Da questi si ricavano altre proprietà:
Probabilità dell’unione di due eventi compatibili
P ( A  B )  P ( A )  P (B )  P ( A  B )
PB  A   PB   P A  B 


0  P ( A)  1;
P ( )  0;

B  A  P (B )  P ( A);

P ( A)  1  P ( A);

P (B )  1  P (B  A)  P ( A);
 P ( B )  0    P ( B  A )  P ( A ) .

A A  
Alcune dimostrazioni
PA   1  P A
A
A

A A  
PΩ   1
Ei  E j    PEi  E j   PEi   PE j 
Postulato 2.
Postulato 3.
1  PΩ   PA  A   P A  PA 
.
A  Α
PΩ  1  PΩ 
 P  0
0  P A  1
Infatti P(A)=1-P(A) che è positiva per il primo postulato e 1 meno una
quantità positiva è certamente minore di 1
P A  B  P A  PB  P A  B
A  B  A  A  B 
A  B  C    A  B   A  C 
A  A  B  
 A  A    A  B  
    A  B  A  B
P A  B   P A  PA  B 
Postulato 3, infatti hanno intersezione vuota
Teorema 1.
PB  A   PB   P A  B 
P A  B  P( A)  PB  P A  B
P(AB C)=
P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC)
P([x pari][x7])
= P(x pari) + P(x7) - P(x{8,10,12})
= 18/36 + 21/36 - 9/36 = 30/36
x= somma dei 2 dadi
x
combinazioni possibili
2
3
1,1
1,2
2,1
4
2,2
3,1
1,3
5
6
7
8
9
10
11
12
2,3
3,2
4,1
1,4
3,3
4,2
2,4
5,1
1,5
3,4
4,3
5,2
2,5
6,1
4,4
5,3
3,5
6,2
2,6
6,3
3,6
5,4
4,5
5,5
6,4
4,6
5,6
6,5
6,6
p(x)
1/36
2/36
3/36
1,6
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Calcolare la probabilità che, lanciando contemporaneamente 3 monete, si presenti
almeno una testa.
I casi possibili sono: { TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC,CCC}
8 possibilità
Quelli favorevoli sono: { TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC}
7 possibilità
La probabilità è quindi 7/8. Ci si poteva arrivare anche attraverso 1-1/8
Supponi di avere un mazzo di carte
da 40 . Calcola la probabilità dei
seguenti eventi:
a) La carta è nera;
b) la carta è una figura;
c) la carta è un asso;
d) La carta è una figura nera
e) La carta è nera o è una figura
f) La carta è una figura o un asso
g) La carta è nera o è un’ asso
•
•
•
•
•
•
•
20/40 = 1/2
12/40 = 3/10
4/40 = 1/10
6/40 = 3/20
20/40 + 12/40 – 6/40
12/40 + 4/40
20/40 + 4/40 -2/40
Cosa comporta il
possedere
un’informazione in più?
Esempio: Calcoliamo la probabilità di ottenere somma 7
lanciando due dadi , ma sapendo che è uscito un 3!
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
La conoscenza dell’evento A ha ridotto lo spazio dei campioni
Lancio di un dado
 




E=
A=
B=
,
,
,
,
Se si sapesse che la faccia è pari
1
P E  
6
Se si sapesse che la faccia è dispari
0
PE A   0
3
1
P E B  
3
Probabilità condizionata e
indipendenza stocastica
Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere.
Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive
senza reimbussolamento una pallina rossa e poi una nera:
A:=estraggo una rossa
B:=estraggo una nera
p(A)=15/20=3/4
La probabilità di estrarre una nera dopo aver estratto una
rossa è
P(B)=5/19.
La conoscenza dell’evento A ha ridotto lo spazio dei campioni
Dati due eventi A e B si dice probabilità di B condizionata ad A
p(B|A) la probabilità di B calcolata sapendo che si è verificato A.
(E’ ovvio che si può definire una probabilità condizionata al verificarsi di A
soltanto se A è possibile quindi P(A) diverso da 0)
Probabilità condizionata e
indipendenza stocastica
Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere.
Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive
senza reimbussolamento due palline rosse:
A:=estraggo una rossa
B:=estraggo una rossa
p(A)=15/20=3/4
La probabilità di estrarre una rossa dopo aver estratto una
rossa è
P(B)=14/19.
La conoscenza dell’evento A ha modificato lo spazio dei
campioni
Probabilità condizionata. Probabilità di B
condizinatamente al verficarsi dell’evento A :
P(A  B)
P(B/A) 
P(A)
Analogamente Probabilità di A condizinatamente al verficarsi dell’evento B :
P(A/B)=P(A∩B)/P(B)
A = esce 3
B = somma 7
Es dei dadi: P(somma7/uscito3) = (2/36)/(11/36) = 2/11
Principio probabilità composte:
P(A∩B)=P(A)*P(B/A)
=P(B)*P(A/B)
Es dei dadi: P(somma7con un 3) =11/36. 2/11
Oppure =( 6/36 . 2/6)
INDIPENDENZA tra eventi.
Due eventi si dicono indipendenti se:
P(A/B)=P(A) e P(B/A)=P(B)
Dunque se e solo se:
P(A∩B)= P(A)* P(B)
(esempio: probabilità di fare testa due volte di seguito =
= probabilità testa 1° lancio x probabilità testa 2° lancio
= 0,5 x 0,5 = 0,25)
A
B
P(A)=1/2 P(b)=2/4 P(n)=2/4
B:1/2
A:1/2
b:2/4
P(B)=1/2 P(b)=3/4 P(n)=1/4
n:2/4
b:3/4
1/2.2/4=1/4=2/8
1/2.2/4=1/4=2/8 1/2.3/4=3/8
NB TOT 8 / 8 = 1
n:1/4
1/2.1/4=1/8
Attenzione! Questa volta la scelta della scatola A dipende dal tiro di un dado
 
A
P(A)=1/6 P(b)=1/4 P(n)=3/4
:1/6
1/6.1/4=1/24
P(B)=5/6 P(b)=3/4 P(n)=1/4
B:
5/6
A
b:1/4
B
b: 3/4
n: 3/4
1/6.3/4=3/24
NB TOT 24 / 24 = 1
n: 1/4
5/6.3/4=15/24
5/6.1/4=5/24
Problema 7: Gioco dell’oca - soluzione
gioca C
(1,1)
vince in un
solo colpo
qualsiasi
altro
risultato
gioca B
ottiene 4,
vince in un
solo colpo
qualsiasi
altro
risultato
gioca A
ottiene 7,
vince in un
solo colpo
qualsiasi
altro
risultato
Problema 7: Gioco dell’oca - soluzione
Calcoliamo la probabilità
che ciascun giocatore ha
di vincere al primo colpo:
1
PC 
 0.027
36
35 3
PB 

 0.081
36 36
P( nonC )P(B)
35 33 6
P(A) 


 0.149
36 36 36
P( non C ) P(non B) (PA)
Probabilità maggiore
Riassumendo:
Probabilità contraria: 1-p(E)
Probabilità totale di eventi incompatibili:
p(E1E2) = p(E1) + p(E2)
Probabilità totale di eventi compatibili:
p(E1E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1E2)
Probabilità composta di eventi indipendentii:
p(E1  E2) = p(E1) . p(E2)
Probabilità totale di eventi dipendenti
p(E1  E2) = p (E1) . P(E2 /E1)
Note:
1) due eventi mutuamente esclusivi non sono mai indipendenti
2) due eventi indipendenti, non sono mai mutuamente esclusivi
Supponiamo di estrarre 3 palline,
una alla volta senza reinserimento,
da un’urna contenente 7 palline
rosse, 9 bianche e 5 nere: qual è la
prob di estrarne una rossa e due
nere
Attenzione!!
Devo chiedermi se è : la
PRIMA rossa e POI due
nere o se è una delle tre
rossa ma non importa se
al 1° o 2 °o 3° posto
Nel primo caso è:
7/21.5/20.4/19
Nel secondo caso è:
7/21.5/20.4/19
le poss diventa
Se provo con per
casitutte
fav/casi
permutazioni, cioè per
D7,1*D5,2/D21,3 = (7 * 5*4 )/(21*20*19)
3!/2!
casi fav/casi poss diventa
C7,1*C5,2/C21,3
Cioè …..
un urna con 25 bianche e 75 nere . se viene estratta nera allora viene rimessa nell’urna;
estratta
bianca
tolta estratta
e se ne nera
aggiunge
nera.
un urna con 25 se
bianche
e 75
nere viene
. se viene
allorauna
viene
rimessa nell’urna;
La prob
di
avere
24
palline
bianche
e
76
nere
dopo
due
estrazioni
se estratta bianca viene tolta e se ne aggiunge una nera.
e relative
è: due estrazioni
La prob di avere( 24
palline eventuali
bianche einserzioni)
76 nere dopo
7/16
5/16 eventuali
151/400 inserzioni)
149/400 1/3
( e relative
è:
(25/100*76/100
+
75/100*25/100)
=
151/400
7/16 5/16 151/400 149/400 1/3
In pratica è la prob che ne esca una bianca e una nera
(25/100*76/100 + 75/100*25/100) = 151/400
Cambiamo punto di vista…..
Dall’effetto …..
… Alla causa
A
B
Il mio amico ha estratto una pallina rossa!!!!!!!! Ma da quale
scatola l’avrà pescata?
P(A)=1/6 P(n)=1/4 P(r)=3/4
 
P(B)=5/6 P(n)=3/4 P(r)=1/4
Teorema di Bayes:
la probabilità che l’evento rossa sia stato
causato dall’evento scatola A è:
PA r  
P A Pr A
Probabilità a priori
  
P A Pr A  P A  P r A
Probabilità a posteriori
Probabilità condizionate
Ragioniamo;
l’evento favorevole è : esce una pallina rossa dalla scatola A
gli eventi posssibili sono : esce una pallina rossa dalla scatola A oppure da
un’altra scatola che non è A
A
B
P(A)=1/6 P(n)=1/4 P(r)=3/4
1/6
1/4
1/6.1/4=1/24
PA r  
P(B)=5/6 P(n)=3/4 P(r)=1/4
5/6
3/4
3/4
1/6.3/4=3/24
5/6.3/4=15/24
P A  Pr A
   
1/4
5/6.1/4=5/24
1/6.3/4
P A  Pr A  P A  P r A
1/6.3/4
Cioè: 3/8
+ 5/6.1/4
Teorema di Bayes:
la probabilità che l’evento E sia stato causato
dall’evento A è:
PA E  
P A PE A
  
P A PE A  P A  P E A
se ho n cause Ai per
un evento E
la probabilità che
E sia stato
causato da Ai è:
P( Ai / E ) 
P( Ai ) P( E / Ai )
n
 P( A ) P( E / A )
i 1
i
i
P A  B  P A PB A P A  B  PB PA B
P A PB A  PB PA B
P A B  
P A  PB A
P B 
PB   PB  A  PB  A 
A
A A  
A
B

A A Ω
P A B  
P A  PB A
P B 
PB   PB  A  PB  A 
 
P  A  B   P  A  P B A
P A  B  P A PB A
PA B 
P A PB A
 
P A PB A  P A  P B A
A
A A  
A
B

A A Ω
Applicazioni del teorema di Bayes
• Esempio 1: test per un certo virus influenzale
P (virus) = 0.001
P (no virus) = 0.999
→
probabilità a priori, i.e. prima
di aver sostenuto il test
Il test prevede 2 soli risultati: + / −
P (+ | virus) = 0.98
P (− | virus) = 0.02
→
probabilità dei 2 possibili risultati
nel caso di persona infetta
P (+ | no virus) = 0.03
P (− | no virus) = 0.97
→
probabilità dei 2 possibili risultati
nel caso di persona sana
Il risultato del test è + → devo preoccuparmi ?
Applicazioni del teorema di Bayes
La probabilità di essere infetto dato un risultato + del test è:
P (+ | virus) P (virus)
P (virus | +) =
P (+ | virus) P (virus) + P (+ | no virus) P (no virus)
=
0.98 x 0.001
0.98 x 0.001 + 0.03 x 0.999
= 0.032
probabilità a posteriori
la probabilità di essere infetto dato un risultato +
del test è soltanto il 3.2 %, i.e. sono OK !
Risultato sorprendente ? NO, la probabilità a priori è molto piccola (0.1 %)
Applicazioni del teorema di Bayes
… e la probabilità di essere infetto dato un risultato − ?
P (− | virus) P (virus)
P (virus | −) =
P (− | virus) P (virus) + P (− | no virus) P (no virus)
=
0.02 x 0.001
0.02 x 0.001 + 0.97 x 0.999
… il test è affidabile
≅ 2.1 x 10-5
Lavoro molto liberamente elaborato da alcuni dei seguenti link
Istituzioni di Matematiche
Scienze Naturali dott sergio console
Corso di Teoria dell’Inferenza Statistica 1
a.a. 2003/2004 - Terzo Periodo Prof. Filippo DOMMA
Corso di Laurea in Statistica – Facoltà di Economia - UniCal
di Gianfranco Arrigo
Dipartimento dell’istruzione e della cultura
Bellinzona
Alberto Gandolfi
[email protected]
Dott E. GORI