Probabilità Lezione 1

Calcolo delle Probabilità
Definizioni di probabilità:
Classica
(Pascal)
Se un evento si può verificare in N modi mutuamente
esclusivi ed ugualmente probabili, se m di questi
possiede una caratteristica E, la probabilità di E è il
1623-1662 rapporto tra il numero di casi favorevoli e il
totale dei casi possibili (tutti equiprobabili)
Esempi
•Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}.
p(Testa)=1/2 (casi favorevoli 1, possibili 2)
•Lanciamo due dadi e calcoliamo la probabilità che la somma
dei punti sia 4
Per semplicità scriviamo i numeri estratti come coppie:
Le coppie di 6 numeri sono 6 * 6= 36 = numero di casi possibili;
I casi favorevoli sono dati dalle coppie (1,3), (2,2) e (3,1) e sono
quindi 3. Pertanto
p(somma 4 in 2 lanci)=3/36=1/12
Problemi della definizione classica:
•non sempre posso dire che eventi sono equiprobabili
(asimmetrie - esempio: ho un dado truccato)
•il numero di casi deve essere finito
Aspetti positivi:
•è una definizione operativa
Definizione
assiomatica
Determinazione
della probabilità
usando il calcolo
combinatorio
Definizione di probabilità.
Def. 4. Classica
La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli
di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili.
EVENTI INDIPENDENTI E DIPENDENTI
L’evento A è indipendente da B se il fatto che si verifichi
il primo non altera la probabilità che si verifichi il secondo
Esempi di probabilità condizionata
Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere.
Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive senza
reimbussolamento una pallina rossa e poi una nera:
A:=estraggo una rossa
B:=estraggo una nera
p(A)=15/20=3/4
La probabilità di estrarre una nera dopo aver estratto una rossa è 5/19.
La conoscenza dell’evento A ha ridotto lo spazio dei campioni
Dati due eventi A e B si dice probabilità di B condizionata ad A
p(B|A) la probabilità di B calcolata sapendo che si è verificato A.
(E’ ovvio che si può definire una probabilità condizionata al verificarsi di A
soltanto se A è possibile.)
p(B|A)
= 5/19
La probabilità di estrarre prima una rossa e poi una
nera è
p(AB)=p(A)p(B|A)=3/4*5/19=15/76
Regola di moltiplicazione:
p(B|A) in funzione di p(A) e p(AB)
se p(A)≠0
Esempio: trovare la probabilità che con un lancio di un dado si
ottenga un numero < 5, sapendo che il risultato del lancio è dispari
B:={ottengo un numero < 5}
A:={ottengo un dispari}
p(B)=2/3,
p(A)=1/2,
A B={1,3}, p(A B)=1/3
p(B|A)=p(A B)/p(A)=(1/3)/(1/2)=2/3
Esempio:
in un’urna ci sono 10 palline rosse e 12 nere. Estraiamo dall’urna una
pallina poi la rimettiamo nell’urna (estrazione con reimbussolamento).
Siano
A1={estraggo una pallina rossa alla prima estrazione}
A2={estraggo una pallina rossa alla seconda estrazione}
L’aver estratto una rossa alla prima estrazione non influenza la
probabilità che la seconda sia rossa
A1 e A2 sono indipendenti
Regola di moltiplicazione per eventi
indipendenti
Esempio: Nel caso dell’estrazione con reimbussolamento
dell’esempio precedente la probabilità di estrarre entrambe le
volte una pallina rossa è
p(A1A2)=p(A1)p(A2)=(10/22)2
Vale la seguente regola di moltiplicazione per eventi
indipendenti A e B:
p(AB)=p(A)p(B)
Prove ripetute
Formula di Bernoulli
Teorema della
probabilità totale
Formula di Bayes
Teorema di Bayes
Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A1,…,An
se sappiamo che B si è verificato, ci si può porre il problema di calcolare
la probabilità che B venga da uno di tali eventi, un generico Ai
effetto
cause