2ndweek_lezione8

Lezione 8
• Esperimento di Thomson per la determinazione del
rapporto carica/massa dell’elettrone: quattro possibili
tecniche
1
1897 - Esperimento di Thomson per la misura del rapporto q/m
dell’elettrone (1° metodo)
Gli elettroni emessi dal catodo vengono accelerati verso un anodo
forato, lo attraversano e poi vengono deviati in un campo magnetico
disposto ortogonalmente alla direzione degli elettroni. In campo
elettrico, l’elettrone sente la forza elettrica accelerante:
F q E
e la loro energia cinetica finale (trascurando quella iniziale) sarà:
1
q
m v 2  q V  v 2  2 V (1)
2
m
2
Nel campo magnetico gli elettroni sentono la forza di Lorentz:



Fqv  B
diretta ortogonalmente alla direzione di volo degli elettroni e a quella del campo

magnetico.
F

v

B
e con modulo pari a:
Fq vB
v2
Fma m
r
v2
 m
qvB
r

q v

m Br
(2)
3
Dalla (1) possiamo ricavare v:
q
v  2 V
m
(3)
e sostituendo la (3) nella (2) possiamo ricavare q/m:
q v
q

 2 V
m Br
m
1
Br
2
q
q
 1 
    2 V 

m
m
B
r
 


q
 1 
  2 V 

m
Br
2
2
Il valore di q/m trovato è 1.7588 · 1011 C/Kg.
4
2° metodo usato da Thomson per determinare il rapporto q/m
Come prima, gli elettroni emessi dal catodo vengono accelerati verso un anodo
forato, e lo attraversano. Attraversano poi una regione nella quale possono essere
attivati un campo elettrico e un campo magnetico.
Nel campo elettrico iniziale, come prima abbiamo:
1
q 1 v2
2
m v  q V  
(1)
2
m 2 V
5
Sfruttiamo la zona contenente il campo elettrico e magnetico come filtro di
velocità, cioè troviamo i valori di E e di B per i quali l’ elettrone non subisce
deflessione:
FE  q E
diretta verticalm ente
FB  q v B
diretta verticalm ente
Scegliamo E e B in modo tale che FE = - FB e cosi avremo:
qE- qvB

E
v
B
(2)
Sostituendo la (2) nella (1) troviamo il rapporto q/m:
q 1 v2
1


m 2 V
2
E2 1
B2 V
(3)
6
3° metodo usato da Thomson per determinare il rapporto q/m
y
L1
L2
Come prima, gli elettroni emessi dal catodo vengono accelerati verso un anodo
forato, e lo attraversano. Attraversano poi una regione nella quale possono essere
attivati un campo elettrico e un campo magnetico.
In presenza del solo campo elettrico diretto lungo l’asse y (verticale), l’elettrone,
dotato di una velocità iniziale uniforme v lungo l’asse z, nel tratto L1 si muoverà
di moto uniformemente accelerato lungo l’asse y per effetto del campo E e di
moto rettilineo uniforme lungo l’asse z con velocità v.
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y
y2
y1
L1
z
L2
L’elettrone entra nella regione L1 con velocità iniziale parallela all’asse z e
posizione iniziale nell’origine degli assi:

r0  (x 0 , y 0 , z 0 )  (0, 0, 0)

v 0  (v 0,x , v 0,y , v 0,z )  (0, 0, v 0 )
In presenza del solo campo elettrico, l’ elettrone subisce una deflessione lungo la
direzione verticale (cioè parallela al campo), la cui accelerazione è legata al
rapporto q/m dalla relazione:
F  ma e F  q E

q a

m E
(1)
dove E è noto mentre a non è conosciuta. Per misurare “a” sfruttiamo la
deflessione y subita dall’ elettrone e misurabile sullo schermo fluorescente.
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Il moto dell’ elettrone nel tratto L1 è quindi rettilineo e uniforme lungo l’asse z e
uniformemente accelerato lungo l’asse y:
L
asse z :
z 1  L1  z 0  v z,0 t 1  v 0 t 1
 t 1  1
(2)
v0
asse y :
y 1  y 0  v y,0
1
1
1 L 
2
2
t 1  a t 1   a t 1   a  1 
2
2
2  v0 
2
(3)
Dalla relazione (1) estraiamo l’accelerazione e sostituiamola nella (3):
1 q  L1 
y1  
E 
2 m  v 0 
2
(4)
In questa espressione E, L1 sono noti, v0 può essere misurata (v. dopo), y1 può
essere misurato e quindi possiamo estrarre il rapporto q/m:
2 y1  v 0 
q
 

m
E  L1 
2
(5)
9
La velocità con cui gli elettroni arrivano al condensatore può essere determinata
come abbiamo già fatto nel secondo metodo e cioè attivando anche il campo
magnetico lungo l’asse x (in modo che eserciti una forza anch’ esso lungo y come
il campo elettrico) e trovando i due valori di B, che bilancia il campo E in modo
che la particella non venga deflessa. In tal caso, come prima:
v0 
E
B
Pertanto la (5) diventa:
2 y E
q
 212
m
B L1
(6)
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Se invece di misurare y1, noi siamo in grado di misurare y2 (sullo schermo
fluorescente), basti ricordare che all’uscita del condensatore, nel tratto L2, il
moto dell’elettrone è rettilineo e uniforme sia lungo l’asse y sia lungo l’asse z.
L
asse z :
z 2  L 2  L 1  L 1  v z,1 t 2  v 0 t 2
 t 2  2
(6)

v0
 v0
2
asse y :
y 2  y 1  v y,1
L
1 q  L1 
t 2  
E    v y,1 2
2 m  v0 
v0
(7)
dove vy,1 è la velocità alla fine del condensatore, che si può ottenere da:
v y1  v y0  a t 1 
Pertanto la (7) diventa:
2
asse y :
q L1
E
m v0
(8)
2
L
1 q  L1 
1 q  L1 
q L L
y2 
E    v y,1 2 
E    E 1 2
2 m  v0 
v0
2 m  v0 
m v0 v0
q L1  1

y2 
E
L

L

1
2
m v 02  2

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4° metodo usato da Thomson per determinare il rapporto q/m
Gli elettroni entrano dal piccolo bulbo al grande bulbo dove vengono sottoposti a
un campo magnetico che li fa deviare. Il campo magnetico viene regolato in modo
da fare entrare gli elettroni nella fenditura dove un elettrometro misura la quantità
di carica da essi depositata che è pari a n volte la carica elementare, dove n è il
numero di elettroni entranti.
Qnq
(1)
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Al tempo stesso possiamo misurare la quantità di calore rilasciata dagli elettroni
che trasformano la loro energia cinetica in riscaldamento del materiale assorbente,
di cui sono noti la massa e il calore specifico:
En
1
m v2
2
(2)
Dividendo la (1) per la (2) otteniamo il rapporto q/m:
q
Q 1
2
m
E v2
Il valore attualmente accettato di q/m è:
q
 1. 7588028  1011 C / Kg
m
13
ESPERIMENTO DI MILLIKAN PER LA DETERMINAZIONE DELLA
CARICA q DELL’ ELETTRONE (1911)
Tra le armature di un condensatore piano vengono spruzzate goccioline di olio,
che per effetto dello strofinio con lo spruzzatore si caricano elettricamente.
La gocciolina di olio, se soggetta alla sola forza di gravità, si muove di moto
uniformemente accelerato, ma subisce la resistenza dovuta alla viscosità dell’
aria, la quale fa si che la goccia cada con moto uniforme, cioè con velocità
costante (vedi dopo).
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Se applichiamo un potenziale elettrico tra le armature del condensatore tale da
bilanciare la forza peso, la velocità della goccia sarà nulla (quindi la forza di
viscosità si annulla) e le due forze in gioco rimangono:
FP  m g
forza peso
FE  q E
forza del campo elettrico
Se esse si bilanciano avremo:
mg qE

q m
g
g
gd
m
m
E
V/d
V
(0)
In questa espressione l’ unica incognita è la massa della goccia. Questa può essere
calcolata annullando il campo elettrico ed esaminando il moto della goccia in
presenza solo della forza peso e della forza di resistenza dell’ aria.
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Le forze in gioco adesso sono:
FP  m g
forza peso
FR  6 π η v R forza resistente dell' aria
dove: m = massa della goccia
R = raggio della goccia
v = velocità della goccia
 = viscosità dell’ aria
Il moto della goccia è descritto dall’ equazione seguente:
m a  FP - FR  m a  m g - 6 π η v R
d2x
dx
m 2 mg-6πη
R
dt
dt
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Dopo un tempo sufficientemente elevato, la goccia si muove di moto rettilineo
uniforme. Possiamo calcolare la velocità di regime della goccia, prendendo
l’equazione del moto e sostituendovi a = d2x/ dt2 = 0:
dx
(5)
con
dt
mg
mg
 v regime 

k
6πηR
0 mg-k
k6πηR
(5)
Nella formula precedente, la velocità della goccia può essere misurata dal tempo
che essa impiega a transitare attraverso due tacche poste a distanza fissa; i valori
di R ed m sono incogniti ma possono essere messi in relazione tra loro
esprimendo m in funzione del volume e quindi del raggio R della goccia.
ρ
m
m

V 4 π R3
3
 m
4
ρ π R3
3
(6)
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Pertanto la (5) diventa:
v
mg
6πηR
 R
4
ρ π R 3g
2 ρ g R2
3


6πηR
9 η
9
η
v
2 ρg
(7)
Ora la massa della goccia può essere calcolata, sostituendo la (7) nella (6). Se
torniamo quindi alla formula (0):
gd
q m
V
adesso tutte le grandezze sono note e possiamo quindi calcolare q. Il valore
determinato da Millikan è:
q  1.60210  10-19 C
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Dall’ esperimento di Thomson era noto il valore del rapporto q/m dell’ elettrone:
q
 1. 7588028  1011 C / Kg
m
Dall’ esperimento di Millikan otteniamo il valore della carica dell’ elettrone:
q  1.60210  10-19 C
Pertanto il valore della massa dell’ elettrone sarà:
1.60210  10-19 C
- 31
m 

9.109

10
Kg
11
1. 7588028  10 C / Kg
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