Soluzioni fisica II 14092015

Corso di Laurea in Ottica e Optometria
Esame fisica II 14/09/15
a.a. 2014/2015
Soluzioni
1) Date 2 sfere isolanti, rispettivamente di raggio 0,3 cm e 0,5 cm, massa 0,1 Kg e
0,7 Kg e carica -2x10-6 C e 3x10-6 C vengono lasciate in quiete con i loro centri
distanti 1 m. Che velocità avranno quando si urteranno? (si consideri la
conservazione dell’energia e della quantità di moto)
La conservazione dell’energia ci dice:
𝑄1 𝑄2
𝑄1 𝑄2
1
2 1
𝑈𝑖 = 𝑈𝑓 + 𝐾𝑓 dove 𝑈𝑖 = 4𝜋𝜀
,
𝑈
=
e
𝐾
=
𝑚
𝑣
+2 𝑚2 𝑣2 2 da cui:
𝑓
𝑓
1
1
𝑑
4𝜋𝜀 (𝑟 +𝑟 )
2
0
𝑄1 𝑄2
4𝜋𝜀0
𝑄1 𝑄2
0 (𝑟1 +𝑟2 )
− 4𝜋𝜀
𝑑
1
0
1
2
1
= 2 𝑚1 𝑣1 2 + 2 𝑚2 𝑣2 2
Per la conservazione della quantità di moto, essendo nulla quella iniziale deve
essere nulla anche quella finale, per cui:
𝑚
𝑚1 |𝑣⃗1 | = 𝑚2 |𝑣⃗2 | da cui |𝑣⃗1 | = 𝑚2 |𝑣⃗2 | e sostituendo nella prima equazione:
𝑄1 𝑄2
4𝜋𝜀0 𝑑
(𝑟1 +𝑟2 )−𝑑
( 𝑑(𝑟
1 +𝑟2 )
𝑄 𝑄
)=(
𝑚1 𝑚2 +𝑚2 2 1
𝑚1
1
) 2 𝑣2 2 da cui
(𝑟 +𝑟2 )−𝑑
𝑚1
) (𝑚 𝑚 +𝑚
2)
)
+𝑟
1 2
1 2
2
1 2
𝑣2 = √2𝜋𝜀
( 1
𝑑 𝑑(𝑟
0
𝑚
= 1,55 𝑚/𝑠 e 𝑣1 = 𝑚2 𝑣2 = 10,85 𝑚/𝑠
1
⃗⃗ = |𝐵
⃗⃗ |𝑗̂, con il modulo di
2) Un selettore di velocità consiste in un campo magnetico 𝐵
B = 15,0 mT, ed un campo elettrico 𝐸⃗⃗ = |𝐸⃗⃗ |𝑘̂. Si trovi il valore del modulo di E per
cui un elettrone da 750 eV, in moto lungo la direzione positiva dell’asse x, non
viene deflesso.
La forza di Lorentz agente sull’elettrone è:
⃗⃗ + 𝑞𝐸⃗⃗
𝐹⃗ = 𝑞𝑣⃗ × 𝐵
Perché l’elettrone non venga deflesso tale forza deve essere nulla. Quindi, poiché il campo
elettrico ed il campo magnetico sono ortogonali tra loro ed entrambi al moto dell’elettrone
⃗⃗ + 𝑞𝐸⃗⃗ = 0 ⟹ 𝑣𝐵 = 𝐸.
𝑞𝑣⃗ × 𝐵
Tenendo conto che
2𝐸𝑘
2 × 750 × 𝑐 2
𝑣=√
=√
= 162,6 × 105 𝑚/𝑠
𝑚
0,511 × 106
10−3 𝑉
𝐸 = 𝑣𝐵 = 162,6 × 10 × 15 ×
= 244 𝑘𝑉/𝑚
𝑚
5
3) Si trovi la corrente che percorre il segmento di filo PQ di lunghezza a = 65,0 cm
come mostrato in figura. Il circuito si trova in un campo magnetico che varia nel
tempo come B=(1,0x10-3 T/s)t ed è ortogonale alla spira. La resistenza per unità
di lunghezza del filo vale 0,1 Ω/m. (Si schematizzi la spira con le resistenze
corrispondenti ai vari segmenti e le relative maglie e si usino le leggi di Kirchhoff)
P
a
2a
Q
a
La spira è costituita da due maglie. La prima costituita dal rettangolo di lati a e 2a e la
seconda dal qudrato di lato a a destra del ramo PQ. Dal punto di vista elettrico la prima
maglia ha un generatore di tensione
𝑑𝜙
⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗1 = 𝐵2𝑎2 e 4 resistenze in serie, due di valore 𝑅 = 𝜌 × 𝑎 e due di
𝑉1 = − 𝑑𝑡𝐵1 = ∮ 𝐵
valore 𝜌 × 2𝑎 = 2𝑅
𝑑𝜙
⃗⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗2 = 𝐵𝑎2 e quattro
La seconda, un generatore di tensione 𝑉2 = − 𝑑𝑡𝐵2 = ∮ 𝐵
resistenze in serie ognuna di valore 𝑅 = 𝜌 × 𝑎.
Applicando le leggi di Kirchoff alle due maglie, e considerando i1 e i3 diretti verso P e i2
uscente da P, si ha:
𝑖3 = 𝑖2 − 𝑖1
𝑉1 − 𝑅𝑖1 − 2𝑅𝑖1 + 𝑅𝑖3 − 2𝑅𝑖1 = 0
𝑉2 − 𝑅𝑖2 − 𝑅𝑖3 − 𝑅𝑖2 − 𝑅𝑖2 = 0
risolvendo il sistema si ottiene:
𝑖3 =
𝑎
= 283𝜇𝐴
23 × 0.1