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Calcolo delle Probabilità
seconda parte
Istituzioni di Matematiche
Scienze Naturali
Sergio Console
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Probabilità condizionata e
indipendenza stocastica
Esempio: un’urna contiene 15 palline rosse e 5 nere.
Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive
senza reimbussolamento una pallina rossa e poi una nera:
A:=estraggo una rossa
B:=estraggo una nera
p(A)=15/20=3/4
La probabilità di estrarre una nera dopo aver estratto una
rossa è 5/19.
La conoscenza dell’evento A ha ridotto lo spazio dei campioni
Dati due eventi A e B si dice probabilità di B condizionata ad A
p(B|A) la probabilità di B calcolata sapendo che si è verificato A.
(E’ ovvio che si può definire una probabilità condizionata al verificarsi di A
soltanto se A è possibile.)
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p(B|A)
= 5/19
La probabilità di estrarre prima una rossa e poi una
nera è
p(AB)=p(A)p(B|A)=3/4*5/19=15/76
Regola di moltiplicazione:
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p(B|A) in funzione di p(A) e p(AB)
se p(A)≠0
Esempio: trovare la probabilità che con un lancio di un dado si
ottenga un numero < 5, sapendo che il risultato del lancio è dispari
B:={ottengo un numero < 5}
A:={ottengo un dispari}
p(B)=2/3,
p(A)=1/2,
A B={1,3}, p(A B)=1/3
p(B|A)=p(A B)/p(A)=(1/3)/(1/2)=2/3
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Esercizio
La seguente tabella rappresenta la frequenza mensile in cui dei
ragazzi vedono il telefilm “Friends”
Numero di volte al mese
Maschi
Femmine
Totale
0
4
5
9
1-5
7
9
16
6 - 10
21
23
44
11 - 15
11
9
20
>15
3
5
8
Totale
46
51
97
Scelgo una persona a caso.
•Qual è la probabilità che non veda mai il telefilm?
p(0)=9/97
•Se è un maschio, qual è la probabilità che non veda mai il telefilm?
p(0|M)=4/46
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Indipendenza stocastica
Se per due eventi A e B p(A|B)=p(A)
si dice: l’evento A è stocasticamente indipendente da B
Esempi:
•Nell’esercizio precedente: non vedere mai il telefilm “Friends” ed essere
maschio non sono stocasticamente indipendenti
•Siano
A:={una persona è alta più di 1 metro e 75}
B:={una persona non mangia Nutella}
Supponiamo che p(A)=0.5, p(B)=0.3, p(AB)=0.15
Allora p(A|B)=p(AB)/p(B)=0.15/0.3=0.5=p(A)
Dunque A è stocasticamente indipendente da B.
Nota: p(B|A)=p(AB)/p(A)=0.15/0.5=0.3=p(B)
anche B è stocasticamente indipendente da A.
Questo non è casuale:
A è stoc. indipendente da B
B è stoc. indipendente da A
e diciamo “A e B sono indipendenti”
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Indipendenza stocastica ≠ indipendenza logica
ovvero in generale possiamo dedurre l’indipendenza
stocastica solo dai dati che abbiamo a disposizione
Però può accadere che dalla logica dell’evento si possa
dedurre l’indipendenza
Esempio: in un’urna ci sono 10 palline rosse e 12 nere.
Estraiamo dall’urna una pallina poi la rimettiamo nell’urna
(estrazione con reimbussolamento). Siano
A1={estraggo una pallina rossa alla prima estrazione}
A2={estraggo una pallina rossa alla seconda estrazione}
L’aver estratto una rossa alla prima estrazione non influenza
la probabilità che la seconda sia rossa
A1 e A2 sono indipendenti
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Regola di moltiplicazione per eventi
indipendenti
Esempio: Nel caso dell’estrazione con reimbussolamento
dell’esempio precedente la probabilità di estrarre entrambe
le volte una pallina rossa è
p(A1A2)=p(A1)p(A2)=(10/22)2
Vale la seguente regola di moltiplicazione per eventi
indipendenti A e B:
p(AB)=p(A)p(B)
Nota: non confondere i concetti di “eventi disgiunti” ed “eventi
indipendenti”. Due eventi disgiunti non sono mai indipendenti (se cosi
fosse avrei p(AB)=p(ø)=0=p(A)p(B), quindi p(A) o p(B) sarebbe nulla).
In realtà due eventi disgiunti sono fortemente dipendenti: se un evento è
realizzato non può esserlo l’altro.
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Esercizio
Si hanno tre urne.
U1 ha 2 palline bianche e 2 nere
U2 ha 1 pallina bianca e 3 nere
U3 ha 4 palline bianche e 2 nere
Si sceglie un’urna a caso e si estrae una pallina.
Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca?
U1
bianca
1/2
1/3
1/3 U2
1/3
U3
1/4
bianca
2/3
bianca
P(bianca)=1/2 * 1/3 + 1/4 * 1/3 + 2/3 * 1/3=17/36
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Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A1,…,An
A1 ,..., An , , B  ,
PB   PB  A1   ....  PB  An  
 P( B | A1 ) P( A1 )  ...  P( B | An ) P( An )
effetto
cause
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Dr. Daniela Morale
Teorema delle probabilità totali
Esercizio
In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di
pioggia è del 30%.
La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se piove è
dello 0.4% e dello 0.01%, se non piove.
• Qual è la probabilità che vinca Mazzacane?
Sia P={piove} M={vince Mazzacane}
0.3
P
0.004
M
0.7
Pc
0.0001
M
p(M)=0.3*0.004+0.7*0.0001=0.00127
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Teorema di Bayes
Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A1,…,An se
sappiamo che B si è verificato, ci si può porre il problema di calcolare la
probabilità che B venga da uno di tali eventi, un generico Ai
A1 ,..., An , , B  ,
P( B)  0
P( Ai  B) P( B | Ai ) P( B)

P( B)
P( B)
P( B | Ai ) P( Ai )

P( B | A1 ) P( A1 )  ...  P( B | An ) P( An )
P Ai | B  
cause
effetto
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Esercizio (continuazione)
In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di
pioggia è del 30%.
La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se piove è
dello 0.4% e dello 0.01%, se non piove.
• Se vince Mazzacane qual è la probabilità che piova?
Sia P={piove} M={vince Mazzacane}
0.3
P
0.004
M
0.7
Pc
0.0001
M
p(P|M)=0.3*0.004/0.00127=0,94488
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Esercizio
Sia C l’evento: la nuova sede di scienze sarà pronta nel 2009
e sia E : l’impresa a cui è dato l’appalto fallirà prima del 2008.
Se la probabilità che la ditta fallisca prima del 2008 è del 60% e
la probabilità che la sede sia pronta è del 0.15 o del 0.75 a seconda
se la ditta fallisce o no prima del 2008, calcolare la probabilità che
se la sede è pronta in tempo, la ditta sia non fallita prima del 2008
p(C|E)=0.15
p(E)=0.60
p(Ec)=0.40
C
E
Ec
p(C| Ec)=0.75
C
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Da trovare p(Ec | C)
Nella formula del teorema di Bayes
A numeratore metto quanto viene moltiplicando i
numeri del ramo relativo a S-E (quello in basso):
p(Ec) * p(C | Ec)=0.40 * 0.75 = 0.30
A denominatore metto la somma di quanto viene
dai prodotti delle probabilità di entrambi i rami
p(E)*p(C | E)+p(Ec) * p(C | Ec)=
=0.60 * 0.15 + 0.40 * 0.75 = 0.39
Trovo allora p(Ec | C)=0.30/0.39=0.77
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Esercizio di riepilogo
La seguente tabella mostra 1000 candidati ad una scuola per infermieri
classificati secondo il punteggio riportato all’esame di ingresso
all’università e la qualità della scuola superiore da cui provenivano
Pun tegg io
Bas so
Medi o
Al to
Totale
Scarsa
Discreta
10 5
70
25
20 0
Otti ma
60
17 5
65
30 0
Totale
55
14 5
30 0
50 0
22 0
39 0
39 0
10 00
Dire qual è la probabilità che un candidato
1. Abbia avuto un punteggio basso all’esame.
2. Si sia diplomato in una scuola ottima
3. Abbia avuto un punteggio basso e si sia diplomato in una scuola
ottima.
4. Ammesso che si sia diplomato in una scuola ottima, abbia avuto un
punteggio basso
(Esercizio 7, pag. 72, Daniel - Biostatistica)
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