CIRCONFERENZA
TEORIA
PROPIETA' – PROBLEMI RISOLTI
CIRCONFERENZA.- E' L'INSIEME INFINITO
DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDISTANTI DA
UN PUNTO DETTO CENTRO DELLA
CIRCONFERENZA
ELEMENTI DI UNA CIRCONFERENZA
Freccia o sagitta
Q
Corda PQ
Retta
secante
P
Raggio
A
B
Centro
Arco BQ
Diametro
( AB )
T
Punto di tangenza
Retta
tangente
PROPRIETA' FONDAMENTALI
01.- Il raggio che ha un estremo sul punto di
tangenza è perpendicolare alla retta tangente.
R L
02.- Il raggio o il diametro perpendicolari a una corda
la bisecano (la dividono in due segmenti congruenti).
P
Q
R
PQ
PM
MQ
03.-Corde parallele determinano archi congruenti
compresi fra le parallele.
A
C
B
D
Se
:AB
//
CD
AC
BD
04.- A corde congruenti in una stessa circonferenza
corrispondono archi congruenti.
A
C
Corde
congruenti
Archi congruenti
B
Le corde sono
equidistanti dal
centro
D
Se
:
AB
CD
AB
CD
POSIZIONI RELATIVE DI DUE
CIRCONFERENZE
01.- CIRCONFERENZE CONCENTRICHE.- Hanno lo stesso centro.
r
d = distanza fra i centri ; d : pari a zero
02.- CIRCONFERENZE ESTERNE.- Non hanno punti in comune.
R
r
Distanza fra
i centri (d)
d>R+r
03.- CIRCONFERENZE TANGENTI ESTERNAMENTE.- Hanno un
punto in comune che è il punto di tangenza.
Punto di tangenza
R
Distancza fra
i centri (d)
d = R + r
r
04.- CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNAMENTE.- Hanno un
punto in comune che è il punto di tangenza.
Punto di
tangenza
r
R
d
d=R-r
d: Distanza fra i centri
05.- CIRCONFERENZE SECANTI.- Hanno due punti comuni
che sono i punti d'intersezione.
Distanza fra
i centri (d)
(R–r)<d<(R+r)
06.- CIRCONFERENZE ORTOGONALI.- I raggi sono
perpendicolari nel punto d'intersezione.
Distanza fra
i centri (d)
d2 = R2 + r2
06.- CIRCONFERENZE INTERNE.- Non hanno punti comuni.
d
d<R-r
d: Distanza fra i centri
PROPIETA' DELLE TANGENTI
1.- Da un punto esterno a una circonferenza si possono
disegnare due rette tangenti che determinano due
segmenti congruenti. Nel punto di tangenza, il raggio
risulta perpendicolare alla tangente.
A
R
R
B
AP = PB
P
2.- TANGENTI ESTERNE COMUNI.- segImenti AB e CD sono congruenti
A
B
R
r
r
R
D
C
AB = CD
3.- TANGENTI INTERNE COMUNI.- I segmenti AB e CD sono congruenti.
A
D
R
r
r
R
B
C
AB = CD
TEOREMA DI PONCELET.-
In tutti i triangoli rettangoli, la somma dei cateti è
uguale alla lunghezza dell'ipotenusa più il doppio del raggio inscritto. Poichè l'ipotenusa è
uguale al doppio del raggio della circonferenza circoscritta, allora la somma dei cateti è
uguale al doppio della somma del raggio inscritto e di quello circoscritto.
Raggio
inscritto
b
a
Raggio
circoscritto
r
R
a + b = c + 2r
c
R
a + b = 2(R+r)
TEOREMA DI PITOT.- In tutti i quadrilateri circoscritti a una
circonferenza, accade che la somma delle lunghezze dei lati
opposti è uguale.
b
Quadrilatero circoscritto
c
a
d
a + c = b + d
1.- MISURA DELL'ANGOLO AL CENTRO.- E' uguale
alla misura dell'arco che gli si oppone.
A
r
C
r
B
= AB
2.- MISURA DELL'ANGOLO INTERNO.- E' uguale
alla semisomma delle misure degli archi
opposti
D
A
C
B
AB
CD
2
3.- MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA (
INSCRITTO ).- E' la metà della misura dell'arco opposto.
A
B
C
AB
2
4.- MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ( SEMIINSCRITTO ).- E' uguale alla metà dell'arco opposto.
A
C
B
AB
2
1.- MISURA DELL'ANGOLO ESCRITTO.- E' uguale alla metà
della misura dell'arco ABC.
A
C
B
ABC
2
6.-ANGOLI ESTERNI.- Si distinguono tre casi :
a.- Misura dell'angolo formato da due rette tangenti la
circonferenza.- E' uguale alla semidifferenza delle misure
degli archi opposti.
A
mACB
-mAB
2
C
B
+
O
AB = 180°
b.- Angolo formato da due rette secanti.- E' uguale alla
semidifferenza della misura degli archi opposti.
B
C
D
A
AB
-CD
2
O
c.- Misura dell'angolo formato da una retta tangente e da una
secante.- E' uguale alla semidifferenza della misura dei due
archi opposti.
B
C
A
AB
- BC
2
O
Problema Nº 01
Dal punto “P” esterno a una circonferenza si
disegnano la tangente PQ e la secante PRS. Se RS
misura 140º e l'angolo QPS misura 50º, calcola la
misura dell'angolo PSQ.
RISOLUZIONE
Per l'angolo escritto PQS
PSQ = x
QRS
AngoloPQS
2
Si disegna la corda SQ
Q
70º+x
50°
2X
P
Sostituendo:
140
º
2
x
AngoloPQ
70
º
x
2
Nel triangololo PQS:
R
X
X + (X+70) + 50° = 180°
Risolvendo l'equazione:
S
140°
X = 30°
Problema Nº 02
Da un punto “P” esterno a una circonferenza si hanno le
due rette tangenti PQ y PR. Sull'arco maggiore QR si pone
un punto “S”, si traccia la RH perpendicolare alla corda
QS. Se l'angolo HRS=20º, quanto misura l'angolo QPR?
RISOLUZIONE
PSQ = x
Nel triangolo rettangolo RHS
L'angolo S = 70º
Per l'angolo inscritto si ha
Q
QR
70º
2
S
70°
140°
20°
R
X
QR = 140°
Si tratta di proprietà che porta
a:
P
140° + X = 180°
Risolvendo:
X = 40°
Problema Nº 03
Da un punto “P” esterno a una circonferenza si
disegnano le secanti PBA e PCD tali che le corde AC e
BD siano perpendicolari fra loro; calcola la misura
dell'angolo APD quando l'arco AD misura 130º.
RISOLUZIONE
Misura dell'angolo interno
APD = x
A
130
BC
90
2
B
130°
50°
D
C
BC = 50°
Misura dell'angolo esterno
x
P
130
50
X
2
Risolvendo:
X = 40°
Problema Nº 04
In una circunferenza, il cui diametro AB si prolunga
fino al punto “P”, dal quale si disegna una retta
secante PMN tale che la lunghezza di PM sia uguale al
raggio. L'arco AN misura 54º. Qual è la misura
dell'angolo APN?
RISOLUZIONE
Si disegna ioil raggio OM:
APN = x
N
Dati: OM(raggio) = PM
54°
A
Allora il triangolo PMO è isoscele
M
o
x
x
B
L'angolo al centro è uguale all'arco
x
P Misura dell'angolo esterno
54
X
X
2
Risolvendo:
X = 18°
Problema Nº 05
In un triangolo ABC si inscrive una circonferenza.
Essa è tangente i lati AB, BC e AC nei punti “P”, “Q” e
“R”.
Se l'angolo ABC è di 70º, quanto misura
l'angolo PRQ?
RISOLUZIONE
B
PRQ = x
Per la propietà dell'angolo esterno
formato da due tangenti:
70° + PQ = 180°
70°
110°
Misura dell'angola inscritto:
Q
P
X
x
A
R
PQ = 110°
C
110
2
Risolvendo:
X = 55°
Problema Nº 06
Calcola la misura dell'angolo “X”.
A
70°
X
B
P
Risoluzione
RISOLUZIONE
C
A
70°
140º
X
P
B
Misura dell'angolo inscritto: 70º
AB
2
AB=140º
Per la propietà dell'angolo esterno
formato da due tangenti:
140º + x = 180º
Risolvendo:
X = 40º
Problema Nº 07
Calcolare la misura dell'angolo “x”
A
130º
B
X
Risoluzione
P
A
260º
RISOLUZIONE
130º
X
C
P
B
Misura dell'angolo inscritto:
Nella circonferenza:
130
º
AB
2
260º + ACB = 360º
Per la propietà dell'angolo esterno
formato da due tangenti:
ACB + x = 100º
AB = 260º
ACB = 100º
X = 80º
Problema Nº 08
Calcula il perímetro del triangolo ABC.
B
2
A
C
5
5
Risoluzione
RISOLUZIONE
B
a
2
b
A
5
5
C
Teorema di Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
a + b = 14
Allora il perimetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
Sostituendo la (1) nella (2)
(2p) = 14 + 10
(1)
(2)
(2p) = 24
Problema Nº 09
Dal punto “P” esterno alla circonferenza si
disegna la tangente PQ e la secante PRS in
modo che gli archi SQ e SR siano congruenti.
Se l'arco QR misura 80º, qual è l'ampiezza
dell'angolo QPR .
Disegno
Q
a
80º
X
P
R
S
a
Risoluzione
Risoluzione
Q
a
P
X
80º
R
Nella circonferenza:
S
a
2a + 80º = 360º
a = 140º
Misura dell'angolo esterno:
a
8
0
º 1
4
08
º
0
º
X
2
2
X = 30º
Problema Nº 10
In un quadrilatero ABCD con angoli Q = S = 90º si
disegna la diagonale PR. I raggi inscritti dei triangoli
PQR e PRS misurano 3cm e 2cm rispettivamente. Se il
perimetro del quadrilatero PQRS è 22cm, qual è la
lunghezza di PR
Q
Disegno
3
R
P
2
Risoluzione
S
Q
Risoluzione
Dato:
a
b
3
a + b + c + d = 22cm
R
P
2
d
Teorema di Poncelet:
PQR a + b = PR+2(3)
PSR c + d = PR+2(2)
c
S
+
a +b + c + d = 2PR + 10
22 = 2PR + 10
PR = 6cm
