I primi elementi
I termini primitivi della geometria sono:
Il linguaggio della geometria
Punto
Retta
Piano
Indichiamo per convenzione:
P
r
•I punti con le lettere maiuscole dell’alfabeto: A, B, C, D…
•Le rette con le lettere minuscole: r, s, t…
•I piani con le lettere minuscole dell’alfabeto greco: α, β, γ…
α
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I primi elementi
Il metodo della geometria
In geometria si applica il metodo assiomatico-deduttivo
• Si assumono alcuni concetti come primitivi: punto, retta, piano
• Si assumono come vere alcune proposizioni: assiomi
• Si definiscono i nuovi oggetti della geometria: definizioni
• Dagli assiomi e dai concetti primitivi si deducono le altre proposizioni (teoremi) mediante un
ragionamento strutturato (dimostrazione).
Un teorema si esprime mediante una frase del tipo
“Se..........................allora”.
<< HP >>
IPOTESI
<< TH >>
TESI
Indicato con a l’insieme delle ipotesi e con b la tesi, è comodo sintetizzare in forma simbolica un teorema
mediante la scrittura
a
b
che significa: dalle ipotesi a segue la tesi b.
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I primi elementi
Assiomi di appartenenza
A1. Ogni coppia di punti A e B distinti dello spazio appartiene ad una e una sola retta.
Punti che appartengono ad una stessa retta si dicono allineati.
C
B
B
A
A
C
A, B, C non sono allineati.
A2. Tre punti non allineati appartengono ad uno ed un solo piano.
A3. Se due punti di una retta appartengono ad un piano, la retta giace interamente sul piano.
A4. Il piano contiene infiniti punti ed infinite rette.
A5. Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani.
Si dice figura geometrica un qualunque sottoinsieme dello spazio, quindi un qualunque insieme di punti.
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Rette complanari
Si dicono complanari due rette che appartengono allo stesso piano.
Posizioni reciproche di due rette complanari:
r
r
s
A
s
s
r
Rette coincidenti
Rette incidenti: hanno un solo
punto di intersezione
Rette parallele: non
hanno alcun punto di
intersezione
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I primi elementi
Assiomi di ordinamento
Retta orientata: retta su cui è fissato un verso di percorrenza.
A6. Presi due punti distinti A e B su una retta tali che, nel verso fissato, A precede B, accade che:
•vi è almeno un punto che segue A e precede B
•vi è almeno un punto che precede A
A
B
•vi è almeno un punto che segue B.
Dall’assioma possiamo dedurre che:
• la retta contiene infiniti punti ed è illimitata
• per un punto P passano infinite rette.
P
L’insieme di tutte le rette che passano per P
si dice fascio proprio di centro P.
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I primi elementi
Semirette e segmenti
Gli assiomi introdotti ci permettono di dare le seguenti definizioni:
Data una retta orientata e fissato un punto P su di essa, si
chiama semiretta l’insieme formato dal punto P e da tutti quelli
che lo seguono, oppure l’insieme formato dal punto P e da tutti
quelli che lo precedono; il punto P si dice origine della semiretta.
P
P
A
Considerati due punti A e B su una retta orientata, si dice
segmento l’insieme dei punti A e B e di tutti quelli che sono
compresi fra essi. I punti A e B si dicono estremi del segmento.
B
• Un segmento nel quale gli estremi coincidono si dice segmento nullo.
• Un segmento non nullo contiene infiniti punti.
A
• Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune.
• Due segmenti sono adiacenti
appartengono alla stessa retta.
se
sono
consecutivi
e
C
B
A
B
C
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I primi elementi
Segmenti consecutivi e adiacenti
A7. (assioma di partizione del piano) Sia r una retta di un
piano e siano A e B due punti del piano; allora:
• se A e B appartengono alla stessa regione, il segmento AB
non interseca la retta r
• se A e B appartengono a regioni diverse, il segmento AB
interseca la retta r.
Possiamo allora dare la seguente definizione:
data una retta r su un piano α, si dice semipiano di origine r ciascuna delle due regioni individuate
da r su α. La retta r si dice origine o frontiera del semipiano.
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Angoli
In conseguenza dell’assioma di partizione si può dare la definizione di
angolo.
Si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui due semirette che
hanno l’origine in comune dividono il piano. Le due semirette si dicono
lati dell’angolo, l’origine comune si dice vertice.
Un angolo è convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati; è
concavo se li contiene.
Modi per indicare un angolo:
• se le semirette che definiscono l’angolo si chiamano a e b, si può
scrivere ab.
• se si individuano due punti sui lati dell’angolo, uno per ogni lato, si
può scrivere AVB, mettendo la lettera del vertice fra le altre due.
• si può usare una lettera dell’alfabeto greco: α, β, γ, …..; tale lettera
viene di solito indicata anche all’interno dell’angolo.
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I primi elementi
Angoli consecutivi e adiacenti
• Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice in
comune e se gli altri due lati si trovano da parti opposte
rispetto al lato comune.
• Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e se i loro
lati non comuni appartengono alla stessa retta.
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I primi elementi
Angoli
• Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte;
l’angolo piatto si indica di solito con la lettera greca π. Un
angolo i cui lati sono semirette sovrapposte si dice angolo giro
se è concavo, angolo nullo se è convesso.
• Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati del primo sono
i prolungamenti dei lati dell’altro.
Corda di un angolo convesso è il segmento che ha gli estremi
sui due lati dell’angolo.
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Congruenza
Due figure F1 e F2 si dicono congruenti quando esiste un movimento rigido che le sovrappone punto a
punto; in simboli si scrive
F1 ≅ F2
I punti delle due figure sono in questo modo in corrispondenza biunivoca.
A8. La relazione di congruenza è:
riflessiva: ogni figura è congruente a se stessa
simmetrica: se F1 ≅ F2 anche F2 ≅ F1
transitiva: se F1 ≅ F2 e F2 ≅ F3 allora F1 ≅ F3.
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I primi elementi
Congruenza
A9. (assioma del trasporto dei segmenti). Dato un segmento
AB ed una semiretta di origine O, esiste sulla semiretta ed è
unico un punto P in modo che il segmento OP sia congruente al
segmento AB.
A10. (assioma del trasporto degli angoli). Dato un
angolo ab ed una semiretta c esiste ed è unica la
semiretta d tale che l’angolo cd, nell’orientamento
orario oppure antiorario prefissato, sia congruente
all’angolo ab.
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I primi elementi
Confronto di segmenti
• Attraverso la relazione di congruenza si può definire la lunghezza di un segmento come la
caratteristica comune a tutti i segmenti tra loro congruenti.
Se vogliamo confrontare due segmenti AB e CD è necessario sovrapporli con un movimento rigido in
modo da far coincidere uno dei loro estremi, per esempio A con C; possono allora verificarsi tre
situazioni diverse:
il punto B coincide con D ed allora i due segmenti sono congruenti
il punto B cade oltre D ed allora diciamo che AB è maggiore di CD e
scriviamo AB > CD
il punto B cade fra C e D ed allora diciamo che AB è minore di CD e
scriviamo AB < CD.
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I primi elementi
Somma e differenza di segmenti
Dati due segmenti AB e CD, la loro somma è il segmento AD che si
ottiene accostando CD ad AB con un movimento rigido in modo che
AB e CD siano adiacenti.
Dati due segmenti AB e CD, con AB > CD, la differenza AB − CD è
il segmento DB che si ottiene sovrapponendo AB e CD in modo che
A coincida con C.
Somme o differenze di segmenti congruenti sono congruenti.
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I primi elementi
Multipli e sottomultipli
• Dato un segmento AB ed un numero naturale n non nullo, si dice
multiplo di AB secondo n il segmento CD che si ottiene facendo
la somma di n segmenti congruenti ad AB. Si dice anche che AB
è sottomultiplo di CD secondo n.
CD è multiplo di AB
secondo il numero 3.
• La divisibilità di un segmento in un qualunque numero di parti congruenti è assicurata dal seguente
assioma:
A11. Dato un segmento AB esiste sempre ed è unico il suo sottomultiplo secondo un numero
naturale n non nullo.
In particolare: dato un segmento AB esiste ed è unico il punto
medio di AB, cioè il punto che divide il segmento in due parti
congruenti AM ≅ MB.
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I primi elementi
Confronto fra angoli
Attraverso la relazione di congruenza si può definire l’ampiezza di un angolo come la caratteristica
comune a tutti gli angoli fra loro congruenti.
Se vogliamo confrontare due angoli ab e cd, è necessario
sovrapporli con un movimento rigido in modo da far coincidere i
vertici e uno dei lati, per esempio il lato a con il lato c, in modo
che i due angoli si trovino dalla stessa parte rispetto al lato
comune; possono allora verificarsi tre situazioni diverse:
il lato b coincide con il lato d e allora i due angoli sono
congruenti.
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I primi elementi
Confronto fra angoli
il lato b è interno all’angolo cd e allora ab è minore di cd e scriviamo ab < cd
il lato d è interno all’angolo ab e allora ab è maggiore di cd e scriviamo ab > cd.
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I primi elementi
Somme e differenze di angoli
Dati due angoli ab e cd, la loro somma è l’angolo ad che si ottiene
accostando cd ad ab con un movimento rigido in modo che tali
angoli siano consecutivi.
Dati due angoli ab e cd, con ab > cd, la loro differenza è l’angolo
db che si ottiene sovrapponendo con un movimento rigido cd ad ab
come nel caso del loro confronto.
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I primi elementi
Multipli e sottomultipli
Dato un angolo ab ed un numero naturale n non nullo, si dice multiplo di ab secondo n l’angolo cd che si
ottiene facendo la somma di n angoli congruenti ad ab. Si dice che ab è sottomultiplo di cd secondo n.
cd è multiplo di ab
secondo il numero 4.
La divisibilità di un angolo in un qualunque numero di parti
congruenti è garantita dal seguente assioma:
A12. Dato un angolo ab esiste sempre ed è unico il suo
sottomultiplo secondo un numero naturale n non nullo.
In particolare: dato un angolo ab esiste ed è unica la bisettrice di ab
che divide l’angolo in due parti congruenti: ar ≅ rb.
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I primi elementi
Angoli particolari
Si dice angolo retto ciascuno dei due angoli in cui un angolo
piatto è diviso dalla sua bisettrice
Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono
supplementari
Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono
complementari
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I primi elementi
Angoli particolari
Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono esplementari.
Un angolo minore di un angolo retto si dice acuto.
Un angolo convesso maggiore di un angolo retto si dice ottuso;
un angolo ottuso è quindi maggiore di un angolo retto e minore di
un angolo piatto.
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I primi elementi
Proprietà degli angoli
• Teorema. Angoli supplementari di angoli congruenti sono
congruenti.
• Teorema. Angoli opposti al vertice sono congruenti.
• Teorema. Metà di angoli congruenti sono congruenti.
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