1 - Syllogismos

Proposte didattiche
di Gianfranco Arrigo
Alta Scuola Pedagogica, Locarno
NRD, Bologna
Modo d’uso del file
Dal menu “Presentazione”, attivare “Visualizza
presentazione”.
Tutte le diapositive sono automatizzate, perciò l’unica
azione che deve compiere il visitatore è un semplice
clic del mouse per passare da una diapositiva alla
successiva.
Per visionare solo alcune diapositive, uscire dalla
visualizzazione, aprire “imposta presentazione” dal
menu “Presentazione” e introdurre i numeri della
prima e dell’ultima dia che si vogliono vedere.
Il numero della diapositiva evidenziata si legge
cliccando sul cursore verticale e tenendo premuto il
bottone del mouse.
Situazione 1: Numeri quadrati
Ecco come inizia la successione dei numeri quadrati:
I
II
III
IV
1
4
9
16
V
…
25
Qual è il sesto numero quadrato?
36 = 6 · 6
Qual è il decimo numero quadrato?
100 = 10 · 10
Troppo facile…
Situazione 1: Numeri quadrati
Come costruire i numeri quadrati?
1
4
9
16
=
=
=
=
12
22
32
42
= 1
= 1+3
= 1+3+5
= 1+3+5+7
1 addendo
2 addendi
3 addendi
4 addendi
25 = 52 = 1+3+5+7+9 5 addendi
…………………………………………
Quanto vale la somma dei primi k numeri dispari?
1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k–1) = k2
k addendi
Situazione 2: Numeri triangolari
Ecco come inizia la successione dei numeri triangolari:
I
1
II
III
3=1+2 6=1+2+3
IV
V
10=1+2+3+4
15=1+2+3+4+5
Qual è il decimo numero triangolare?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
…
Situazione 2: Numeri triangolari
Qual è l’n-esimo numero triangolare?
Per esempio: il VI numero triangolare.
Il suo doppio è il numero rettangolare:
6 · 7 = 42
Il VI numero triangolare è quindi
(6 · 7) : 2 = 21
E l’n-esimo ?
È il numero triangolare:
n · (n+1)
Dn =
2
=1+2+3+…+n
Situazione 3: Somma di numeri equispaziati
Per esempio: 2+5+8+11+14 = ?
Il doppio della somma è il numero rettangolare: 5 · (2+14)
La somma è:
[5 · (2+14)] : 2 = 40
In generale, se p è il primo numero, u l’ultimo e n il numero
degli addendi, la somma vale:
n · (p+u)
2
Situazione 4: Numeri pentagonali
Ecco come inizia la successione dei numeri pentagonali:
I
II
P1=1 P2= 5 = 4+1
III
P3= 12 = 9+3
IV
…
P4= 22 = 16+6
1, 4, 9, 16, … n.ri quadrati (Qn); 1, 3, 6, … n.ri triangolari (Dn–1)
In generale, l’n-esimo numero pentagonale è:
Pn = n2 + Dn–1 = n2 + n·(n–1)/2 =n·(3n–1)/2
Situazione 5: Numeri esagonali
Ecco come inizia la successione dei numeri esagonali:
I
II
III
IV
…
E1=1 E2= 6 = 5+1
E3= 15 = 12+3
1, 5, 12, 22, … numeri pentagonali (Pn)
1, 3, 6, … numeri triangolari (Dn)
E4= 28 = 22+6
Situazione 6: Verso la generalizzazione…
Numeri triangolari:
Dn = n + Dn–1 = n·(n+1) / 2
Numeri quadrati:
Qn = Dn + Dn–1 = n+2 Dn–1 = n2
Numeri pentagonali:
Pn = Qn + Dn–1 = n+3 Dn–1 = n·(3n–1) / 2
Numeri esagonali:
En = Pn + Dn–1 = n+4 Dn–1 = n·(2n–1)
Situazione 7: Numeri tetraedrici
Eccoli:
I
II
T1=1 T2=4=1+3
III
T3=10=1+3+6
IV
T4=20=1+3+6+10
Qual è l’n-esimo numero tetraedrico Tn?
…
Situazione 7: Numeri tetraedrici
Disponiamo differentemente tre numeri T5:
1
12
123
1234
12345
1
5
21
44
+
321
+
333
4321
2222
54321
11111
7
77
=
777
7777
77777
Deduciamo l’uguaglianza:
3 T5 = 3 (1+3+6+10+15) = (1+2+3+4+5) · 7
In generale:
3 Tn = 3 (D1+ D2 +…+ Dn) = Dn · (n+2) = n (n+1) (n+2) / 2
Tn = D1+ D2 +…+ Dn = n (n+1) (n+2) / 6
Situazione 8: Numeri piramidali quadrati
Eccoli:
I
II
PQ1=1 PQ2=1+4
III
PQ3=1+4+9
IV
PQ4=1+4+9+16
Qual è l’n-esimo numero piramidale quadrato PQn?
…
Situazione 8: Numeri piramidali quadrati
Ricordiamo che:
Dn + Dn–1 = n2
Per la stessa ragione:
Dn
Dn–1
PQn = Tn + Tn–1 = n (n+1) (n+2) / 6 + (n–1) n (n+1) / 6 =
= n (n+1) (2n+1) / 6
Inoltre:
Tn + Tn–1 = (D1+ D2 + D3 +…+ Dn) + (D1+ D2 +…+ Dn–1)
1
22
32
n2
Somma dei primi n quadrati:
Tn + Tn–1 = 1+ 22 + 32 + … + n2 = n (n+1) (2n+1) / 6 = PQn
Situazione 9: Archimede… discreto
n-esimo numero piramidale quadrato:
PQn = n (n+1) (2n+1) / 6
n-esimo cubo:
Cn = n3
0
0
Calcoliamo il loro rapporto:
2 n2+ 3 n +1
1
1
PQn n (n+1) (2n+1) / 6
1
=
=
=
+
+
2
3
6n
3 2n
6 n2
Cn
n
Per n molto grande (tendente all’infinito):
PQn
1
≈
cioè: il rapporto tra i volumi di una piramide e di
Cn
3 un prisma avente stessa base e stessa altezza è
un terzo (già lo disse Archimede… per altra via.)
Situazione 10: Somma di cubi
Partiamo dalla tavola pitagorica:
1
2
3
4
5
13
2
4
6
8
10
23
3
6
9
12 15
33
4
8
12 16 20
43
5 10 15 20 25
53
Contenuto degli gnomoni:
1 (1)
= 1 · 12
= 13
2 (1+2+1)
= 2 · 22
= 23
3 (1+2+3+2+1)
= 3 · 32
= 33
4 (1+2+3+4+3+2+1)
= 4 · 42
= 43
5 (1+2+3+4+5+4+3+2+1)
= 5 · 52
= 53
Situazione 10: Somma di cubi
Abbiamo quindi trovato che la somma dei numeri contenuti
nella tavola pitagorica 5x5 è:
13 + 23 + 33 + 43 + 53
D’altra parte, la stessa somma è:
1 · (1+2+3+4+5) + 2 · (1+2+3+4+5) +…+ 5 · (1+2+3+4+5) =
= (1+2+3+4+5) · (1+2+3+4+5) = D52 = 225
In generale:
13 + 23 + 33 + … + n3 = Dn2 = n2 · (n+1)2 / 4
Situazione 11: Numeri di Catalan
Partiamo dal triangolo di Pascal-Tartaglia:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
3
5
7
6
15
1
4
10
20
35
56
1
3
10
21
28
2
4
6
1
5
15
35
70
1
1
6
21
56
1
7
28
1
8
1
I numeri lungo l’asse di simmetria del triangolo (quelli blu)
sono divisibili progressivamente per 1, 2, 3, 4, 5, …
I corrispondenti quozienti si dicono numeri di Catalan.
Situazione 11: Numeri di Catalan
Ecco come inizia la successione dei numeri di Catalan:
1
(=1:1)
2n=0
1=0+1
1
2
5
14
(=2:2)
(=6:3)
(=20:4)
(=70:5)
2n=2
2n=4
2n=6
2n=8
2=2:2+1
3=4:2+1
4=6:2+1
5=8:2+1
42
…
(=252:6)
…
2n=10
…
6=10:2+1
…
Qual è l’n-esimo numero di Catalan CAn?
1 2n
CAn 
  
n  1  n 
2n
n+1
Situazione 11: Numeri di Catalan
Sviluppiamo l’espressione ottenuta per l’n-esimo numero di
Catalan:
2n+1
2n!
1
2n  1!
1 2n






CAn 

n  1  n  n! n  1! 2n+1
2n 1 n! n  1!
1 2n  1


 
2n 1  n 
Ecco i primi 16 numeri di Catalan, direttamente dal computer:
1 1 2 5 14 42
132 429
1430
58786
742900
2674440
208012
4862
16796
9694845
Situazione 12: Una stessa struttura…
Cespugli piantati
Montagne
Parentesi
()
(())
()()
((()))
(()())
Situazione 12: Una stessa struttura…
Cespugli piantati
Montagne
Parentesi
(())()
()(())
()()()
(((())))
((()()))
Situazione 12: Una stessa struttura…
Cespugli piantati
Montagne
Parentesi
((())())
(()(()))
()((()))
((()))()
(()()())
()(())()
Situazione 12: Di nuovo i numeri di Catalan…
Il numero di conformazioni corrette di parentesi (o di
montagne o di cespugli piantati) coincide con il
corrispondente numero di Catalan.
Verifichiamo per qualche valore di n.
n = 0 : non ha senso.
n = 1 : ovvio, abbiamo una sola conformazione corretta ( )
Il corrispondente numero di Catalan è proprio 1.
n = 2 : abbiamo due conformazioni corrette ( ( ) ) , ( ) ( )
Il corrispondente numero di Catalan è proprio 2.
Situazione 12: Di nuovo i numeri di Catalan…
Per n=3 la cosa comincia a farsi complicata…
base
2 5
2 3
4 5
4 3
(1 (3 (5 )2 )4 )6
(1 (3 )2 (5 )4 )6
(1 )2 (5 (3 )4 )6
(1 (3 )4 )2 (5 )6
(1 )4 (5 )2 (3 )6
n = 3 : abbiamo cinque conformazioni corrette.
Il corrispondente numero di Catalan è proprio 5.
Situazione 12: La successione di Catalan…
… è ovviamente divergente: calcoliamo il rapporto CAn / CAn+1
CAn
=
CAn+1
1 2n
 
n  1  n 
n 2
=
n1
1 2n  2


n  2  n  1 
n 2
=
n1
=
(2n)!
n! n!
(2n  2)!
n  1! n  1!
2n! n 1 n! n 1 n!
2n  2 2n  1 2n! n! n!
n  2 n  1
2 n 1 2n  1
=
n  2
4n  2
=
=
Situazione 12: La successione di Catalan…
Ci interessa studiare il comportamento del rapporto
CAn / CAn+1
per n molto grande (tendente all’infinito):
CAn
n  2
=
=
CAn+1 4n  2
 2
1
 n
 2
4
 n
0
0
1
≈
4
Questo risultato può essere controllato mediante il computer:
è sufficiente un normale foglio elettronico.
Situazione 12: La successione di Catalan…
Ecco i primi tredici termini della successione CAn / CAn+1:
0.5
0.3333
0.3
0.2857
0.2778
0.2727
0.2692
0.2667
0.2647
0.2632
0.2619
0.2609
0.26
Si nota che la successione parte da 0.5 e
decresce.
Il tredicesimo termine è 0.26: siamo ancora
relativamente lontani dal valore limite 0.25
trovato teoricamente.
Il quattordicesimo termine è 0.259
Il primo termine con le prime tre cifre decimali
uguali a 250 è il 126-esimo: 0.250996016
La teoria ci assicura che la successione
converge verso 0.25; la pratica aggiunge:
“molto, ma molto lentamente… “
Situazione 12: Chi fu Catalan?
Eugène Charles Catalan è nato a Bruges (Belgio) il 30
maggio 1814 ed è morto a Liegi (Belgio) il 14 febbraio 1894.
Studiò alla Scuola Politecnica di Liouville dove si laureò
nel 1835. Ebbe sempre noie con le istituzioni a causa delle
sue idee politiche di estrema sinistra.
Nel 1838 fu assunto come professore di geometria
descrittiva nella scuola che lo formò matematicamente.
La successione che porta il suo nome fu precedentemente
studiata dallo svizzero Leonhard Euler (1707-1783),
dall’ungherese Johann Andrea von Segner (1704-1777) e
dal francese Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856) che
riuscirono a esprimere il termine n-esimo, ma in forma più
complicata.
Situazione 12: Chi fu Catalan?
Catalan costruì la sua successione, risolvendo il problema
volto a sapere in quanti modi si può ripartire in n triangoli un
poligono di (n+2) lati.
Per n=1, triangolo, 1 modo (banale).
Per n=2, quadrilatero, 2 modi.
Per n=3, pentagono, 5 modi.
Situazione 12: Chi fu Catalan?
Per i più appassionati…
n=4, 14 modi.
1, 2, 5, 14, … sembra proprio Catalan!
Situazione 13: Bipiante matematiche
Ecco alcuni esemplari di bipiante matematiche
gemma
ramo
bipianta
di 1 anno
bipianta
di 2 anni
bipianta
di 3 anni
È possibile sapere quanti rami e quante gemme ha
una bipianta di 10 anni, senza disegnarla?
Situazione 13: Bipiante matematiche
gemma
ramo
1 anno
anni
1
2
3
4
5
…
n
2 anni
3 anni
rami
1
3 = 1+2
7 = 1+2+4
15 = 1+2+4+8
31 = 1+2+4+8+16
…
2n–1= 1+2+4+…+2n–1
gemme
1
2
4 = 22
8 = 23
16= 24
…
2n–1
Situazione 13: Bipiante matematiche
Studiamo le successioni rn del numero di rami
e gn di quello delle gemme:
n
1
2
g
n
n
 n1 
gn = 2
(successione costante)
gn1
2
2
1
1 n
n
2

1
r
n
n
2
rn = 2 –1
 n1

rn1
2 1 2 1
2n
Per n molto grande (tendente all’infinito):
rn

rn1
1
1 n
2
1
2 n
2
0
0
1

2
(ritroviamo lo stesso
valore di prima)
Situazione 13: Bipiante matematiche
Ecco i primi tredici termini della successione rn / rn+1:
0.333333333
0.428571429
0.466666667
0.483870968
0.492063492
0.496062992
0.498039216
0.499021526
0.499511241
0.49975574
0.4998779
0.499938957
0.499969481
Si nota che la successione parte da 1/3
e cresce.
Il tredicesimo termine è già vicino al limite
0.5 a meno di un decimillesimo.
A partire dal 30-esimo termine, il foglio
elettronico non distingue più il risultato
da 0.5.
La teoria ci assicura che la successione
converge verso 0. 5; la pratica aggiunge:
“molto velocemente…”: come sempre,
quando ci sono di mezzo le potenze!
Situazione 14: Radici delle bipiante
radice di
1 anno
radice di
2 anni
radice
di 3 anni
radichetta
anni
1
2
3
4
5
…
n
no. radichette
2
6 =2+4
14 = 2 + 4 + 8
30 = 2 + 4 +8 + 16
62 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32
…………………………
rn = 21 + 22 + 23 + … + 2n = 2n+1– 2 = 2 (2n –1)
Situazione 15: Giuseppe l’ortolano
Deve bagnare ogni giorno le aiuole; l’annaffiatoio contiene
la quantità necessaria di acqua per una singola aiuola.
Ecco la pianta del suo orto, con indicate le misure
necessarie (letterali).
fontana
b
a
1
a
2
3
4
a
a
a
b
Alla fine del lavoro, Giuseppe vuole sapere che
distanza ha percorso, in totale, col suo annaffiatoio.
Situazione 15: Giuseppe l’ortolano
Per bagnare le aiuole, Giuseppe compie il percorso
seguente:
1
fontana
Situazione 15: Giuseppe l’ortolano
Lunghezza del percorso in funzione del numero di aiuole
da bagnare:
no. aiuole
lunghezza percorso
1
4a+2b
2
10 a + 4 b
3
18 a + 6 b
4
28 a + 8 b
E se le aiuole fossero n?
Situazione 15: Giuseppe l’ortolano
Lunghezza del percorso per ogni singola aiuola:
aiuola
I
II
III
…
(n)
coeff. di a
4= 2 · 1 + 2
6= 2 · 2 + 2
8= 2 · 3 + 2
…
2·n+2
coeff. di b
2
2
2
…
2
coeff. di a = 2 · (1 + 2 + … +n) + 2 n =
(n + 1) · n
=2·
2
+ 2 n = n2 + 3 n
coeff. di b = 2 · n
Percorso totale = (n2 + 3 n) · a + 2 n · b
Situazione 16: Successione di Fibonacci
La successione classica di Fibonacci è la seguente:
1
1
2
3
5
8
13
21
34
A partire dal terzo, ogni termine è uguale alla somma dei due
immediatamente precedenti. I primi due termini possono
essere fissati a piacimento; in quella classica sono entrambi
uguali a 1. La successione è divergente.
Indichiamo con fn il termine generico della successione e
proviamo a studiare la successione dei rapporti:
fn
tn =
fn+1
…
Situazione 16: Fibonacci
Ci aiutiamo con un foglio elettronico.
La successione tn sembra tendere
verso un numero vicino a…
5 1
 0.618033989
2
… che è addirittura il notissimo
numero aureo.
Il risultato può essere confermato
teoricamente mediante un calcolo
alla portata di uno studente delle
superiori.
n
fn
tn=fn/fn+1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
10946
17711
28657
46368
1.000000000
0.500000000
0.666666667
0.600000000
0.625000000
0.615384615
0.619047619
0.617647059
0.618181818
0.617977528
0.618055556
0.618025751
0.618037135
0.618032787
0.618034448
0.618033813
0.618034056
0.618033963
0.618033999
0.618033985
0.618033990
0.618033988
0.618033989
0.618033989
25
75025
0.618033989
Situazione 16: La formula di Binet
Leonardo Pisano, detto Fibonaccio (oggi Fibonacci) fu, in
Occidente, il matematico più importante del Medioevo. Visse
tra il 1180 e il 1250 (le date non sono sicure).
Egli non riuscì a dare una formula del tipo Fn = f(n).
Vi riuscì soltanto nel 1718 Abrahan De Moivre (1667-1754).
Eccola:
Fn


a n  an
5

5 1
con a 
2
La dimostrazione giunge dieci anni più tardi per mano di
Nicolaus Bernoulli (1687-1759) e viene ripresa da Jacques
Philippe Marie Binet, dal quale la formula prende il nome.
Situazione 16: La formula di Binet
Oggi la formula di Binet può essere dimostrata in modo
semplice, alla portata di un allievo liceale.
Perno della dimostrazione è un recentissimo teorema (1971)
attribuito a E. Just. Eccolo
Sia a una soluzione dell’equazione
Allora, per ogni n>0 naturale, risulta
x2 = x + 1
an  a Fn  Fn1
Invece di presentare una dimostrazione formale di questo
teorema, tentiamo un approccio induttivo…
Situazione 16: La formula di Binet
Partiamo dalla relazione a2 = a + 1
Moltiplichiamo successivamente i due membri per ae
sostituiamo ogni volta a2 con a+1.
a3  a2  a  2 a  1
a4  a3  a2  2 a 1 a  1 3 a  2
a5  a4  a 3  3 a  2  2 a 1 5 a  3
a6  a5  a4  5 a  3  3 a  2  8 a  5
…
Raggiungiamo la formula…
an  a Fn  Fn1
… che è la tesi del teorema di Just.
Situazione 16: La formula di Binet
Finalmente dimostriamo la formula di Binet.
5 1
Poniamo a 
2
Le soluzioni dell’equazione x2 = x + 1 sono:
1 5
1 1 5
a 

2
a
2
Allora, grazie al teorema di Just
1 Fn
n
a  a Fn  Fn1
  Fn1
n
a
a
Infine, sottraendo membro a membro si ottiene…
 1 1
n
Fn  a    n  an
Fn  5  an  a
 a a
a n  an
Fn 
5
(Formula di Binet!)
Sitazione 16: Ancora Fibonacci
Consideriamo di nuovo la successione…
fn
tn 
fn1
… e formiamo la nuova successione
zn 
tn
tn1
Questa successione sembra tendere a 1…
… succederà sempre così, ad ogni
successione convergente an?
Situazione 16: Un teorema…
Consideriamo una qualsiasi successione an
convergente verso un limite A…
… e formiamo la nuova successione:
an
an+1
Calcoliamo:
lim an
an
n
lim
n
an+1 = lim an1 =
n
A
A
=1
solo se A≠0
La teoria conferma la nostra intuizione…
… ma se la successione fosse divergente, oppure
convergente verso 0, il limite potrebbe essere qualsiasi.
FINE
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