Università degli Studi di Messina

Università degli studi di Messina
Facoltà di Ingegneria
Corso di laurea in Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni
Corso di laurea in Ingegneria Industriale
Anno accademico 2008/2009
Programma del corso di
ANALISI MATEMATICA II
C.F.U. 6
Docente del corso : Dott.ssa Antonia Chinnì
Dipartimento di Scienze per l’Ingegneria e l’Architettura
Facoltà di Ingegneria
Università di Messina
Tel. 0903977324
E:mail [email protected]
Pre requisiti: Calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile
Serie numeriche
Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza. Criterio di Cauchy. Serie
geometrica. Serie a termini non negativi: criteri del confronto, del confronto asintotico,
della radice, del rapporto e di condensazione di Cauchy. Serie assolutamente convergenti.
Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz.
Successioni e serie di funzioni
Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Continuità, derivabilità e
integrabilità del limite. Serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Taylor.
Risultati dimostrati: teorema di continuità, teorema di passaggio al limite sotto il segno di
integrale, teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata, relazioni tra i vari tipi di
convergenza per le serie di funzioni, teoremi 1 e 2 sulle serie di potenze, criterio di
sviluppabilità in serie di Taylor.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
Funzioni di più variabili. Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Il
teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Il teorema del differenziale totale.
Funzioni composte. Derivate direzionali. Funzioni con gradiente nullo su un connesso.
Massimi e minimi relativi ed assoluti.
Risultati dimostrati: teorema di Schwarz, teorema del differenziale totale, teorema di
derivazione della funzione composta, teorema sull’esistenza della derivata direzionale,
teorema di Lagrange*, teorema sulle funzioni a gradiente nullo, condizione necessaria del
primo ordine per i punti di estremo relativo, condizione necessaria del secondo ordine per i
punti di estremo relativo*.
Equazioni differenziali
Problema di Cauchy. Teorema di esistenza ed unicità locale. Risoluzione di alcuni tipi di
equazioni differenziali del primo ordine in forma normale e non. Equazioni differenziali
lineari: proprietà generali. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali lineari
omogenee e non. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni di ordine superiore al primo.
Risultati dimostrati: teorema di esistenza ed unicità della soluzione del problema di
Cauchy associato ad un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine in forma
esplicita*, proprietà dell’insieme delle soluzioni di un’equazione differenziale lineare di
ordine n omogenea, metodo di variazione delle costanti arbitrarie per la ricerca di una
soluzione di un’equazione differenziale lineare completa*.
Integrali curvilinei e forme differenziali nel piano
Curve regolari. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di una funzione. Integrale
curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali. Forme differenziali esatte: criterio
di esattezza. Forme differenziali su insiemi semplicemente connessi o stellati.
Calcolo integrale per funzioni di più variabili
Integrale di Riemann. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali
multipli. Coordinate polari, coordinate sferiche e coordinate cilindriche. Formule di GaussGreen, teorema della divergenza, formula di Stokes.
Risultati dimostrati: formule di Gauss-Green, teorema della divergenza, formula di Stokes,
teorema sull’esattezza di una forma differenziale chiusa definita su un insieme
semplicemente connesso.
Le dimostrazioni relative agli argomenti contrassegnati con * possono essere omesse.
Testi consigliati:
N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone,
Elementi di Analisi Matematica due,
Liguori Editore
P. Marcellini, C.Sbordone,
Esercitazioni di matematica Vol 2 (parti 1 e 2),
Liguori Editore – Napoli
Enrico Giusti,
Esercitazioni e complementi di Analisi Matematica Vol. 2,
Bollati Boringhieri Editore - Torino