Il V postulato di Euclide e la nascita delle geometrie non euclidee
Il quinto postulato:
indipendenza dai
precedenti nella
formulazione
euclidea e punto di
partenza per la
costruzione di
geometrie non
euclidee.
Gli “Elementi” di Euclide (300 a.C.) fondano la geometria del
piano su cinque postulati che possiamo così riassumere:
Per due punti passa una ed una sola retta
Ogni retta può essere prolungata indefinitamente
Si può descrivere un cerchio con qualunque centro
ed ogni distanza
Tutti gli angoli retti sono uguali
Dato un punto P esterno ad una retta, per esso
passa una ed una sola parallela alla retta data
Assioma della parallela
Il quinto postulato (che nella sua versione originale
è enunciato nella nota informativa) afferma:
se due rette non si intersecano (sono cioè parallele),
allora la somma degli angoli coniugati interni che esse
formano con una trasversale è un angolo piatto.
L’assunzione del V postulato equivale logicamente
ad ammettere l’assioma della parallela, così
come è comunemente formulato: in un piano, per
un punto esterno ad una retta passa una ed
una sola retta parallela a quella data.
L’indipendenza del V postulato
Euclide “è costretto” ad introdurre il V postulato (che è alla base di alcuni teoremi
fondamentali), che, pur coerente col senso comune, non presenta quel carattere
costruttivo ed evidente dei primi quattro; la sua proposizione inversa è dimostrata
a partire dagli altri assiomi.
Tale assioma nel corso dello sviluppo successivo
del pensiero matematico, non sembra evidente in
se stesso, e molti matematici nel corso degli anni
furono portati a tentare di dimostrare che
dipendesse dai primi quattro.
Dopo Euclide, sorsero allora spontanee le
domande sulla dipendenza o meno dagli altri
postulati del V.
Fu solo nel XIX secolo (anni tra 1830-1860) a partire
dai lavori di Bolyai, Gauss, Lobačeviskij che il
problema trovò una soluzione definitiva.
Geometrie non euclidee
Il postulato delle parallele (V postulato) afferma sia
l’esistenza che l’unicità della parallela ad una retta data
passante per un punto esterno.
•Nella geometria di Lobačeviskij si mostra che si
possono costruire geometrie in cui non vale
l’unicità: “per un punto P non appartenente ad una
retta r si può condurre più di una parallela alla retta
data (modello di Klein);
•Nella costruzione geometrica proposta da Riemann
(geometria sferica) non vale l’esistenza: “per un
punto P non appartenente ad una retta r non si può
condurre alcuna parallela alla retta data.
Modello di Klein
P
C
A
M
B
Q
Sia C un cerchio privato della
circonferenza, i “punti” sono i
punti di tale cerchio, mentre le
“rette” siano le corde della
stesso cerchio.
Considerando la retta AB, un
punto M fuori da essa, esistono
infinite rette passanti per M che
non intersecano AB, che sono
rappresentate da tutte le corde
per M e per C dell’arco AP e BQ.
Modello di Riemann
Nel modello di Riemann come
enti primitivi consideriamo il
piano costituito da tutti i
“punti” P di una qualunque
superficie sferica; P, il “punto”
costituito da una coppia di
punti simmetrici della sfera
rispetto al centro appartenenti
alla
superficie
sferica,
la
“retta” R che è la circonferenza
di raggio massimo. In queste
condizioni data la retta R ed un
punto P esterno ad essa non si
può trovare nessuna retta R’
passante per P e parallela ad R.
Osservazioni conclusive
Sia la geometria di Klein che quella di Riemann soddisfano tutti gli
altri postulati, tranne il quinto postulato di Euclide.
Ricordiamo, inoltre, che se una teoria ha un modello, ogni teorema
della teoria è vero nel modello. Nel modello di R. come in quello di
K. valgono il i primi quattro postulati, se per assurdo dico che il
quinto si ricava dai primi quattro questo deve valere anche nel
modelo di R e di K. .
In questi termini la geometria di Euclide appare contraddittoria
poiché nei modelli descritti valgono contemporaneamente le
condizioni logiche V (vero) e F (falso), circa il quinto postulato.
Se vogliamo che la geometria di Euclide non sia
contraddittoria, il V postulato non si può pensare
dipendente dai primi quattro (esaustione).
Mutamenti nel pensiero matematico
La scoperta dei modelli di K. e di R. portarono, tra
l’altro, ai seguenti mutamenti nel pensiero
matematico:
fu risolto il problema millenario delle parallele;
furono scoperte le geometrie non euclidee;
si passò dal concetto classico di assioma =
”relazione o proprietà evidente” al principio di non
contraddittorietà.
Classificazione delle Geometrie
Non vi è più una sola geometria, ma più geometrie la
cui adeguatezza va ricercata nella propria coerenza
logica interna più che nella capacità di descrivere la
realtà fisica. Questioni quali la non contraddittorietà
degli assiomi, la loro indipendenza, la possibilità di
implementare modelli, si trovano al centro della
ricerca matematica moderna.
POSTULATI ()
I.
Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta
da qualsiasi punto ad ogni altro punto.
II.
E che una retta terminata (=finita) si possa prolungare
continuamente in linea retta.
III. E si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro
ed ogni distanza (=raggio)
IV. E che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro
V.
E che se una retta venendo a cadere su due rette
forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di
due retti, le due prolungate illimitatamente verranno
ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli
minori di due retti.
Una sistemazione definitiva all’argomento
viene data da Felix Klein (1849 – 1925), il
quale classificò le geometrie in tre classi
fondamentali:
Geometria euclidea, è la geometria delle superfici a
curvatura nulla, in essa vale l’assioma dell’esistenza e
dell’unicità della parallela; la somma degli angoli interni di
un triangolo è uguale ad un angolo piatto;
Geometria sferica, è la geometria delle superfici a curvatura
positiva (Riemann), in essa non esistono rette parallele, la
somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di un
angolo piatto;
Geometria iperbolica, è la geometria delle superfici a
curvatura negativa (Lobacevskij), per un punto esterno ad
una retta vi sono più parallele; la somma degli angoli interni
di un triangolo è minore di un angolo piatto.
