GEOMETRIA EUCLIDEA
PROF. CASALINO MARIA
UNITA’ 1
CONCETTI GEOMETRICI
FONDAMENTALI
GEOMETRIA
Può essere
Può essere
INTUITIVA
RAZIONALE
INTUITIVA
Si basa su
OSSERVAZIONI
PROVE
TENTATIVI
RAZIONALE
Parte da
CONCETTI
PRIMITIVI
Definiti mediante
ASSIOMI
CONCETTI
PRIMITIVI
ASSIOMI
Da cui si deducono
Mediante
definizioni
NUOVI ENTI
Mediante
dimostrazioni
NUOVE PROPRIETA’
(TEOREMI)
DALLA GEOMETRIA INTUITIVA
ALLA GEOMETRIA RAZIONALE
Concetti o enti primitivi
Enti che non definiamo esplicitamente
Assiomi o postulati
Proprietà che “supponiamo” essere vere e
che pertanto non dimostriamo
Gli assiomi scelti soddisfano la condizione di :
COMPATIBILITA’
(non devono contraddirsi l’uno con l’altro)
INDIPENDENZA
(dalle proprietà affermate dell’uno non si
devono poter dedurre le proprietà affermate
dell’altro)
ENTI GEOMETRICI
PRIMITIVI
Gli enti primitivi della Geometria sono:
PUNTI
RETTE
PIANI
ALCUNE DEFINIZIONI
SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una
retta è divisa da un suo punto.
Il punto è detto : origine delle semirette
SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui
un piano è diviso da una sua retta, la retta è
detta origine del semipiano
ANGOLI PARTICOLARI
Angolo PIATTO : un lato è il prolungamento
dell’altro ( 180 °)
Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360°)
Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati
dell’uno sono i prolungamenti dell’altro
a
a<b
b
Dati due segmenti se, sovrapponendo il primo
segmento al secondo facendo coincidere un
estremo, l’altro estremo è interno al secondo
segmento allora il primo è minore del
secondo; se è esterno è maggiore.
Angolo acuto
Un angolo si dice ACUTO se è minore di un
angolo retto
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA
S.I.S.S.I.S. - Sezione di Catania
Indirizzo 1 Scienze naturali Classe A059
A.A. 2006/2007 – VIII Ciclo
Disciplina: Laboratorio didattico di matematica
Docente: Prof. Angelo Lizzio
Specializzando: Dott. Salvatore Gulizia
Libro di testo assegnato:
Mario Mariscotti “Matematica Oggi” Petrini Editore
Argomento: ANGOLI E LORO MISURA
GLI ANGOLI E LA LORO MISURA
La trattazione del concetto geometrico di angolo viene
affrontata nella 1° classe della Scuola Media inferiore.
Questo argomento, che può risultare alquanto ostico per i
ragazzi, deve essere sviluppato con grande professionalità da parte
del docente, in quanto è proprio nell’approccio offerto e nelle
metodologie didattiche adoperate che si fonda la qualità di
apprendimento degli alunni.
Diversi autori di libri di testo trattano questi argomenti,
affrontando, da un punto di vista didattico, problematiche legate al
concetto di angolo, alle definizioni ed alla misura.
Prima di esporre la trattazione dell’argomento, è
indispensabile fare un richiamo alle indicazioni ministeriali che
riguardano, più o meno esplicitamente, il tema e i contenuti riferiti
al tema in esame.
INDICAZIONI MINISTERIALI
Scienze Matematiche, Chimiche, Fisiche e Naturali
Programmi Ministeriali del 1979
Suggerimenti metodologici
Attività sperimentale.
Il processo di avviamento al metodo scientifico proposto agli alunni dovrà rispettare i tempi
e le modalità di apprendimento caratteristici della loro età: dovrà quindi muovere da ciò che
può stimolare la loro curiosità e la loro intuizione, da esperienze facilmente comprensibili,
dalla operatività, e indirizzare alla sistematicità, grazie alla progressiva maturazione dei
processi astrattivi. [….]
Indicazioni per la matematica
Obiettivi.
Nell’ambito degli obiettivi enunciati nella premessa agli insegnamenti, l’insegnamento della
matematica si propone di:
-suscitare un interesse che stimoli le capacità intuitive degli alunni;
-sollecitare ad esprimersi e comunicare in un linguaggio che, pur conservando piena
spontaneità, [….]
Suggerimenti metodologici
Per il conseguimento degli obiettivi predetti, si farà ricorso ad
osservazioni, esperimenti,
problemi tratti da
situazioni
concrete,
così
da
motivare
l’attività
matematica
della
classe, fondandola su una sicura
base intuitiva.
Verrà dato ampio spazio all’attività di matematizzazione intesa
come interpretazione
matematica della realtà
nei suoi vari aspetti (naturali, tecnologici, economici,
linguistici)
con la diretta partecipazione degli allievi. [….]
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TEMI
CONTENUTI RIFERITI AI TEMI
1) La geometria prima rappresentazione
del mondo fisico.
dello spazio a
a) dagli oggetti ai concetti geometrici:
studio delle figure del piano e
UNITA’ DIDATTICA
TITOLO: Angoli e loro misura
ANNO: 1°
TEMA: La geometria prima rappresentazione del mondo fisico
PREREQUISITI: Conoscenza degli elementi fondamentali della geometria.
OBIETTIVI
Conoscenze
- Esprimere le proprietà degli angoli.
- Conoscere e classificare i vari tipi di angoli.
Abilità
- Riconoscere gli angoli e saperli confrontare.
- Operare con gli angoli.
CONTENUTI
- Definizione di angolo.
- Classificazione degli angoli e loro misura.
- Operazione con gli angoli.
METODI:
Fase 1: Test iniziale. Sottoporre gli alunni ad un test per valutare il
possesso dei prerequisiti richiesti
Considerato che gli angoli e la loro misura fanno
parte delle nozioni fondamentali della geometria da
affrontare all’inizio del 1° anno di scuola media, il
docente, prima di trattare l’unità di apprendimento,
dovrà verificare il grado di conoscenza che gli alunni
hanno dalla scuola primaria.
Tale verifica, per esempio, viene fatta proponendo
agli alunni appositi esercizi, attraverso una apposita
scheda.
CONCETTO DI ANGOLO
L’angolo è uno dei concetti geometrici tra i più delicati e complessi, per gli aspetti
diversi ad esso concorrenti ma discordanti che ne rendono problematico l’apprendimento.
Innanzitutto diamo la definizione di un angolo: “L’angolo è ciascuna delle due parti
in cui un piano risulta diviso da due semirette che hanno l’origine in comune”.
Le due semirette OA e OB si considerano appartenenti a ciascuno dei due angoli e
si chiamano lati dell’angolo; la loro origine comune O si dice vertice dell’angolo.
Per indicare un angolo possiamo usare notazioni diverse:
AOB
aOb
O
Prendiamo una semiretta e facciamole compiere una rotazione intorno alla sua
origine O.
Possiamo quindi dare una seconda
definizione
di angolo: “L’angolo è la parte di piano
generata da una semiretta che
ruota intorno alla sua origine”.
Nel dare la seconda definizione di angolo si è
fatto ricorso al concetto di rotazione. E’
opportuno segnalare agli alunni che ogni
rotazione può avvenire in due versi fra loro
opposti:
Verso orario è quello che avviene secondo il
movimento delle lancette dell’orologio.
Verso antiorario: è quello opposto al movimento
delle lancette dell’orologio
Solitamente in paesi come l’Italia, in cui l’insegnamento della
geometria euclidea ha una tradizione consolidata, l’approccio della
geometria avviene a partire dagli elementi fondamentali e sin dall’inizio
viene data la definizione di angolo come “parte del piano delimitata da
semirette aventi la stessa origine”, di tipo statico, prescindendo dal
considerare esperienze che possano giustificare agli occhi dell’allievo
l’introduzione di questo concetto matematico.
Questa introduzione formale e il tipo di rappresentazioni cui si fa
ricorso producono spesso nell’allievo un’acquisizione del concetto di
angolo, e di altri ad esso relativi, poco chiara e distorta.
Invece, in paesi di area inglese, che promuovono una matematica
“realistica”, ossia che punta alla matematizzazione del reale a partire
dall’osservazione di situazioni pratiche, si ha un approccio del concetto di
angolo sull’osservazione dei corpi in movimento rotatorio e sulla
rappresentazione grafica di tali movimenti.
L’aspetto di tale concetto che prevale è di tipo dinamico ed allude a
quello di angolo orientato.
Le due impostazioni, entrambe poggiate sull’intuizione, riflettono due
aspetti diversi del concetto di angolo, uno statico che prescinde
dall’orientamento nel piano, l’altro dinamico che viceversa è legato ad
esso.
Nel 1° caso, proprio per la mancanza dell’orientamento del piano, ci si
scontra con la difficoltà, date due semirette concorrenti, di avere
individuati nel piano due angoli e questo comporta l’immediata definizione
di angolo convesso o concavo.
Nel 2° caso, invece, si determina un angolo che è unicamente
individuato dal verso con cui si suppone che la retta ruoti.
STUDI SULL’INSEGNAMENTO-APPRENDIMENTO DEL CONCETTO DI ANGOLO
Recentemente da parte dei ricercatori si rileva una certa attenzione ai problemi
di insegnamento-apprendimento che il concetto di angolo comporta ed è interessante
osservare come tali ricerche siano correlate alla cultura geometrica del paese in cui
sono realizzate. Per esempio:
L’austriaco Krainer (1991) sostiene che da un punto di vista intuitivo si rilevano
diverse concezioni di angolo: “angolo come spazio”, “angolo come un’inclinazione”,
“angolo come una rotazione”, concezioni che, egli sostiene, non possono essere incluse
tutte in una definizione.
Mitchelmore (1989), ricercatore di scuola tedesca, sottolinea l’incapacità degli
allievi di confrontare angoli in posizioni diverse nel piano e raccomanda sin dalla
scuola elementare un approccio operativo agli angoli. Sostiene di prendere in
considerazione figure con angoli non convessi e di introdurre rappresentazioni che
suggeriscano l’idea di angolo come regione piana illimitata. Inoltre, sottolinea la
necessità di affrontare nello stesso tempo esperienze informali sulla rotazione e
suggerisce l’uso di rappresentazioni di angoli di rotazione sul modello orologio.
Magina e Hoyles (1991), seguendo la tradizione inglese, studiano lo sviluppo del
concetto di angolo nei bambini dai 6 ai 15 anni sulla base di un piano di lavoro che
comprende sia l’aspetto dinamico che l’aspetto statico di esso attraverso una serie di
situazioni centrate sulla navigazione e rotazione (aspetto dinamico) e confronto di angoli
(aspetto statico).
Difficoltà generalmente rilevate nelle suddette ricerche riguardano i seguenti aspetti:
1) La mancanza di riconoscimento di angoli retti se in posizioni obliqua;
1) La presunta dipendenza dell’ampiezza di un angolo dalla lunghezza dei segmenti di
retta che lo rappresentano.
LA TRATTAZIONE DEGLI ANGOLI NEI TESTI SCOLASTICI ITALIANI
Da un esame di libri di testo italiani per la scuola media si rileva il prevalere di testi
in cui il concetto di angolo è introdotto ex abrupto attraverso definizione e presentato
nell’aspetto statico: “parte di piano originato da semirette aventi la stessa origine” e
successivamente come “regione piana descritta da una semiretta che ruota intorno alla
sua origine”.
Marginalmente, in due o tre di essi, si trovano evidenziati aspetti complementari,
alcuni di approfondimento, quale la caratterizzazione dell’angolo come intersezione o
unione di semipiani, altri a sfondo esperienziale per l’approccio al concetto.
C’è da osservare che generalmente nei testi non sono presenti riflessioni tra
l’aspetto statico e l’aspetto dinamico dell’angolo e comunque nelle successive attività
prevale pesantemente il primo aspetto.
Da un punto di vista didattico è opportuno un approccio al concetto da diversi punti
di vista.
E’ importante rilevare come vi siano testi, anche se non tra i più recenti, in cui si
abbandona l’impostazione tradizionale: inizialmente si esaminano solidi o figure piane, si
opera su/con gli angoli presupponendoli noti, se pure a livello intuitivo, e solo in un
secondo momento si ritorna su di essi per chiarirne il concetto; solitamente non vi è una
definizione esplicita di angolo, ma si esaminano uno o più aspetti di esso che
implicitamente lo caratterizzano.
DEFINIZIONI DI ANGOLI PARTICOLARI
Si osserva come nei testi scolastici, una volta introdotto il concetto di
angolo, si danno le definizioni di angoli speciali (nullo, giro, piatto, retto) e di
angoli concavi e convessi.
Alcuni testi introducono contemporaneamente agli angoli la loro misura,
concetto attraverso il quale vengono definiti gli angoli speciali.
Desidero fare presente che questa scelta, anche se da un punto di vista
didattico appare economica, in realtà è culturalmente scorretta, essendo tali
concetti indipendenti dalla misura.
Un aspetto che andrebbe curato, a livello didattico, riguarda il controllo
metacognitivo di quanto si legge ed apprende per mettere in luce eventuali
improprietà o elementi tacitamente assunti, ad esempio in un testo come
definizione di angolo retto si legge:
“Quando le due semirette sono perpendicolari formano un angolo retto”,
ma scorrendo il testo all’indietro alla ricerca della definizione di rette
perpendicolari si legge “Due rette si dicono perpendicolari quando dividono il
piano in quattro angoli retti”.
Per quanto riguarda in particolare i concetti di angolo nullo e angolo
giro occorre rilevare che se da un punto di vista statico possono ritenersi
plausibili visti come caso limite, dal punto di vista dinamico non lo sono più
tanto, se non si vuole sconfinare nel cosiddetto angolo generalizzato, ossia
l’angolo che tiene conto e “conserva memoria” del movimento compiuto da
una delle due semirette per sovrapporsi all’altra.
Da un punto di vista matematico ciò che conta non è il movimento
compiuto dalla semiretta che lo genera, ma le sue posizioni iniziale e finale
e pertanto nei due casi ci si trova di fronte al medesimo angolo.
Come già detto, le prime proprietà che si considerano in riferimento
agli angoli sono la convessità e la concavità, e anche in tal caso si trovano
sui testi definizioni diverse. In generale, si ritiene interessante per
promuovere la riflessione negli allievi, lavorare sul confronto di definizioni
diverse di una stessa cosa, analizzando su quali elementi si poggiano e le
relative implicazioni.
C’è da sottolineare inoltre che lo studio condotto nei testi e le
rappresentazioni usate si riferiscono sempre ad angoli convessi e
generalmente ciò è tacitamente assunto. Questa scelta, se pure limita le
difficoltà dell’allievo, di fatto produce un apprendimento parziale e poco
consapevole dei casi generali.
MISURA DEGLI ANGOLI
Confronto di due angoli
Confrontare due angoli significa stabilire se due angoli dati sono congruenti o, se non lo
sono, determinare qual’è il maggiore. Per esempio, si vogliono confrontare due angoli AOB e
A’O’B’. Si possono presentare 3 casi:
Addizione di angoli
Sottrazione di angoli
Bisettrice di un angolo
Angoli acuti e angoli ottusi
Angoli complementari, supplementari ed esplementari
Angoli opposti al vertice
Misura degli angoli
Ogni angolo è caratterizzato da un’ampiezza che dipende dall’apertura dei
suoi lati.
L’ampiezza di un angolo è una grandezza e quindi misurabile.
Per misurare un angolo dobbiamo scegliere un’unità di misura e
confrontarla con l’angolo dato. L’unità di misura è il grado, cioè l’angolo pari
alla 360° parte dell’angolo giro.
Si dice grado l’angolo che è la trecentosessantesima parte dell’angolo giro.
L’angolo nullo misura
0°
L’angolo retto misura 90°
L’angolo piatto misura 180°
L’angolo giro misura 360°
Una delle questioni più importanti e spesso confusa nei testi riguarda il confronto e la
congruenza (uguaglianza) di angoli, il concetto di ampiezza di un angolo e la relativa misura.
Da un punto di vista didattico, a questo livello scolare, la strada che sembra più pertinente da
percorrere sia quella di assumere come primitivo il concetto di ampiezza ed introdurre il concetto di
angoli congruenti come angoli aventi la stessa ampiezza, dopo aver presentato il confronto di angoli
ricorrendo alla sovrapponibilità (ideale) ottenuta per trasporto mediante movimento rigido:
solitamente nei testi si ricorre a rappresentazioni grafiche opportune e si suggeriscono
concretizzazioni di ciò utilizzando angoli ottenuti per ritaglio di fogli di carta trasparente.
Difficilmente si sottolineano le differenze tra le operazioni concrete, le rappresentazioni ed i
concetti astratti.
Nella maggioranza dei testi, che ricalcano l’insegnamento
tradizionale, si parla di somma di angoli; sarebbe invece più opportuno
parlare di somma delle ampiezze (così come sarebbe più opportuno
parlare di somma di lunghezze e non di somma di segmenti).
La misura dell’ampiezza di un angolo è, ovviamente, legata alla misura
della circonferenza: l’osservanza dell’invarianza del rapporto tra la
lunghezza di un arco di circonferenza rispetto al raggio porta ad
assumere questo rapporto come misura dell’angolo che insiste sull’arco;
questo porta ad esprimere le misure degli angoli in termini di numeri
reali dell’intervallo (0,2).
Il rapporto fra la lunghezza della circonferenza qualsiasi e la lunghezza del
suo diametro è costante: C/d=
Ricordando che l’angolo al centro di ampiezza 360° corrisponde a tutta la
circonferenza, si ha che: C:l=360°:= (l*360°):C
Comunemente tuttavia la misura degli angoli viene espressa in gradi,
sistema di antichissima origine, nato dall’osservazione del moto apparente
del sole attorno alla terra.
Da un punto di vista didattico è opportuno giustificare agli allievi la
genesi di tale sistema di misure, ma è bene non soffermarsi tanto.
Strumento di misura degli angoli rispetto al sistema decimale è il
goniometro e di esso ne esistono varie versioni, le più economiche non vanno
oltre l’angolo piatto e per lo più sono graduate da sinistra verso destra,
sottintendendo, come riferimento, il verso orario di rotazione. Questo cozza
con le usuali rappresentazioni degli angoli che sottintendono il verso
antiorario di rotazione e non fa che aggiungere ostacoli al già difficile
problema del controllo della giusta collocazione dello strumento.
CONCLUSIONI
Per verificare il grado di assimilazione degli argomenti da parte degli allievi, sono
necessari appositi esercizi da proporre agli alunni. Per esempio:
Esercizi di disegno geometrico con l’uso di riga e compasso:
Bisettrice di un angolo dato
Divisione di un angolo retto in 3 parti
Divisione di un angolo piatto in 3 parti
SCHEDA
- Ora che gli alunni sappiano disegnare e
riconoscere angoli acuti, retti, ottusi, piatti e
giro, cerchiamoli guardando fuori dalla finestra,
nei disegni e nelle fotografie.
- Il primo esercizio invita gli alunni a segnare
gli angoli presenti, non tutti, ma solo 4 per tipo:
possiamo farli segnare nel modo classico e cioè
tracciando un arco che collega i due lati
dell’angolo.
- il secondo esercizio, invece, chiede agli alunni
di osservare bene le figure disegnate e di
scrivere i tipi di angolo presenti all’interno
della figura: il quadro ha tutti e quattro gli
angoli retti, un cartello di pericolo stradale li ha
tutti acuti, mentre l’altro li ha ottusi.
- Questa scheda permette di iniziare a fare una
riflessione sui tipi di angolo maggiormente
presenti negli oggetti che ci circondano.
