“Pitagora e Euclide.
Giochi matematici con triangoli,
quadrati e cerchi”
Nando Geronimi
Milano - 4 ottobre 2014
PARIGI
2014
“Pitagora e Euclide.
Giochi matematici con triangoli,
quadrati e cerchi”
Nando Geronimi
Milano - 4 ottobre 2014
"Giochi, Modelli, Storia“ Milano 3-4-5 ottobre 2013
LA DIAGONALE
Nel rettangolo ABCD (con AB > BC) la
diagonale AC misura 25 m.
D
Calcolate la misura di AB sapendo che i
lati misurano un numero interi di metri.
25
A
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
C
B
TERNA PITAGORICA
Una terna pitagorica è una terna di numeri interi positivi
a, b, c
tali che: a2 + b2 = c2
La prima e più conosciuta terna pitagorica (ridotta) è:
3, 4, 5 perché 32 + 42 = 52
Una seconda terna pitagorica (ridotta) è:
5, 12, 13 perché
52+122=132
Da ogni terna pitagorica ridotta del tipo a, b, c si ricavano
infinite altre terne pitagoriche (derivate) moltiplicando ogni
numero per un fattore k intero positivo:
ka, kb, kc
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
LA DIAGONALE
Nel rettangolo ABCD (con AB > BC) la
diagonale AC misura 25 m.
D
Calcolate la misura di AB sapendo che i
lati misurano un numero interi di metri.
C
25
15
TERNE PITAGORICHE
3–4–5
5 – 12 – 13
6 – 8 – 10
9 – 12 – 15
12 – 16 – 20
15 – 20 – 25
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
A
20
La soluzione è unica?
… e se AC fosse 97 m?
B
LA DIAGONALE
Nel rettangolo ABCD (con AB > BC) la
diagonale AC misura 25 m.
D
Calcolate la misura di AB sapendo che i
lati misurano un numero interi di metri.
n
n2
1
1
4
2
3
4
5
9
16
6
25
36
7
49
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
A
C
25
7
24
B
CERCHI E TRAPEZI
In figura vedete un trapezio isoscele, le basi
misurano 14 e 20 cm, i lati sono tangenti a
una circonferenza.
D
C
H
Qual è (in cm2) l’area del cerchio?
P.S. Nel calcolo, scrivete 22/7 al posto di π.
O
A
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
I
K
B
CERCHI E TRAPEZI
In figura vedete un trapezio isoscele, le basi
misurano 14 e 20 cm, i lati sono tangenti a
una circonferenza
D
C
H
Qual è (in cm2) l’area del cerchio?
P.S. Nel calcolo, scrivete 22/7 al posto di π.
O
A
Il triangolo AOD è rettangolo in O
I
K
B
AH=1/2 (AB) = 10 cm
DH=1/2 (CD) = 7 cm
Per il 2° teorema di Euclide:
OH = √(AH x DH) = √ (10 x 7)
Area cerchio: 10 x 7 x 22/7 = 220 cm2
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
UN QUADRILATERO NEL
QUADRATO
I triangoli AFD e GFB sono simili e il
loro rapporto di similitudine è ½; allora:
HF = ½ FN, e HF=1/3 HN.
Il triangolo AFD è 1/6 del quadrato
ABCD.
G
Nel quadrato ABCD, i punti I e K
sono i punti medi di AD e di CD.
Sapendo che il lato del
quadrato misura 30 cm,
quanto misura l’area del
quadrilatero DIEF?
Il triangolo AEI è 1/5 del triangolo ABI, il
quale è ¼ del quadrato.
Il triangolo AEI è 1/20 del quadrato
ABCD.
L’area della parte ombreggiata
(differenza tra le aree di AFD e AEI) è
1/6 – 1/20 = 7/60 dell’area del quadrato
ABCD e misura: 302 x 7/60 = 105 cm2
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
H
N
LA BICI E LA PRESA D’ARIA
Una bicicletta è accuratamente
appoggiata ad un muro. In questo
muro, a livello del suolo, si trova
una presa d’aria quadrata.
Curiosamente i due angoli
superiori della presa d’aria,
coincidono con due punti della
ruota, come indicato nella figura.
Sapendo che il lato della presa
d’aria misura 56 cm, quanto
misura il diametro della ruota
della bicicletta? Dare la risposta
in centimetri, arrotondando
eventualmente al centimetro più
vicino.
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
LA BICI E LA PRESA D’ARIA
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
LA BICI E LA PRESA D’ARIA
K
D
C
M
1° Teorema di Euclide:
KH = DH2 / MH
Teorema di Pitagora:
DH2 = AD2 + AH2
A
H
B
AD = MH = 2 AH
DH2 = (2AH)2 + AH2 = 5 AH2
KH = 5 AH2 / 2 AH = (5/2) AH = (5/4) AD
AD = 56 cm
KH = (5/4) 56 = 70 cm
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
L’EREDITA’
(Finale nazionale 2014)
Amerigo e Renato hanno ricevuto in eredità il
terreno che vedete in figura. È una buona
eredità, anche se il perimetro non raggiunge i
10.000 decimetri. Si sono allora diviso il
terreno in due parti che hanno, ciascuna, la
forma di un triangolo rettangolo; il lato
comune ha una lunghezza di 2014 dm e la
misura di ogni lato è espressa da un numero
intero di dm.
Qual è esattamente il perimetro dell’intero
terreno?
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
C
2014
D
A
B
TERNA PITAGORICA
Una terna pitagorica è una terna di numeri interi positivi
a, b, c tali che a2 + b2 = c2
Quante terne pitagoriche si conoscono?
Scrivete due numeri m e n interi positivi (m>n)
Calcolate:
a: m2 – n2
b: 2mn
c: m2+n2
Esempi:
m=2, n=1
a: 22 – 12 = 3
b: 2x2x1 = 4
c: 22 + 12 = 5
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
Esempi:
m=3, n=2
a: 32 – 22 = 5
b: 2x3x2 = 12
c: 32 + 22 = 13
Esempi:
m=5, n=2
a: 52 – 22 = 21
b: 2x5x2 = 20
c: 52 + 22 = 29
L’EREDITA’
(Finale nazionale 2014)
Amerigo e Renato hanno ricevuto in eredità il
terreno che vedete in figura. È una buona
eredità, anche se il perimetro non raggiunge i
10.000 decimetri. Si sono allora diviso il
terreno in due parti che hanno, ciascuna, la
forma di un triangolo rettangolo; il lato
comune ha una lunghezza di 2014 dm e la
misura di ogni lato è espressa da un numero
intero di dm.
Qual è esattamente il perimetro dell’intero
terreno?
C
2014 = 2 x 53 x 19
2014
D
B
A
AB = 532-192=2809-361= 2448
CB = 532+192=2809+361= 3170
2° triangolo rettangolo:
ipotenusa=2014=2x19x53=2x19x(49+4)=2x19x(72+22),
m=7, n=2
CD= 2x19x(72-22) = 2x19x(49-4) = 2x19x45=1710
AD= 2x19x2x7x2=1064
Perimetro = 2448+3170+1710+1064=
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
8392 dm2
LA DIVISIONE DI EUGENIO
Il grande architetto Eugenio Itor adorava i
numeri interi. Ammiratore di Pitagora e
Talete, acquistò il campo triangolare
rappresentato in figura i cui lati
misuravano, maliziosamente,
AB = 13 √63 m,
AC = 15 √63 m
BC = 14 √63 m.
Quando morì, i suoi due figli, Delim e Facil,
si divisero il terreno in due parti aventi la
stessa area.
Delim e Facil decisero di costruire un muro
di separazione rettilineo e perpendicolare al
lato BC.
Quanti metri misura, arrotondata al
centimetro, la lunghezza del muro di
separazione?
Prendere 2,646 per √7
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
AB = 13 √63 m
AC = 15 √63 m
BC = 14 √63 m
LA DIVISIONE DI EUGENIO
15
13
12
5
9
14
AB = 13 √63 m
AC = 15 √63 m
BC = 14 √63 m
Perché non
AB = 39 √7 m
AC = 45 √7 m
BC = 42 √7 m?
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
LA DIVISIONE DI EUGENIO
15
13
12
5
9
14
L’area del triangolo ABC misura 14x12/2 = 84 u2
L’area del triangolo AHC misura 9x12/2 = 54 u2
Il triangolo KMC (simile al triangolo AHC) deve
avere un’area di 42 u2.
MC/HC = √(42/54) = √(7) /3
HC = 9 x 3 x √7
MC = 9 x 3 x √7 x √7 /3 =63
MK = 12 x 3 x √7 x √7 / 3 = 84
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
m
H
AB = 13 √63 m
AC = 15 √63 m
BC = 14 √63 m
Perché non
AB = 13x3 x√7 = 39 √7 m
AC = 15x3x √7 = 45 √7 m
BC = 14x3 x√7 = 42 √7 m?
TERNA PITAGORICA
Scrivete due numeri a piacere.
Scrivete poi un terzo numero uguale alla somma dei primi due.
Scrivere ora un quarto numero uguale alla somma degli ultimi due
Calcolate il prodotto tra il primo e il quarto.
Calcolate il doppio prodotto tra il secondo e il terzo.
Avete trovato i primi due numeri una terna pitagorica!
Qual è il terzo numero?
Il quadrato del secondo più il quadrato del terzo.
Esempio:
2x8=16
1° numero: 2
162+302 = 342
2x3x5=30
2° numero: 3
32+52 = 34
3° numero: 5
4° numero: 8
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
TERNA PITAGORICA di FIBO
La successione di Fibonacci:
1, 1, 2 , 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ………..
Prendiamo 4 numeri consecutivi della successione.
Esempio: 5, 8, 13, 21.
Il prodotto tra il primo e il quarto numero: 5x21=105,
il doppio prodotto tra il secondo e il terzo: 2x8x13=208
√(1052+2082) =√(11025+43264) = √54289) = 233
105, 208, 233
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
TERNA PITAGORICA di FIBO
Una generica successione di Fibonacci:
a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b, 13a+21b …
Prendiamo i primi 4 numeri consecutivi della
successione.
a, b, a+b, a+2b
Il prodotto tra il primo e il quarto numero: a2+2ab
il doppio prodotto tra il secondo e il terzo: 2ab+2b2
sono i primi due termini di una terna pitagorica
Il terzo numero è (a+b)2 +b2
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
IL PONTE SUL LAGO
I due fratelli Pagne e Pion hanno ereditato ciascuno
un giardino e un campo di forma quadrata, tutti
diversi, che circondano un lago quadrangolare;
l’angolo formato dalle due superfici di Pagne è retto.
Pion è furente! Facendo una passeggiata
lungo i 600 metri del perimetro del lago, si
è accorto che suo fratello possedeva 600
m2 più di lui; ciò non è evidente poiché il
lato del giardino di Pagne misura solo un
metro in più del lato del proprio giardino.
Sapendo che il ponte e i lati di tutti i quadrati
misurano numeri interi di metri, quanto è
lungo il ponte?
(Suggerimento: la soluzione è unica ed è un
multiplo di 5)
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
Giardino
di Pion
Giardino
di Pagne
Campo
di Pion
Ponte
sul lago
Campo
di Pagne
IL PONTE SUL LAGO
I due fratelli Pagne e Pion hanno ereditato ciascuno
un giardino e un campo di forma quadrata, tutti
diversi, che circondano un lago quadrangolare;
l’angolo formato dalle due superfici di Pagne è retto.
Pion è furente! Facendo una passeggiata
lungo i 600 metri del perimetro del lago, si
è accorto che suo fratello possedeva 600
m2 più di lui; ciò non è evidente poiché il
lato del giardino di Pagne misura solo un
metro in più del lato del proprio giardino.
Sapendo che il ponte e i lati di tutti i quadrati
misurano numeri interi di metri, quanto è
lungo il ponte?
(Suggerimento: la soluzione è unica ed è un
multiplo di 5)
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
Giardino
di Pion
x
A
Campo
di Pion
w
D
Giardino
di Pagne
C
Ponte
sul lago
z
y
B
Campo
di Pagne
AD: x
AB: y
CD: w
BC: z
w = x-1
x+y+w+z=600
x2+y2=w2+z2+600
IL PONTE SUL LAGO
w = x-1
x+y+x-1+z=600
y+z=601-2x
x2+y2 = (x-1)2+z2+600
Giardino
di Pion
C
D
x2+y2 = x2-2x+1+z2+600
Ponte
sul lago
Giardino
di Pagne
y2 - z2= 601-2x
B
A
(y–z) (y+z)= y+z
Campo
di Pion
y= 1+z
(1+z)2 = -2x+1+z2+600
Campo
di Pagne
1+2z+z2 = -2x+1+z2+600
z = -x+300
y= 301-x
AD: x
AB: y
CD: w
BC: z
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
w = x-1
x+y+w+z=600
x2+y2=w2+z2+600
IL PONTE SUL LAGO
w = x-1
x+y+x-1+z=600
y+z=601-2x
x2+y2 = (x-1)2+z2+600
Giardino
di Pion
C
D
x2+y2 = x2-2x+1+z2+600
Ponte
sul lago
Giardino
di Pagne
y2 - z2= 601-2x
B
A
(y–z) (y+z)= y+z
Campo
di Pion
y= 1+z
(1+z)2 = -2x+1+z2+600
Campo
di Pagne
1+2z+z2 = -2x+1+z2+600
z = -x+300
y= 301-x
I lati y, w, z sono
espressi in funzione di x
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
AD: x
AB: y
CD: w
BC: z
w = x-1
x+y+w+z=600
x2+y2=w2+z2+600
IL PONTE SUL LAGO
w = x-1
z = -x+300
Giardino
di Pion
x2+y2=n2
C
D
y= 301-x
(Suggerimento: la soluzione è unica ed è
un multiplo di 5)
Campo
di Pion
Ponte
sul lago
Giardino
di Pagne
B
A
x, y, n è una terna pitagorica
derivata da 3, 4, 5 ?
Se si allora: y=4/3 x
Campo
di Pagne
4/3 x = 301 - x
7/3 x = 301
x = 129 = (3x43) y = 172 = (4x43) n = 215 = (5x43)
w = 128
z = 171
Il ponte è lungo 215 metri
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
ARBELO
La decorazione in legno che ricorda un arbelo, è stata ricavata
da un semicilindro di diametro AB da cui sono stati tagliati
due semicilindri di diametro AC e BC; il punto C divide AB
in due parti tali che AC = 3 BC.
Sapendo che il semicilidro originale pesava esattamente 8 kg,
quanto pesa l’arbelo?
L’arbelo che parte è del semicilindro?
L’area dell’arbelo è equivalente all’area del cerchio che ha
per diametro il segmento CD.
Se AB= 8, allora AC=6, BC=2 e, per il 2° di Euclide,
CD=2√3.
Area semicilindro: 42π /2 = 8 π
Area arbelo: 3 π
L’arbelo è i 3/8 del semicilindro
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
Se il semicilindro pesava 8 kg
allora la decorazione pesa 3 kg.
Il casco del cavaliere
(Semifinale 2012)
Nella figura (simmetrica rispetto all’asse
verticale) vedete un casco da cavaliere. I
cinque vertici del pentagono sono situati
su una stessa circonferenza. I tre lati più
piccoli dello stesso pentagono hanno una
lunghezza uguale al raggio di questa
circonferenza, ovvero di 25 cm. I punti
medi dei lati maggiori del pentagono
delimitano la base inferiore del triangolo
grigio (che rappresenta la visiera del
casco); i vertici alti del triangolo grigio e
del pentagono coincidono.
•Qual è la superficie della visiera del
casco (espressa in cm2 e arrotondata al
cm2 più vicino)?
•Nota: se necessario, per scrivere il
risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ;
1,732 per √3 ; 2,236 per √5).
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
Il casco del cavaliere
Nella figura (simmetrica rispetto all’asse
verticale) vedete un casco da cavaliere. I
cinque vertici del pentagono sono situati
su una stessa circonferenza. I tre lati più
piccoli dello stesso pentagono hanno una
lunghezza uguale al raggio di questa
circonferenza, ovvero di 25 cm. I punti
medi dei lati maggiori del pentagono
delimitano la base inferiore del triangolo
grigio (che rappresenta la visiera del
casco); i vertici alti del triangolo grigio e
del pentagono coincidono.
•Qual è la superficie della visiera del
casco (espressa in cm2 e arrotondata al
cm2 più vicino)?
•Nota: se necessario, per scrivere il
risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ;
1,732 per √3 ; 2,236 per √5).
D
E
C
O
M
N
B
A
r = AB = CD = DE = 25 cm
S(MND) = ?
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
Il casco del cavaliere
120°
ED=r
AE=r√2
EM=r√2/2
DM=EM x sen 105°/sen 30° (teorema dei seni)
Il triangolo MND è equilatero.
45°
S(MND) = DM2 sen60° x 1/2
………………..
90°
D
60°
E
C
O
M
•Nota: se necessario, per scrivere il
risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ;
1,732 per √3 ; 2,236 per √5).
N
30°
B
A
r = AB = CD = DE = 25 cm
S(MND) = ?
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
Il casco del cavaliere
EC = r √3
MN = (EC+AB)/2 = r (√3 +1)/2
MH = MN/2 = r (√3 +1)/4
DH = (MH)√3 = r (√3 +1)√3/4 = r (3+√3)/4
S (MND) = MHxDH =
[r (√3 +1)/4] x [r (3+√3)/4 ] =
= r2 (6+4 √3)/16 =
= 625 (6+6,928)/16 = 625 x 12,928 /16 =
= 505 cm2
•Nota: se necessario, per scrivere il
risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ;
1,732 per √3 ; 2,236 per √5).
D
E
C
O
M
N
H
B
A
r = AB = CD = DE = 25 cm
S(MND) = ?
“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”
