funzioni goniometriche - Liceo Scientifico “Sereni”

FUNZIONI GONIOMETRICHE
CLASSE 3 A S
A.S. 2013/14
MISURA DEGLI ANGOLI IN
RADIANTI
L’unità di misura degli angoli usata abitualmente è il grado, definito
come la trecentosessantesima parte dell’angolo giro. Questo
sistema di misura, che forse è un residuo degli studi degli
astronomi babilonesi che consideravano l’anno composto di 360
giorni, non è particolarmente comodo, anche perché,
nell’esprimere le frazioni dell’unità, non utilizza la suddivisione
decimale.
Per le frazioni del grado si usa il primo ( che è 1/60 di grado ed
indicato con ‘ ) e il secondo ( che è 1/60 del primo, cioè 1/3600
di grado ed indicato con “ ).
Per le applicazioni scientifiche viene utilizzata un’altra unità di
misura, detta radiante, la cui definizione deriva da proprietà
relative al cerchio.
In ogni circonferenza si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra
gli angoli al centro e gli archi.
Le lunghezze degli archi sono direttamente proporzionali alle
ampiezze degli angoli al centro corrispondenti.
Così, se in una circonferenza di raggio r indichiamo con α
l’ampiezza in gradi di un angolo e con h la lunghezza dell’arco
corrispondente , vale questa relazione :
h


2r 360
IL RADIANTE
Consideriamo un insieme di circonferenze concentriche. Esse si
corrispondono nell’omotetia con centro nel centro comune e
rapporto uguale al rapporto dei rispettivi raggi.
Un angolo al centro individua su ognuna delle circonferenze un
arco la cui lunghezza risulta proporzionale al raggio della
circonferenza.
Infatti 360° : α = 2πR : h = 2πR’: h’ .
Di conseguenza, in ogni circonferenza un angolo al centro
determina il medesimo rapporto tra la lunghezza dell’arco e la
lunghezza del raggio relativo :
h : R = h’ : R’
Tale rapporto non dipende dalla particolare circonferenza , ma
solo dall’angolo considerato.
Può essere quindi utilizzato come un criterio per la misura
degli angoli.
Qual è, per esempio, il rapporto h : R determinato dall’angolo di 90°?
L’angolo retto è la quarta parte dell’angolo giro; la lunghezza dell’arco
corrispondente è quindi la quarta parte della circonferenza, cioè h =
2πR/ 4 = πR/2.
Per l’angolo di 90° quindi il rapporto h / R vale π/2 e questo valore,
come si è detto, non fa più riferimento al particolare raggio R della
circonferenza.
Se un arco ha lunghezza uguale al raggio R , il rapporto h / R è
uguale a 1. Ne consegue che:
Si definisce radiante l’ampiezza dell’angolo al centro
corrispondente a un arco di lunghezza uguale al raggio della
sua circonferenza.
L’ampiezza di un angolo espressa in radianti si calcola
dividendo la lunghezza dell’arco corrispondente per il raggio .
ampiezza di un angolo ( in rad) 
lunghezza dell'arco corrispondente
raggio
Per convertire la misura di un angolo da gradi a radianti e
viceversa si utilizza la seguente proporzione ( in cui α indica la
misura in gradi e x la corrispondente misura in radianti ) :
x : π = α : 180
COSENO E SENO DI UN ANGOLO
Si può considerare l’angolo da due diversi punti di vista :
 In modo statico , come “parte di piano compresa tra due
semirette aventi origine in comune” : secondo questo modo di
vedere, gli angoli di ampiezza superiore a 360° sono del tutto
equivalenti, come insiemi di punti del piano, ad angoli di
ampiezza inferiore;
 In modo dinamico , come “ parte di piano descritta dalla
rotazione che compie una semiretta attorno alla sua origine a
partire da una posizione iniziale”. In talune applicazioni questo
punto di vista è essenziale ( apertura di una cassaforte
mediante una ghiera ).
Noi intenderemo l’angolo nel suo senso dinamico e allora
assegneremo il segno positivo al verso antiorario, quello
negativo al verso orario .
L’angolo sarà quello della rotazione di centro
C che porta una semiterra di origine C (lato
iniziale dell’angolo) a corrispondere ad una
semiretta di uguale origine (lato finale
dell’angolo).
Introducendo nel piano un sistema di
riferimento cartesiano, consideriamo un
angolo in posizione normale quando il suo
vertice coincide con l’origine, il lato iniziale
coincide con il semiasse positivi delle ascisse e
si assume come positivo il verso antiorario.
Un insieme di angoli che differiscono tra loro per un multiplo di π / 2π si
indica così:
x + k π oppure x(mod π ) / x +2 k π oppure x(mod π ) .
Fissato un sistema di riferimento cartesiano nel piano, si chiama
circonferenza goniometrica una circonferenza con centro
nell’origine e raggio unitario
Per ogni x reale , il coseno di x ( indicato
con cosx ) è l’ascissa del punto A in cui il
lato finale dell’angolo di ampiezza x
interseca la circonferenza goniometrica
Per ogni x reale , il seno di x ( indicato
con senx ) è l’ordinata del punto A in cui
il lato finale dell’angolo di ampiezza x
interseca la circonferenza goniometrica
Sia l’ascissa che l’ordinata del punto A variano da –1 a +1, perché A
appartiene alla circonferenza goniometrica.
Per ogni x reale, è definito il valore cosx e -1 ≤ cosx ≤ 1
Per ogni x reale, è definito il valore senx e -1 ≤ senx ≤ 1
Poiché la circonferenza goniometrica ha raggio unitario, la
sua equazione fornisce la relazione fondamentale tra seno e
coseno , che vale per ogni valore reale di x :
RELAZIONE FONDAMENTALE TRA SENO E COSENO
COS2X + SEN2X = 1
da cui si deduce che :
senx   1  cos 2 x
cos x   1  sen 2 x
TANGENTE DI UN ANGOLO
Dato un angolo di ampiezza x, in posizione
normale, si chiama tangente trigonometrica
dell’angolo l’ordinata del punto di
intersezione del lato finale ( eventualmente
prolungato ) e della retta tangente alla
circonferenza goniometrica nel punto di
coordinate ( 1;0). La tangente
trigonometrica dell’angolo si indica con tgx o
tanx .
C’è qualche relazione tra senx, cosx, e tgx? Osserviamo :
Limitiamoci al primo quadrante:
I triangoli OCD e OAB sono simili per il
primo criterio, quindi i lati sono in
proporzione:
AB : CD = OA : OC
Ma si ha che
AB=tgx , CD=senx, OA=1 e OC=cosx
Quindi si ottiene :
tgx:senx=1:cosx da cui la
Relazione fondamentale tra seno,
coseno e tangente :
tgx = senx/cosx
A questo punto possiamo provare a cercare su Internet :
andiamo su www.math.it e cerchiamo qualcosa sulle funzioni
goniometriche.
Un altro sito interessante potrebbe essere
www.walter-fendt.de/m14i.