Lezione 13

Tredicesima Lezione
Relazioni energetiche e Condizioni al contorno per
le Equazioni di Maxwell
Riassunto della lezione precedente





Legge di Ampère-Maxwell
Leggi di Maxwell in forma completa
Importanza del termine aggiunto da Maxwell:
paradossi evitati…
Equazione d’onda per una regione omogenea,
lineare e priva di sorgenti
Una soluzione particolare: onda piana
Relazioni energetiche in un campo
elettromagnetico: teorema di Poynting
Definiamo la quantità ExH, vettore di Poynting: perché?

pensando all’onda piana della lezione precedente pare
una quantità interessante: è un vettore orientato nella
direzione di propagazione.

Dimensionalmente è una potenza per unità di area (E in
V/m, H in A/m, EH è in VA/m2 cioè Watt/m2)


Proviamo a trarre qualcosa dalle equazioni di Maxwell,
ipotizzando solo di avere mezzi “senza memoria” (e,m non
dipendono dal tempo), isotropi e lineari
Distinguiamo le correnti in due classi: quelle impresse (per
esempio da un generatore alternato) Ji e quelle indotte dal
campo J
Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico:
teorema di Poynting
Le equazioni del rotore sono in questo caso

E   B
t

  H  D  J  Ji
t
Calcoliamo la divergenza del vettore di Poynting
  P   E  H  H    E  E    H
...Abbiamo usato un’altra identità
Sostituiamo a secondo membro le eq di Maxwell
D
B
   P  E 
H
 E  J  E  Ji
t
t
Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico:
teorema di Poynting
D
B
H
 E  J  E  Ji
t
t
Immaginiamo che le correnti indotte J fluiscano in un
conduttore con conducibilità s: la legge di Ohm
  P  E 

E  J  sE 2

Inoltre, per mezzi lineari, isotropi, senza memoria
D  eE B  mH
Esprime la
conservazione
 1 2 1
2
2



P

e
E

m
H

s
E
 E  J i


dell’energia
t  2
2

densità di energia del
campo elettromagnetico
densità di potenza
dissipata per effetto
termico
densità di potenza fornita
dal generatore
Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico:
teorema di Poynting

Integriamo su un volume per ricavarne la forma integrale:
applichiamo il teorema della divergenza
 P  nds 
S



t
1 2 1
2
2
e
E

m
H
dV

s
E
dV    E  J i dV


 2

2

V 
V
V
Il primo termine è un flusso di energia nel volume per unità di
tempo
Allora, rileggendo il teorema di Poynting come conservazione dell’energia,
leggiamo l’equazione di sopra dicendo che l’energia che forniamo
nell’unità di tempo ad una certa regione deve essere uguale alla somma di

Potenza dissipata per effetto Joule nei conduttori


Potenza immagazzinata dal campo elettromagnetico in tale regione
Potenza netta portata via attraverso la superficie di bordo S della
regione V dalle onde elettromagnetiche
teorema di Poynting: come viaggia l’energia?



In un conduttore ideale E ed H sono nulli: quindi P è nullo.
Dove viaggia l’energia?
Immaginiamo un esperimento:
Il campo elettrico e la
corrente nel filo sono
orientati lungo z: legge di
Ohm
Ri
E  Ezu z 
uz
l
i
l
B
superconduttore
Conduttore reale
Il campo magnetico è dato
z
dalla legge di Biot-Savart H  H u  i u
 

2r

Il vettore di Poynting
Ri 2
P  E  H  Pr u r  
ur
2rl

Cioè viaggia esternamente (nel dielettrico o
nel vuoto) e penetra radialmente

teorema di Poynting: come viaggia l’energia?

Tra l’altro facendone il flusso attraverso un cilindro
concentrico, di raggio r: solo la superficie laterale
contribuisce:
Ri 2
2
P

n
ds

2

rl

Ri

2rl
S

Pari alla potenza dissipata per effetto Joule
Condizioni al contorno



Abbiamo le equazioni differenziali. Quali sono le
condizioni al contorno?
Come si devono comportare i campi quando
incontrano un materiale diverso?
Le equazioni di Maxwell valgono ovunque:
usiamo la loro forma integrale e vediamo che
vincoli devono rispettare le soluzioni delle
equazioni differenziali (valide nel “punto”)
Condizioni al contorno: continuità componente
elettrica tangenziale
E
Supponiamo di avere due
mezzi, caratterizzati da
permettività (e1, m1) e (e1,
m1), rispettivamente




1
t1
Et 2
2
Decomponiamo il campo nelle sue componenti tangenziali
(Et) ed ortogonali (En) alla superficie di separazione
Usiamo la legge di Faraday, applicata ad un percorso
 B
rettangolare intorno all’interfaccia
 E  dl   t
Riduciamo l’altezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il
contributo alla circuitazione di En diventa nullo, come il flusso
B per cui

Quindi la componente
 E  dl  Et1  Et 2 l   t  B  0
tangenziale di E deve
essere continua
all’interfaccia
Condizioni al contorno: continuità componente
magnetica tangenziale
Densità di
H
Facciamo lo stesso
ragionamento per H

t1
1
Ht2

corrente J
2
Usiamo la legge di Ampère-Maxwell, applicata ad un
percorso rettangolare intorno all’interfaccia
 D
 H  dl   J  t

Riduciamo l’altezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il
contributo alla circuitazione di Hn diventa nullo, come il flusso di
D, ed il flusso di J (se si ha una densità finita di corrente J...)
 H  dl  Ht1  Ht 2 l

  J  t  D  0
La componente
tangenziale di H deve
essere continua
all’interfaccia
Condizioni al contorno: continuità componente
elettrica D normale
Dn1

Usiamo la legge di Gauss
applicata ad un cilindretto
1
Dn 2

2
Facciamo tendere a zero l’altezza del cilindretto, così che si
annulli qualunque contributo tangenziale. Se S è la
superficie della base
 Dn1  Dn 2 S  sS
D

n
ds




S

V
 Dn1  Dn 2  s
Quindi in assenza di cariche libere superficiali s, la componente
ortogonale di D è continua, cioè
Se s  0 Dn1  Dn 2  e1En1  e 2 En 2
Condizioni al contorno: continuità componente
elettrica B normale
Bn1
Per B possiamo fare lo
stesso, con la
semplificazione che non
esistono cariche
magnetiche


1
Bn 2
La componente ortogonale di B è continua, cioè
Bn1  Bn 2  m1H n1  m 2 H n 2
2
Condizioni al contorno: cosa succede in
prossimità di un conduttore ideale??

Il campo elettrico interno
è nullo
1
E n1
En 2  0






E t1
2
La dimostrazione relativa alla continuità delle
componenti tangenziali non cambia: è vera anche qui
Quindi: La componente tangenziale di E è nulla sia dentro che
in prossimità del conduttore
Et1  Et 2  0
Cosa possiamo dire della componente normale?
Non conviene ragionare in termini di D nel conduttore...
Ma vale sicuramente che  e r e 0 En1  e 0 En 2  s
Quindi Dn fuori, in prossimità del conduttore ideale è pari alla
densità di carica superficiale
Condizioni al contorno: cosa succede in prossimità di
un conduttore ideale??
Densità di
H
1
t1
corrente J
Il campo magnetico?
Ht2



2
La discussione su B normale non cambia: la componente di B normale è nulla
nel conduttore e deve essere nulla anche nelle immediate vicinanze
Per quanto riguarda la componente tangenziale, si era assunta una densità
di corrente finita. In realtà ora il campo magnetico tangenziale non è
generalmente nullo al di fuori del conduttore (è legato ad E normale dalle eq
di Maxwell) mentre è sicuramente nullo nel conduttore. Come è possibile?
Occorre pensare che J -legata alla densità di carica- non sia finita (del resto
l’importante è che I, la corrente -legata alla carica-, sia finita) nel qual caso il
flusso sarebbe rimasto finito anche per un’area che tende a zero; si definisce
una corrente per unità di larghezza Js [A/m] che scorre su uno strato
infinitesimo di spessore: del resto le cariche su un conduttore sono tutte in
superficie….
 H  dl  Ht1  Ht 2 l   J   t  D  J s l  0
Condizioni al contorno per un conduttore
ideale


Quindi B ed H normali sono nulli su un conduttore, mentre H
tangenziale è pari alla corrente superficiale
Le precedenti relazioni le possiamo riassumere in forma
vettoriale (indicando con n la normale alla superficie di
separazione)
nE  0
nB  0
nD  ss
nH  Js
Campo elettrico tangenziale nullo
Campo di induzione magnetica
normale nullo
Campo induzione elettrica normale pari alla
densità superficiale di carica
Campo magnetico tangenziale pari alla densità
di corrente superficiale
Ma occorrono tutte? Unicità della
soluzione



Dobbiamo distinguere tra problemi “interni” (in una regione
finita) ed “esterni” (tutto lo spazio: tipico delle antenne)
Concentriamoci per il momento sui problemi interni:
immaginiamo di avere due soluzioni delle equazioni di
Maxwell E,H,J ed Eo,Ho,Jo, in condizioni di linearità
Scriviamo il teorema di Poynting per il campo
E1  E  E0 ; H1  H  H 0
J1  J  J 0
n
in un dato volume V contenuto in una
superficie S, cioè
S
Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione

 P  nds  t
S
1
1
2
2
2
e
E

m
H
dV

s
E


 2 1 2 1
 1 dV    E1  J1dV

V 
V
V
Ip. 1: la sorgente del primo campo (J) è identica alla
sorgente del secondo J  J 0 t in V  J1  0
In pratica i due campi (E,H) ed (E0,H0) sono generati dalla stessa sorgente, quindi la
“sorgente differenza” è nulla sempre
Ip. 2: le componenti tangenziali sul bordo del volume (S) o
del campo elettrico o del campo magnetico, coincidono
E  n  E0  n o H  n  H 0  n t su S
In pratica, abbiamo indicato con n la solita normale alla superficie, e
chiediamo che le componenti tangenziali dei due campi (E,H) ed (E0,H0)
coincidono sul bordo della regione S. Come conseguenza su tutto il bordo, la
componente tangenziale di E1 o di H1 diventa zero, ed il flusso del vettore di
Poynting sparisce
Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione
Quindi rimaniamo con

t
1
1
2
2
2
e
E

m
H
dV


s
E


 2 1 2 1
 1 dV

V 
V
Che afferma che che l’energia elettromagnetica immagazzinata dal campo E1
H1 (integrale a primo termine) può essere o stazionaria o decrescere: infatti il
secondo termine, essendo l’integrando positivo o nullo, è negativo o nullo
Se però in un qualunque unico istante (es t=0) i campi coincidono, cioè E=Eo ed
H=Ho in tutto il volume V, l’energia immagazzinata da E1,H1 in quel momento è
ovviamente nulla. Ma abbiamo appena detto che l’energia (quantità positiva)
può solo decrescere o rimanere uguale; non potendo decrescere sotto zero, non
può che restare E=Eo ed H=Ho per ogni t
Unicità della soluzione
Quindi perché la soluzione delle equazioni di
Maxwell sia unica per problemi spazialmente limitati
occorre e basta
•Assegnare le condizioni iniziali in tutto il volume
•Assegnare o le componenti tangenziali di H o
quelle di E su S per ogni istante
Risultato notevole!
Può spaventare il fatto che, almeno in un istante iniziale, occorre assegnare il
campo ovunque; considerate però che con sorgenti sinusoidali, in regime
permanente (dove le condizioni iniziali non servono più e osserviamo le
soluzioni, anch’esse sinusoidali, da un tempo arbitrariamente lungo) quanto
detto dimostra che basta assegnare il campo tangenziale su una superficie in
E oppure in H per avere la soluzione univocamente determinata!!