Lezione 3

Nella lezione precedente:





Abbiamo visto come simmetrizzare le equazioni di Maxwell
introducendo cariche e correnti magnetiche
abbiamo introdotto il teorema di dualità, che permette di
scrivere la soluzione in presenza di sole sorgenti
magnetiche dalla conoscenza di quella in presenza di sole
sorgenti elettriche
Introdotto i “muri magnetici”, e visto come nella realtà certi
problemi di simmetria possano essere affrontati
ipotizzando tali muri
Abbiamo utilizzato il teorema di dualità per calcolare il
campo irradiato da un dipolo magnetico elementare, ed
identificato nella spira l’antenna che realizza tale radiatore
abbiamo introdotto il teorema di equivalenza, sfruttando il
teorema di unicità
Nella lezione precedente:

Abbiamo introdotto il teorema delle immagini
 Abbiamo quindi scritto i campi in funzione dei potenziali in
presenza di sorgenti elettriche e magnetiche, usando il
principio di sovrapposizione degli effetti

Abbiamo dato una prima classificazione delle antenne
(filiformi, planari, ad apertura, a riflettore, schiere)

Introdotto alcuni parametri caratteristici:
caratteristica o diagramma di radiazione
 densità di potenza irradiata
 intensità di radiazione
 direttività
 guadagno
 larghezza di banda
 polarizzazione
 impedenza di ingresso
 efficienza di radiazione

Parametri caratteristici: impedenza di ingresso
L’abbiamo già incontrata parlando del dipolo

Il sistema generatore+antenna in trasmissione ha quindi il
circuito equivalente

Zg
IA
Vg

VA
Vg
ZA
E la massima potenza irradiata è quindi
Wmax 
Vg
2
8R A
Parametri caratteristici: impedenza di ingresso

In ricezione invece equivalente Thevenin
ZA
A
ZL
ZL
A’
V0
Regioni di campo

Campo vicino reattivo: fino a circa R=
0.62 D 3 


Nel caso del dipolo è circa /6
Campo vicino radiativo (o regione di
Fresnel): regione intermedia in cui
esiste ancora una componente
radiale e il campo dipende da r; non
esiste in radiatori piccoli
Campo lontano (o regione di Fraunhofer): domina 1/r,
componenti lungo r trascurabili; limite a circa
r  2D 
2
Campo lontano

Sappiamo che le distribuzioni di campo approssimano
localmente onde piane; nel caso più generale le onde piane
sono
 jk r
 jk r
E  E0 e

H  H0e
Vediamo come: esplicitiamo

E  E0e
 j kx xk y y kz z


Dove E0 è un vettore che non dipende dalla posizione, ma
può avere tutte le componenti
E0  E0 xu x  E0 y u y  E0 z u z
Campo lontano: Onde piane in direzione
arbitraria

L’equazione di Helmholtz corrisponde a 3 equazioni scalari


2
 Ek E  0
2 Ex  k 2 Ex  0
2
2Ey  k 2Ey  0
2 Ez  k 2 Ez  0

Concentriamoci sulla prima e sostituiamo l’espressione
generale per l’onda piana
 2 Ex

 2 Ex

 2 Ex
x 2
y 2
z 2
 k x 2 E0 x  k y 2 E0 x  k z 2 E0 x  k 2 E0 x
 kx2  k y2  kz 2  k 2
k  k xu x  k y u y  k z u z

 k 2 Ex  0
Cioè, il vettore d’onda k che ha
modulo k può essere diviso in 3
componenti, proprio pari a kx, ky, kz
Onde piane in direzione arbitraria

Quindi potremo riscrivere brevemente, per una onda piana
che si propaga lungo una direzione generica:

E  E0e
 j kx xk y ykz z
  E e  jk r
0
Campo lontano: Onde piane in direzione arbitraria

In generale quindi E ed H per un’onda piana saranno
E  E0e  jkr

H  H0e
 jk r
Come verificare che sono onde piane? Si possono ricavare
proprietà generali sostituendo alle equazioni di Maxwell:
notate che se calcoliamo il rotore di una quantità come
quelle di sopra, il risultato sarà che
   jk 
Cioè il rotore diventa, grazie alla forma esponenziale, una
semplice moltiplicazione vettoriale! Allo stesso modo la
divergenza diventa un prodotto scalare. Le equazioni di
Maxwell (fasori in assenza di sorgenti) si “algebrizzano”
k  E0   H 0
  E   jB
k  H 0   E0
  H  jD
Sia E che H
k  H0  0
B  0
ortogonali a k
k  E0  0
D  0

Onde piane in direzione arbitraria
k  E0   H 0
k  H 0   E0

Possiamo subito ricavare una relazione tra E ed H
generale: dalla prima
H0 

1

k  E0
ovvero
H(r) 

k  H0  0
k  E0  0
1

u k  E(r)
Dove  è l’impedenza d’onda del mezzo: generalizza
l’espressione che avevate trovato per una direzione
Campo lontano


Ora possiamo sfruttare il fatto che in campo lontano le onde
sono localmente piane per “algebrizzare” anche le equazioni
del potenziale
In particolare nel nostro caso k è diretto lungo r
   jku r 

Per cui
H
1

 A
  A
E   jA 
j
H 
r 
r 
1

( jk )u r  A
E   jA 
r 
 jku r  jku r  A 
j
Campo lontano: esempio dipolo Hertziano

Avevamo visto nella prima lezione che

I 0 he  jkr
A(r )  Au z  
uz
4r

L’unico impiccio è trasformare le coordinate cartesiane in
sferiche: introduciamo una matrice di trasformazione del tutto
generale
 sin cos sinsin

M   cos cos cossin
  sin
cos


cos 

 sin 
0 
È una matrice di trasformazione molto comoda: se applicata su
un vettore cartesiano restituisce il vettore in coordinate sferiche
Campo lontano: esempio dipolo Hertziano


Nel nostro caso A è diretto lungo z, quindi
 Ar 
 0   sin cos sinsin

 


 A   M  0    cos cos cossin
 A 
 Az    sin
cos
 

Da cui
Ar=Azcos
A=-Azsin
A 0

Per cui ritroviamo banalmente
Avendo trascurato le
componenti i r per
l’ipotesi di campo
lontano
jk
e  jkr
H  ( jk )u r  A 
Ihsin
u
r 

4
r

 jk u r  jk u r  A 
jk 
e  jkr

Ihsin
u
E   jA 
r 
4
r
j
1
cos   0 
 
 sin   0 
0   Az 
Campo a grande distanza (ma non campo lontano)
Possiamo fare approssimazioni meno “spinte”, che valgano
anche in zona di Fresnel: prendiamo l’espressione del
potenziale vettore
 jk r r'

e
A(r ) 
J
(
r
'
)
dV '

4 V '
r  r'
A grande distanza: r  r'  
r-r’
r  r'  r'
J(r’) dV’
Per cui possiamo approssimare:
r
r’
V
r  r'  r nel denominatore
La funzione esponenziale invece necessita di una approssimazione migliore
(è rapidamente oscillante) r  r'  r  r'u
r
Infine considereremo il vettore r-r’ circa parallelo ad r
P
Campo a grande distanza (ma non campo lontano)
quindi

e

e  jk r r 'u r 
A(r ) 
J (r ' )
dV ' 
J(r' )
dV '


4 V '
r  r'
4 V '
r
 jk r r'
 e  jkr
jk r 'u r 

J
(
r
'
)
e
dV '

4 r V '
Funzione vettoriale f(j,)
funzione scalare solo di r
Teorema di reciprocità




Potentissimo teorema, conseguenza diretta delle
equazioni di Maxwell per mezzi isotropi, lineari e passivi
nel suo senso più semplice, un teorema di reciprocità
stabilisce che la risposta di un sistema ad una sorgente
non cambia se si scambiano sorgente e misuratore della
risposta
In senso più generale, i teoremi di reciprocità pongono in
relazione una risposta ad una sorgente -risposta dovuta
ad una seconda sorgente- con la risposta alla seconda
sorgente, dovuta alla prima…
Il teorema di reciprocità per le equazioni di Maxwell è
molto fecondo: è alla base del Metodo dei Momenti
(Harrington), alle proprietà di ortornormalità dei modi di
una guida ecc.
Teorema di reciprocità

Consideriamo due insiemi di sorgenti armoniche Ja, Ma e
Jb,Mb, alla stessa frequenza, nello stesso mezzo;
indichiamo inoltre con Ea,Ha i campi prodotti dalle sole
sorgenti a, ed Eb,Hb quelli prodotti dalle sorgenti b;
scriviamo le equazioni di Maxwell nelle due situazioni
  H  j E  J
a
a
   E  j H  M
a

  H b  j Eb  J b
a
a
   Eb  j H b  M b
a
Moltiplichiamo (scalarmente) la prima per Eb e l’ultima per
Ha, e sommiamo


Eb    H a  j Eb  E a  Eb  J a


 H b    E a  j H b  H a  H b  M a




Eb    H a  Hb    Ea  j Eb  Ea  Eb  J a  j Hb  H a  Hb  Ma
Teorema di reciprocità
E    H  H    E  j E  E  E
b

a
b
a
b
a
b


 J a  j Hb  H a  Hb  Ma
Ora, solita identità
  A  B  B    A  A    B






  Eb  H a  j Eb  Ea  j Hb  H a  Eb  J a  Hb  Ma


Scambiando a e b si ha anche
  Ea  Hb  j Eb  Ea  j Hb  H a  Ea  J b  H a  Mb






Sottraiamo l’una all’altra….


   Ea  Hb  Eb  H a  Ea  J b  Eb  J a  H a  Mb  Hb  Ma

Integriamo in un volume V, delimitato da una superficie S
ed applichiamo il th. Della divergenza



  ds  E a  H b  E b  H a   dV E a  J b  E b  J a  H a  M b  H b  M a
S
V

Teorema di reciprocità



  ds  E a  H b  E b  H a   dV E a  J b  E b  J a  H a  M b  H b  M a
S

V
Nel caso di superficie distante dalle sorgenti, sappiamo che
H

1

ur  E
Per cui i due termini a primo membro si cancellano. Resta
quindi



a
b
a
b
b
a
b
a
dV
E

J

H

M

dV
E

J

H

M


V

V
I termini di sopra si definiscono “reazioni”

 a, b   dV E a  J b  H a  M b
V

Per cui il teorema diventa semplicemente
 a, b  b, a 



Teorema di reciprocità


Che possiamo leggere dicendo che del campo a alla sorgente b
è uguale alla reazione del campo b alla sorgente a
Se consideriamo un’antenna filiforme




 a, b   dl Ea  I b  I  E  dl   I V


Per cui
b
a
b
J  I ( x) ( y)u z
a
V
I aV b  I bV a
Supponiamo di considerare per esempio a e b due antenne, e di
schematizzare il collegamento tra loro con una rete sue porte,
per esempio una matrice Z

Ebbene, la relazione di reciprocità
V a   z11 z12   I a 
implica evidentemente che
 b  
 b

V   z 21 z 22   I 
z12  z 21
Teorema di reciprocità



Quanto detto ovviamente non vale solo per le antenne ( e di fatto
si estende senza grosse difficoltà ad ogni tipo di antenna) e
dimostra che ogni rete cistruita da materia isotropa e lineare ha
matrice di impedenza simmetrica
L’implicazione più importante per le antenne è che i diagrammi
di radiazione in ricezione o trasmissione sono identici. In pratica
il comportamento in trasmissione ed in ricezione sono
indistinguibili
Per dimostrare quest’ultima affermazione dobbiamo prima
riconsiderare il diagramma di radiazione: esso può anche
essere definito come la tensione (funzione angolare,
ovviamente) ai capi dei terminali dell’antenna dovuta ad
un’onda piana che incide su di essa
Teorema di reciprocità
Se si ha quindi un’antenna in
trasmissione a, e si muove intorno
ad essa un’antenna in ricezione b,
la tensione ricevuta ai capi
dell’antenna in ricezione sarà
Z12 ( , ) I a  V b ( , )

Dove Vb è la tensione a vuoto; la caratteristica di radiazione
sarà il rapporto tra Vb ed il suo valore max
V b ( ,  )
V b ( max ,  max )
Teorema di reciprocità
Se ora invece si pone al centro
l’antenna in ricezione (ora indicata
come a) e si muove quella in
trasmissione (b), la tensione a
vuoto sarà
Z 21( ,  ) I b  V a ( , )

E la caratteristica di radiazione sarà
V a ( ,  )
V a ( max , max )

Tuttavia essendo Z21=Z12, la
caratteristica risulta la stessa
Altezza efficace
In zona lontana sappiamo che il campo decresce come 1/r

Se nell’antenna è possibile individuare facilmente dei
morsetti ai quali si possa misurare una corrente di
riferimento Io (come nelle antenne filiformi), si può porre
jk 
e  jkr
E(r , ,  ) 
Ih( ,  )
4
r



E la funzione vettoriale h (dimensionalmente una
lunghezza) prende il nome di altezza efficace
Per il dipolo elementare o Hertziano, essendo
h  hsinu
jk 
e  jkr
L’altezza
efficace
sarà:
E
Ihsin
u
4
r
La caratteristica o l’altezza efficace descrivono
totalmente l’andamento angolare del campo irradiato
Altezza efficace in ricezione
Consideriamo un’antenna filiforme su cui incida
perpendicolarmente un’onda piana, con il campo
elettrico polarizzato lungo l’asse del filo
La tensione indotta nel gap dipende dal
campo elettrico incidente ed è
certamente proporzionale, così si può
porre
V  hE
Ei
Hi
V
i

h è l’altezza efficace in ricezione
Più in generale, se il campo incide con un angolo J
diverso da 90° e con polarizzazione arbitraria, sarà utile
definire
V  h  Ei
Il teorema di reciprocità consente di dimostrare che l’altezza
efficace in ricezione è uguale a quella precedentemente
introdotta (in trasmissione)
Altezza efficace
Noto il campo elettrico incidente sull’antenna, l’altezza
efficace consente il calcolo della tensione ai capi del
carico: infatti varrà il circuito equivalente Thevenin
Zg
ZL
ZL
h  Ei
L’altezza efficace è poi facilmente legata alla direttività: infatti
P(r ,  ,  )
g D  ,   
 lim
r 
Pis
2
E / 2
1
4r 2
2
 ds E ds / 2
S

h
1
4r 2
2
2
 ds h ds
S
Fattore di Antenna (AF)
Simile all’altezza efficace, ma consente il calcolo diretto
della tensione indotta ai capi del carico, supposto noto
(solitamente 50W. Quindi non si misura ora la tensione a
vuoto, ma quella con l’antenna chiusa sul carico
VL  h  Ei
Area efficace
Quando l’individuazione di una corrente di riferimento
non è semplice o è artificiosa (come nelle antenne ad
apertura) si preferisce far riferimento alle potenze
Si introduce allora una quantità che lega la densità di potenza
incidente Si sull’antenna con la potenza disponibile sul carico
(condizione di massimo adattamento) PL: l’area efficace A tale
che
P  AS
L
i
Ora vale per la densità di potenza incidente
2
Si  Ei / 2
Mentre per la massima potenza consegnata al carico
2
2
PL  V / 8Ri  Ei  h / 8Ri
2
2
2
Quindi  E  h 2  h E i  h
h
i

A


2
2
2
4 Ri
E i 4 Ri E i h 4 Ri
Essendo Ri la parte reale
dell’impedenza di ingresso
dell’antenna
Area efficace
A
h
dove abbiamo definito
2
4 Ri


Ei  h
2
Ei h
2
2
Fattore di depolarizzazione
o efficienza di polarizzazione, che varia tra 0 ed 1
Si noti però che così l’area efficace dipende non solo dalle
caratteristiche dell’antenna, ma anche dalla polarizzazione del
campo incidente
Si è soliti quindi adottare come definizione il caso di efficienza
1 (in pratica massimo trasferimento di potenza e massima
efficienza di polarizzazione)
In tal modo la potenza ceduta ad un carico adattato risulta
PL  Si A
Relazione tra Area Efficace e
Guadagno
Il guadagno abbiamo visto è il rapporto tra la densità di potenza
irradiata in una direzione e la densità di potenza che irradierebbe
se fosse isotropica e senza perdite
Er , ,   / 2
4r Er ,  ,  
G ,   

2
1
2
2
Ri I
Ri I / 4r
2
2
2
2
ma sappiamo che il campo è legato all’altezza efficace da
jk 
e  jkr
per cui il guadagno diventa
E(r , ,  ) 
Ih( ,  )
4
r

2
G  ,   
h ,  
2
Ri 
Relazione tra Area Efficace e Guadagno

2
G  ,   
h ,  
2
Ri 
ricordando la relazione tra guadagno ed altezza efficace
A
h
2
4 Ri
si ottiene l’importantissima relazione
G ,   4
 2
A ,   
Implicazioni: Il collegamento radio
Problema fondamentale: calcolo della potenza ricevuta Pr
dall’antenna ricevente quando sia nota la potenza trasmessa
dalla trasmittente Pt
Soluzione: formula del collegamento
 r , r
 t , t
Antenna ricevente
Antenna trasmittente
Sia il guadagno dell’antenna trasmittente all’angolo con cui vede
l’antenna ricevente
G  ,
t

t
t

La densità di potenza che incide sull’antenna ricevente è quindi
S
Pt
4r
2
Gt  t , t 
Implicazioni: Il collegamento radio
Sia l’area efficace dell’antenna ricevente all’angolo con cui vede
l’antenna trasmittente A  , 
r

r
r

La potenza trasferita ad un carico adattato (in adattamento di
polarizzazione) sarà
2
 

Pr 
GA
 Gt Gr
2 t r  Pt 
4r
 4r 
Pt
Nel caso più generale in cui il collegamento non sia nello spazio
libero, di introduce un fattore di attenuazione F
2
  
2
Pr  Pt 
 Gt Gr F
 4r 
Antenne filiformi: sottile rettilinea
z
P
+L
'
dz

-L
r'
r
Useremo la sovrapposizione degli effetti
immaginando che l’antenna sia la
sovrapposizione di tanti dipoli elementari di
lunghezza dz: il campo lontano risulta quindi
dalla sovrapposizione di
I ( z )dz
e  jkr '
dE '  j
sin '
u '
2
r'
supporremo di essere in campo lontano, cioè
r
2d 2


2(2 L) 2

ed utilizziamo le approssimazioni introdotte all’inizio della lezione
Antenne filiformi: sottile rettilinea
ovvero
z
P
+L
'
r  r'  r Nel denominatore
r'
dz
r

r  r'  r  z cosJ
-L
Nell’esponenziale
denominatore
Infine considereremo il vettore r circa parallelo ad r’ (e
quindi J circa J’)
I ( z)
e  jk ( r  z cos )
E   dE   j
sin
u dz
2
r
2L
L
L
Quindi
1
e  jr L
jkz cos
E  j
sin
I
(
z
)
e
dz

2
r L
H 
E

Antenne filiformi: sottile rettilinea
z
P
+L
'
r'
dz
Non sarebbe cambiato nulla: infatti
r

Se avessimo usato l’espressione approssimata
per il potenziale vettore?
 e  jkr
jk r 'u r 
A 
J
(
r
'
)
e
dV '

r 
4 r V '
-L
 jkr
 e

u z  I ( z ' )e jkz'cosJ dz'
4 r
L
L
Ricordando
A   Az sin

e  jkr L
jkz 'cos
E   j[ A u ]  j
sin
I
(
z
'
)
e
dz'u

2
r L
..come prima...
Antenne filiformi: Osservazioni
Possiamo definire, come fatto nel caso delle onde piane
k cos  k z
E riscrivere (visto che la corrente è non nulla solo
sull’antenna)

e  jkr 
jkz z '
E j
sin
I
(
z
'
)
e
dz'u

2
r 
E l’integrale risulta fondamentalmente una trasformata di
Fourier della corrente: quindi il campo lontano è legato alla
trasformata di Fourier della corrente
Antenne filiformi: Equazione Integrale di Hallen
Come determinare la corrente? Bisogna far riferimento al
meccanismo con cui alimenteremo l’antenna
Immaginiamo di avere un generatore di tensione bilanciato,
e di applicare tale tensione ad un taglio infinitesimo
dell’antenna
Per quel che abbiamo detto parlando dell’altezza efficace, il
campo elettrico applicato sarà
E  V ( z)u z
z
i
l
Ipotizziamo poi, di nuovo, l’antenna sottile,
ovvero con rapporto 2l/a>150
In particolare, si è soliti introdurre un parametrol
definito parametro di “snellezza” W  2 ln 2l
a
che per un’antenna sottile deve essere maggiore
di 10
V
2a
Antenne filiformi: Equazione Integrale di Hallen
In tali condizioni, potremo considerare tutta la corrente
concentrata sull’asse del cilindro
Imponendo che il campo elettrico tangenziale sia nullo
tranne che nel gap, dove vale quanto assegnato, si ottiene
una equazione integrale (in cui la corrente è sotto il segno
di integrale)
Nell’ipotesi di antenna sottile (quindi anche il potenziale
vettore orientato solo lungo z) ed usando le approssimazioni
di campo lontano per il potenziale vettore, si ottiene una
versione particolare dell’equazione integrale, equazione
integrale di Hallen
La soluzione (approssimata) di tale equazione fornisce per
la corrente
con
2V0
sink (l  z )
2V0 sink (l  z )
I

I
(
0
)

j
tgL
I ( z)  j
 I0
0
W
W
cos kL
sinkL
Antenne filiformi: Equazione Integrale di Hallen
Si noti che l’impedenza di ingresso dell’antenna verrebbe
V0
W
Zi 
  j
cot kL
I0
2
puramente immaginaria! Come se non irradiasse
del resto appare come l’impedenza di ingresso di un tratto di
linea in circuito aperto con impedenza caratteristica
W
Z0 
2
Questo avviene perché nell’equazione di Hallen abbiamo
usato le formule per il campo lontano, ed il risultato è
un’approx accettabile per il campo lontano ma non per
l’impedenza di ingresso
Schematizzazione di un’antenna
Del resto possiamo immaginare
l’antenna come limite di una linea di
trasmissione in circuito aperto
fin tanto che i due conduttori sono
vicini, l’effetto delle correnti
all’esterno si cancella
quando i conduttori si allontanano
del campo viene irradiato, ma la
distribuzione di corrente rimane
simile (sinusoidale)