Geometria 2
GRANDEZZE OMOGENEE
GRANDEZZE COMMENSURABILI E INCOMMENSURABILI
PROPORZIONALITA’
TEOREMA DI TALETE
RELAZIONE FRA I LATI DEI POLIGONI REGOLARI E I RAGGI DEI CERCHI
CIRCOSCRITTI.
il raggio del cerchio inscritto in un triangolo equilatero.
raggio del cerchio inscritto in un triangolo qualsiasi conoscendo i lati.
RETTA PARALLELA A UN LATO DI UN TRIANGOLO
Il teorema della bisettrice
TRIANGOLI RETTANGOLI CON ANGOLI DI 60° E 30°
TRIANGOLI RETTANGOLI CON ANGOLI DI 60° E 30°
RAGGIO DEL CERCHIO INSCRITTO IN UN TRIANGOLO
RAGGIO DEL CERCHIO CIRCOSCRITTO AD UN TRIANGOLO
ESERCIZI
SIMILITUDINE
TEOREMA DELLE CORDE
TEOREMA DELLE SECANTI
RAGGIO DEL CERCHIO CIRCOSCRITTO AD UN TRIANGOLO
PROBLEMI
0
OA > r ESTERNA
OA =r TANGENTE
OA < r INTERNA
r
A
A
O
R
R’
V
OV > R+R’
OV =R+R’
OV=R-R’
OV <R-R’
ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA E ANGOLI
AL CENTRO
=2
o
TEOREMA: L’ANGLO AL CENTRO E’
SEMPRE IL DOPPIO DELL’ANGOLO ALLA
CIRCONFERENZA CHE INSISTE SULLO
STESSO ARCO
ω+ ß= 2(1+ α)
ß = (ω+ ß) – ω=
A
2(1+ α)- 2 (1)=2(1)
+2 α -2(1)= 2 α
α
1
O
ω
D
ß
1+α
1
1° CASO
C
B
L’ANGOLO α E L’ANGOLO ß SONO
A
COMPLEMENTARI DELLO STESSO
ANGOLO ω
α
ω
QUINDI ß=α
BOA=2ß=
=2 α
O
ß
ß
2° CASO
B
C
ESSENDO ß ANGOLO ESTERNO AL TRIANGOLO OAB
RISULTA
ß= α+α = 2α
A
α
0
ß
α
B
Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo
rettangolo.
Infatti l’angolo alla circonferenza α è la
metà del corrispondente angolo al
centro ß che è piatto
α
ß
COROLLARIO
In geometria si opera con tre tipi di entità matematiche:
•Le figure
•Le grandezze
•I numeri
Si dice CLASSE DI GRANDEZZE GEOMETRICHE un insieme G in cui si possa
definire:
Un confronto , cioè si deve poter dire: se a<b, a=b, a>b;
Una operazione, detta addizione,secondo la quale per ogni a,b appartenente a G,
esiste un elemento c appartenente a G tale che g=a+b; l’operazione deve godere
della proprietà associativa, commutativa e possedere l’elemento neutro.
Una classe di grandezze può essere quella dei segmenti .Essi sono sono enti
geometrici della stessa specie per i quali è possibile stabilire un criterio di confronto e
stabilire se sono uguali o disuguali ed è possibile stabilire l’operazione di addizione.
Similmente è possibile stabilire un criterio di confronto per due angoli.
Non è possibile invece stabilire un confrontro tra angoli
e segmenti.
Si dice che i segmenti costituiscono una classe
di grandezze
geometriche omogenee, così come pure gli angoli.
Invece i segmenti e gli angoli sono grandezze eterogenee.
Per le grandezze omogenee valgono le seguenti proprietà:
Ogni grandezza è uguale a se stessa ( riflessiva)
Se una grandezza A è uguale ad una grandezza B, allora B=A (simmetrica)
Due grandezze uguali ad una terza sono uguali tra loro ( transitiva)
•SE A>B e B>C allora A>C ( transitiva della disuguaglianza)
•Date A e B si verifica sempre uno dei seguenti casi:
•A=B, A<B, A>B;
•La somma di due o più grandezze non cambia se si cambia l’ordine di esse
(commutativa);
•La somma di più grandezze non cambia se a due o più di esse si sostituisce la loro
somma ( associativa);
•Somme di grandezze uguali sono uguali;
•Differenze di grandezze uguali sono uguali;
MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI
Data una grandezza B ed un numero naturale m, la grandezza A somma di m grandezze
tutte uguali a B si dice multipla di B secondo m e si scrive
A=mB.
E si dice pure che B è sottomultipla di A secondo m e si scrive B=A 1
m
A
Nell’esempio A=8 B
B
POSTULATO DI DIVISIBILITA’: E’ POSSIBILE DIVIDERE OGNI
GRANDEZZA IN N PARTI UGUALI CON N NUMERO NATURALE
QUALUNQUE DIVERSO DA ZERO.
GRANDEZZE COMMENSURABILI
Consideriamo due coppie di segmenti.
La prima composta dai segmenti a e b tali che a=3b
a
b
La seconda composta da c e d tali che c =3s e d=4s
Da queste si deduce c=3/4 s
c
s
d
Nei due casi esiste un terzo segmento che è contenuto un numero intero di volte in
ognuna delle coppie.
Nel primo caso questo segmento è b che è contenuto 3 volte in a e una volta in b; nel
secondo caso il segmento s è contenuto 3 volte in c e 4 volte in d. I segmenti a e b e così
pure c e d ammettono un sottomultiplo comune o una comune misura.
Diremo che le coppie a e b e c e d sono commensurabili.
In generale : due grandezze omogenee si dicono commensurabili quando ammettono
una grandezza sottomultipla comune; cioè quando esiste una terza grandezza,
omogenea con le prime due, che è contenuta un numero intero di volte in ciascuna di
esse.
A = m/n B; oppure
A/B= m/n
Il rapporto m/n di due grandezze commensurabili è un numero
razionale ( numero intero , numero decimale limitato, decimale
illimitato periodico)
Grandezze incommensurabili
Due grandezze si dicono incommensurabili se non ammettono una
sottomultipla comune.
Il rapporto tra due grandezze incommensurabili è un numero
irrazionale ( numero decimale illimitato non periodico)
I NUMERI RAZIONALI ED I NUMERI IRRAZIONALI SI DICONO
NUMERI REALI.
Dicesi misura di una grandezza A rispetto ad un’altra U omogenea con A, il numero
reale a che esprime il rapporta A/U =a
Quindi A= a U; se U è l’unità di misura (per es. 1 mt ) allora
A=a mt.
Sono grandezze incommensurabili la diagonale
di un quadrato ed un
suo lato
Così pure
Il lato e l’altezza di un triangolo equilatero
Il lato e l’apotema dell’esagono regolare
La circonferenza ed il suo raggio
ESERCIZIO:
1.
Verifica che il rapporto fra il lato e l’altezza di un triangolo equilatero è il
numero irrazionale . 2 3
3
Verifica
Classi di grandezze e proporzionalità
QUATTRO GRANDEZZE A, B, C, D, DI cui LE PRIME DUE OMOGENEE TRA
LORO COSì COME LA TERZA E QUARTA, SI DICONO IN PROPORZIONE SE
A:B=C:D
CONSEGUENTI
ANTECEDENTI
MEDI
Corrispondenza fra grandezze
Consideriamo l’insieme delle province italiane e dei capoluoghi di provincia.
Possiamo affermare che tra i due insiemi vi è una corrIspondenza BIUNIVOCA
perché ad ogni elemento del primo insieme corrisponde un elemento del
secondo e viceversa.
Non è così se consideriamo per esempio l’insieme delle auto e le ditte
costruttrici-Alla ditta corrispondono più auto, ma ad una auto corrsponde una
sola ditta .
Consideriamo due classi di grandezze
A1, B1, C1, D1,…….
Fiat
Mercedes
Opel
Nissan
A2,B2,C2,D2,….
Diremo che fra le due classi esiste una corrispondenza biunivoca se esiste un
legge che fa corrispondere ad ogni grandezza della prima classe una
grandezza della seconda classe.
CLASSI DI GRANDEZZE DIRETTAMENTE
PROPORZIONALI
Consideriamo la legge che esprime lo spazio percorso da un mobile che ha una
certa velocità V e il tempo impiegato a percorrere quello spazio.
t
s
10
20
15
30
40
80
50
100
Come si vede all’aumentare del tempo , aumenta lo spazio percorso. Inoltre il
rapporto tra due grandezze della prima classe è uguale al rapporto tra le
grandezze della seconda classe. Quando si verifica ciò si dice che le due classi di
grandezze sono direttamente proporzionali.
Questo rapporto si chiama COEFFICIENTE o costante di
proporzionalità.
Se indichiamo con X e Y le misure di due grandezze corrispondenti
delle due classi si ha Y=KX
Altro esempio : se all’estremità di una molla attacchiamo un peso,
l’allungamento sarà proporzionale al peso .
Quando invece il rapporto tra due grandezze della prima classe è inverso al
rapporto tra le corrispondenti dell’altra classe e si scrive XY=K
Esempio: la pressione esercitata su di un cilindro pieno di gas. Più alta è la
pressione è più il volume diminuisce.
Se si aumenta una grandezza, l’altra diminuisce.
IL CRITERIO DELLA PROPORZIONALITA’ DIRETTA.
Consideriamo due insiemi A e B , ciascuno di grandezze omogenee, fra i quali
esiste una corrispondenza biunivoca.
A e B sono insiemi di grandezze direttamente proprorzionali se:
•a grandezze uguali in A corrispondono grandezze uguali in B;
•alla somma di due grandezze di A corrisponde la somma delle due grandezze
cosrrispondenti in B.
Es. due rettangoli R1 e R2 di uguale altezza, e le basi b1 e b2.
Se R1=R2 allora
R1
b1
R2
R1
b1=b2 (hanno la stessa altezza)
R2
b2
SE consideriamo R1+R2
Allora corrisponderà b1+b2
Il che si esprime brevemente dicendo che : condizione necessaria e sufficiente
affinchè due classi di grandezze, in corrispondenza biunivoca, siano direttamente
proporzionali, è che la corrispondenza conservi l’uguaglianza e la somma.
Altro esempio di proporzionalità è il seguente:
In una stessa circonferenza gli archi sono direttamente proporzionali
ai corrispondenti angoli al centro.
Se l=m allora 1=2
l
Alla somma l+m corrsponde la
somma 1+2
1
2
m
Teorema di Talete
Un fascio di rette parallele determina sopra due trasversali due classi di segmenti
proporzionali.
r
A
B
s
A’
a
B’
C
b
C’
c
d
D
D’
TESI: AB :CD = A’B’ : C’D’
Ricordando il teorema sul fascio di rette parallele se AB=CD allora A’B’=C’D’ e quindi
Ad AB+CD corrisponderà A’B’+C’D’. Quindi si sono verificate le condizioni per la
proporzionalità diretta viste nella scheda precedente.
Questo teorema possiamo anche dimostrarlo in questo modo:
A
B
A’
B’
C
C’
D
D’
Supponiamo che AB e CD siano commensurabili e che sia possibile
trovare un segmento che entri un numero di m volte in AB e n volte in
CD.Quindi AB/CD = m/n
Sappiamo da un teorema precedente che a segmenti uguali su una trasversale
corrispondono segmenti uguali sull’altra trasversale.Quindi anche A’B’ e C’D’
risulteranno divisi in n e m parti.Quindi A’B’/C’D’= m/n
In definitiva risulterà AB/CD =A’B’/C’D’.
RETTA PARALLELA A UN LATO DI UN TRIANGOLO
Una retta parallela a un lato di un triangolo divide gli altri due lati ,o i loro
prolungamenti, in segmenti proporzionali.
A
D
E
AD : DB = AE : EC
C
B
Tracciamo due rette parallele a DE passanti per a e per BC
Avremo così un fascio di rette parrallele tagliate dalle trasversali AB e AC . Quindi
per il teorema di Talete possiamo scrivere la proporzione
AD : DB = AE : AC
Il teorema della bisettrice (angolo interno)
In un triangolo ,la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti
direttamente propozionali agli altri due lati.
A
1
E
1
D
2
B
2
C
CE : AE = BC : AB
Prolunghiamo il lato BC
Mandiamo per A una parallela alla bisettrice BE e si indichi con D il punto di intersezione
con tale prolungamento.
I due angoli alla base del triangolo ABD sono rispettivamente isometrici a 1 e 2 ( angoli
alterni interni e corrispondenti) e quindi isometrici tra loro ( ricordare che BE è la
bisettrice quindi 1 =2).
continua
A
1
E
1
2
B
D
CE : AE = BC : AB
Per il teorema di Talete
CE : AE = BC : BD
Ma BD = AB, quindi sostituendo
CE : AE : = BC : AB
2
C
TEOREMA DELLA BISETTRICE DELL’ANGOLO ESTERNO
Se la bisettrice di un angolo
esterno di un triangolo incontra
il prolungamento del lato
opposto, le distanze del punto di
incontro delle estermità di tale
lato sono proporzionali agli altri
due lati.
M
A 1
1
2
2
B
C
Dobbiamo dimostrare che : BD : CD = AB : AC
Tracciando la parallela ad AC per C otteniamo un fascio di rette parallele e
quindi per il teorema di Talete: BC : CD = BM :MA
Per la proprietà del componendo : (BC+CD): CD= (BM+MA) : MA
Quindi BD : CD= AB : AM
Ma AM=AC perché l’angolo 2=1 e quindi il triangolo MAC è isoscele.
Sostituendo si dimostra il teorema.
D
Consideriamo un esagono regolare inscritto in una circonferenza
A
r
O
1
r
B
L’ANGOLO 1 è LA SESTA PARTE DELL’ANGOLO GIRO, QUINDI è DI 60°.Il
triangolo OAB è isoscele perché i lati sono uguali al raggio. Quindi gli angli alla
base sono di 60°. Pertanto il triangolo, avendo glia angoli congruenti, è equilatero.
AB= r
RELAZIONE FRA I LATI DEI POLIGONI REGOLARI E I RAGGI DEI CERCHI
CIRCOSCRITTI.
A
Sia l la misura del lato del triangolo equilatero
inscritto nella circonferenza di raggio r.
L’altezza AH dimezza la corda BC. Il
triangolo ACD è rettangolo.Quindi per il
teorema di Pitagora:
H
B
C
D
2
2
2
2
l = AD - DC
l = 4r - r
l=r 3
Da cui r = l
/
diventa
3
l
3
3
che razionalizzato
2
2
= 3r
2
Vediamo ora il raggio del cerchio inscritto in
un triangolo equilatero.
A
Sappiamo che r =1/3 AH =1/3 h
L
r
Ma h= L
P
2
r
B
Quindi r = L
H
3
6
3
dal teorema di Pitagora
applicato al triangolo AHC
C
Vediamo ora come si ricava il raggio del
cerchio inscritto in un triangolo qualsiasi
conoscendo i lati.
c
a
R
R
R
b
Il triangolo viene diviso in tre triangoli interni di cui i lati sono
le basi e i raggi sono le altezze.Quindi l’area S del triangolo
risulta la somma dei tre triangoli che chiamiamo S1 ,S2 e
S3.Quindi S = aR + bR + cR = R * a+b+c
=Rp
2
Dove p = semiperimetro.
2
2
Quindi R = S/p
2
TRIANGOLI RETTANGOLI CON ANGOLI DI 60° E 30°
Per il teorema di Pitagora
L
h=
l 2
3 2 1
l ( )
l l 3
2
4
2
2
h
60°
L/2
Si tenga presente che se gli angoli sono di 60° il triangolo è equilatero
e quindi nel triangolo rettangolo vi è un angolo di 30° ed uno di 60°
ESERCIZIO
C
A
13
36
B
DATO IL TRIANGOLO RETTANGOLO IN C CALCOLARE IL
PRERIMETRO SENZA USARE IL TEOREMA DI PITAGORA
APPLICARE I TEOREMI DI EUCLIDE
ESERCIZIO N. 2
IN UN TRIANGOLO RETTANGOLO LA PROIEZIONE DI UN CATETO
SULL’IPOTENUSA è 4/9 DEL CATETO STESSO, MENTRE LA
PROIEZIONE DELL’ALTRO CATETO HA LUNGHEZZA 65 CM.
DETERMINARE IL PERIMETRO DELTRIANGIOLO
C
A
H
B
AH= 4/9 AC
PONIAMO AH= 4x
E AC= 9x
………………………………..
A
C
O
B
Dimostrare che il segmento di tangenza AB è diviso dal
punto di tangenza C in modo che il raggio OC è medio
proporzionale fra i due segmenti.
A
C
1
2
O
3
4
B
1=2
; 3=4 ( dire perché)
1+2+3+4 = angolo piatto
2+3 = retto
ABC è triangolo rettangolo
Il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo rettangolo è metà
dell’ipotenusa.
L A MEDIANA RELATIVA ALL’IPOTENUSA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO E’
METà DELL’IPOTENUSA
Un triangolo rettangolo è sempre inscritto in una semicirconferenza essendo un suo
angolo retto che deve essere metà dell’angolo al centro corrispondente.Quindi
l’ipotenusa coincide col diametro.
La mediana coincide col raggio ed è quindi la metà dell’ipotenusa.
CALCOLIAMO ORA IL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA INSCRITTA IN UN
TRIANGOLO QUALSIASI
b
a
r
r
r
c
L’area del triangolo è uguale alla somma delle aree dei tre triangoli le cui altezze
soni i raggi del cerchio.Quindi
S= ½ a r + ½ b r + ½ c r = r ( a+b+c) = r p
2
dove p è il semiperimetro.
L’area del triangolo è possibile calcolarla con la formula di ERONE che ci
permette di calcolare l’area noti i lati:
S =
p(p-a) (p-b) (p-c)
Dove p è il semiperimetro.
SIMILITUDINE
In due triangoli simili le altezze stanno tra loro come due lati omologhi
A
B
A’
H
C
B’
H’
C’
Ipotesi : ABC simile a A’B’C’
Tesi : AH:A’H’ = AB : A’B’
I due triangoli ABH e A’B’H’ sono simili perché hanno un angolo retto
congruente, l’amgolo B congruente per ipotesi, il terzo angolo
congruente per differenza.
Dalla similitudine dei due triangoli deriva la tesi.
TEOREMA DELLE CORDE
C
A
E
B
Se per un punto interno ad una
circonferenza si conducono due corde,
tale punto le divide in modo che le due
parti di una corda sono i medi e le due
parti dell’altra gli estremi di una
proporzione.
D
Quindi: AE : DE = CE : EB
Consideriamo i due triangoli ADE e CBE ; essi hanno l’angolo in D e l’angolo in
B congruenti perché insistono sullo stesso arco AC
L’angolo in A e l’angolo in C congruenti perché insiston sullo stesso arco DB
Quindi i due triangoli sono simili per il I criterio di similitudine e pertanto vale la
proporzione .
TEOREMA DELLE SECANTI
A
B
P
C
D
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti,
una delle secanti e la sua parte esterna sono i medi, l’altra secante e la sua
parte esterna sono gli estremi di una proporzione.
Quindi PA : PD = PC : PB
Congiungendo A con C e B con D si ottengono due triangoli PAC e PBD. Essi
sono simili perché hanno P in comune.
Ae D congruenti perché isnistono sullo stesso arco BC
Quindi vale la proporzione
RAGGIO DEL CERCHIO CIRCOSCRITTO AD UN TRIANGOLO
A
ANGOLO
RETTO
ANGOLO
b
c
RETTO
o
h
B
a
I due triangoli ABD e AHC
sono simili
H
C
D
L’angolo in C e l’angolo in D sono isometrici perché insistono sullo stesso arco.
Quindi DA : AC = AB : AH
----
2R : b = c : h ------
R = b c / 2h
Moltiplicando ambo i membri per a si ottiene : R = abc / 2ah = abc / 4S
Dove S è l’area del triangolo .
RISOLVERE I SEGUENTI PROBLEMI
• In un trapezio isoscele la somma del
doppio della base minore con il triplo di
uno dei lati obliqui è m 18, il perimetro è m
20 e ciascuno dei prolungamenti dei lati
obliqui è m 2. Determinare la base minore
e il lato obliquo.
R= m 3; m 4
• Determinare il raggio del cerchio inscritto
in un triangolo isoscele avente il perimetro
e la base uguali a cm 54 e cm 15.
R= cm 5
• La base di un triangolo isoscele è cm 216
e la somma del lato obliquo e dell’altezza
relativa alla base è di cm 324. Calcolare il
rapporto del triangolo al cerchio inscritto.
R= 16/ (3 Π)
• Il lato di un triangolo isoscele misura cm
60 e la semibase cm 36;trovare la
lunghezza del raggio del cerchio
circoscritto al triangolo.
C
x
• In un triangolo rettangolo i cateti misurano
cm 36 e cm 48; trovare la misura del lato
del quadrato inscritto nel triangolo avente
due latri sui cateti.
C
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ACH si
ha:
2
2
2
AC AH CH
Ma AH= ½ AC quindi
A
H
B
CH 2 AC2 AH 2 AC2
3
AC2
4
AC2
4
2
CH
3
AC
4
2
2 3
CH
3
3
3
1
AC2
4
Problema
In un trapezio isoscele la base maggiore è lunga 50 cm e la base
minore 30 cm; gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 60°;
calcolare l’area e il perimetro del trapezio.
Soluzione
b
L
H
B-b
2
B
B=50, b=30
B-b= 20
(B-b)/2=10
L=20 (proprietà dei triangoli equilateri
H=(L/2)
