Gli angoli
Prof. Daniele Baldissin
Definizione di angolo
Consideriamo un
piano α e due
semirette a e b aventi
un’origine in comune
B
Si definisce angolo
ciascuna delle parti
in cui il piano
risulta suddiviso
dalle due semirette
Elementi di un angolo
Consideriamo
l’angolo mostrato in
figura
Definiamo vertice il
punto di origine delle
due semirette
a e b sono i lati
dell’angolo
α è l’ampiezza dell’angolo ed è l’unica
dimensione che lo caratterizza
Angoli concavi e convessi
Dalla definizione di piano emerge chiaramente
che 2 semirette aventi un origine in comune
formano 2 angoli perché il piano viene diviso in
due parti
Definiamo
convesso l’angolo
che non contiene
il prolungamento
dei sui lati cioè
l’angolo a
Definiamo concavo l’angolo che contiene
prolungamento dei sui lati cioè l’angolo b
il
Angoli consecutivi
L’italiano ci dovrebbe
venire in soccorso quando
parliamo di angoli
consecutivi
Cosa significa consecutivo?
Una cosa è consecutiva ad
un’altra quando la segue,
quando viene dopo, quando
abbiamo elementi che si
susseguono l'un l'altro
Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono
susseguirsi; ma come può avvenire questo?
Due angoli sono consecutivi quando hanno un
vertice ed un lato in comune
Angoli adiacenti
Si dicono adiacenti due angoli consecutivi e i
cui lati non comuni giacciono sulla stessa
retta
Angoli opposti al vertice
Analizziamo le parole opposti al vertice
Opposto è ciò che sta dall’altra parte rispetto a
qualche cosa; questo qualche cosa si comporta
come uno specchio
Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice
di un angolo
Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice
hanno il vertice in comune …. Ma ciò non basta
I due angoli che seguono hanno il vertice in
comune ma non sono opposti al vertice perché il
vertice, in questo caso, non si comporta come uno
specchio
NON SONO OPPOSTI AL VERTICE !!!
Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno il vertice in
comune e se i suoi lati si trovano uno sul prolungamento
dell’altro
Due angoli opposti al vertice sono congruenti a = b
Bisettrice
A’1
Consideriamo l’angolo AOA’1
Tracciamo una semiretta che ha
origine nel suo vertice e che lo
divide a metà
Tale retta prende il nome di
bisettrice
A’
O
A
Definiamo bisettrice la semiretta che partendo dal
suo vertice O divide l’angolo in due parti uguali
bisettrice
Confronto di angoli
Per confrontare due angoli basta
far coincidere un vertice e il lato
omologo e vedere cosa succede
Vediamo cosa dice il vocabolario
alla parola omologo: che è simile,
che corrisponde a un altro, che
ha caratteristiche identiche
Quindi i lati omologhi sono lati
che hanno la stessa funzione
come si può vedere nelle due
immagini qui a fianco in cui i lati
omologhi hanno lo stesso colore
Se sposto il lato O’A’ e lo faccio
coincidere con OA posso
confrontare i due angoli
Col confronto vedo se uno è
maggiore, minore od uguale
all’altro
Angolo maggiore di un altro
Consideriamo le due figure
precedenti
Com’è l’angolo AOB rispetto
all’angolo A’O’B’
Quando li sovrappongo vedo
che il lato c cade all’interno
dell’angolo AOB
In questo caso avremmo che l’angolo AOB > A’O’C
Un angolo è maggiore di un altro quando sovrapponendoli si ha che l’altro lato del
secondo angolo cade all’interno del primo
Angolo minore di un altro
Consideriamo i seguenti due
angoli AOB e A’O’C
Se li sovrapponiamo possiamo
facilmente costatare che il lato
c cade all’esterno del lato AOB
In questo caso avremmo che
AOB < A’O’C
Un angolo è minore di un altro quando sovrapponendoli si ha che
l’altro lato del secondo angolo cade all’esterno del primo
Angoli congruenti
Consideriamo i seguenti due
angoli AOB e A’O’C
Se li sovrapponiamo possiamo
facilmente costatare che il lato c
coincide col lato b
Perciò si ha che AOB = A’O’C
Un angolo è congruente ( cioè ha la stessa
ampiezza) di un altro quando sovrapponendoli si ha
che l’altro lato del secondo angolo coincide col suo
omologo del primo
Tipi di angoli
1.
2.
3.
4.
5.
Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3
notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa
di speciale o particolare)
Angolo
Angolo
Angolo
Angolo
Angolo
giro
piatto
retto
acuto
ottuso
Angolo giro
Cosa succede se i due lati dell’angolo
coincidono?
L’angolo convesso sarà nullo e quello
concavo avrà ampiezza massima
Chiamiamo questo angolo angolo giro
Angolo piatto
Definiamo Piatto l’angolo formato da
due semirette che sono una il
prolungamento dell’altra cioè che
giacciono sulla stessa retta
La sua ampiezza è la metà dell’angolo giro
Angolo Retto
Prendiamo un angolo piatto e tracciamo la sua bisettrice
Tale bisettrice divide l’angolo in due parti uguali
Definiamo retto ciascuno di questi angoli aventi ampiezza
pari alla metà dell’angolo piatto
Angoli acuti
Un angolo si dice acuto se la sua ampiezza è
minore di quella di un angolo retto
Angolo acuto
Angolo ottuso
Un angolo si dice ottuso se la sua ampiezza è maggiore
di un angolo retto
Somma di angoli
Sono dati due angoli AOB e
CKD
Per fare la somma di due
angoli faccio coincidere i
lati non omologhi e i due
vertici
Lati non omologhi: sono
lati che non occupano la
stessa posizione (colore
diverso)
AOD è la somma
fra l’angolo AOB
e l’angolo CKD
AOB + CKD = AOD
B
A
O
D
C
K
B
O
A
Differenza di angoli
Sono dati due angoli
AOB e CKD
Per fare la differenza di
due angoli faccio
coincidere i lati omologhi
e i due vertici
Lati omologhi: sono lati
che occupano la stessa
posizione (stesso colore
nella figura)
DOB è la differenza fra
l’angolo AOB e l’angolo
CKD
AOB – CKD = DOB
B
A
O
D
C
K
B
D
KO
C
A
Sottomultipli di angoli
Prendiamo l’angolo AOB e
dividiamolo in tre parti
uguali
Com’è l’angolo AOC
rispetto all’angolo AOB?
Sapendo che per
definizione l’angolo AOC è
contenuto 3 volte in AOB
come sarà questo angolo?
Se AOC è contenuto 3
volte in AOB sarà un suo
sottomultiplo
Quando un angolo è
sottomultiplo di un altro?
Un angolo è sottomultiplo di un altro quando vi è contenuto
un numero intero di volte
Multipli di un angolo
Quante volte AOB contiene
AOC?
Tre volte per definizione
(perché ho fatto l’operazione
di dividere l’angolo in tre parti
uguali e quindi l’ho definito in
partenza)
Come sarà AOB rispetto ad
AOC?
Sarà un suo multiplo
Quando un angolo è multiplo
di un altro?
Un angolo è multiplo
di un altro quando lo
contiene un numero
intero di volte
Α è multiplo di β perché lo
contiene n volte: β è sottomultiplo
di α perché è contenuto n volte in α
Angoli complementari
Consideriamo due
angoli AOB e CKD e
proviamo a sommare
questi due angoli
Dalla somma è uscito
un angolo retto
Due angoli si dicono complementari se la loro somma è
un angolo retto
Angoli supplementari
Consideriamo due
angoli AOB e CKD
e proviamo a
sommare questi
due angoli
Dalla somma è
uscito un angolo
piatto
Due angoli si dicono supplementari se la loro somma
è un angolo piatto
Angoli esplementari
Consideriamo due
angoli AOB e CKD e
proviamo a sommare
questi due angoli
Dalla loro somma uscirà
un angolo giro
Due Angoli si dicono esplementari se la loro somma è un
angolo giro
