Matematica e statistica Versione didascalica: parte 4 • • • Sito web del corso http://www.labmat.it Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste e-mail: [email protected] 2.10. Il problema inverso delle tangenti x f(x) = y'(x) ______________________ Il problema è ricostruire la funzione y(x) nota che sia la sua derivata f(x) Di y si conosce la pendenza della retta tangente al suo grafico nel punto di ascissa x, e da tutte queste informazioni vogliamo ricostruire i vari valori y(x). Per esempio possiamo conoscere le pendenze tabulate qui accanto. 2.10. bis 2.10. ter y '( x) f ( x) xk a (k 1) h k 1, 2,..., n, n 1 h Il problema è per x nell’intervallo [a, b] ma possiamo discretizzate tabulando (b a) / n y '( x1 ) f ( x1 ) y ( x2 ) y ( x1 ) h f ( x1 ) y '( x2 ) f ( x2 ) y ( x3 ) y ( x1 ) 2h f ( x2 ) y '( x3 ) f ( x3 ) y ( x4 ) y ( x2 ) 2h f ( x3 ) ....................... y '( xn ) f ( xn ) ....................... y ( xn 1 ) y ( xn 1 ) 2h f ( xn ) y '( xn 1 ) f ( xn 1 ) y ( xn 1 ) y ( xn ) h f ( xn 1 ) y ( x2 ) y ( x1 ) h f ( x1 ) y ( x3 ) y ( x1 ) 2h f ( x2 ) y ( x4 ) y ( x2 ) 2h f ( x3 ) y ( x5 ) y ( x3 ) 2h f ( x4 ) y ( x6 ) y ( x4 ) 2h f ( x5 ) Nel caso concreto n = 14 dell’esempio, sommiamo: ....................... y ( x14 ) y ( x12 ) 2h f ( x13 ) y ( x15 ) y ( x13 ) 2h f ( x14 ) y ( x15 ) y ( x14 ) h f ( x15 ) 2 y( x15 ) 2 y( x1 ) h f ( x1 ) 2h f ( x2 ) ... 2h f ( x14 ) h f ( x15 ) Nel caso generale: 2.10.1 La Formula di Torricelli Sommando e semplificando: 2 y( xn 1 ) 2 y( x1 ) h f ( x1 ) 2 f ( x2 ) 2 f ( x3 ) ... 2 f ( xn ) f ( xn 1 ) y ( xn 1 ) y( x1 ) h { 12 f1 [ f 2 ... f n ] 12 f n 1} Tn Formula di Torricelli b y(b) y(a) y '( x)dx a 2.10.2 Calcolo esatto di integrali (Prima conseguenza della Formula di Torricelli; y'(x) = f(x) ) Se si “indovina” una funzione y(x) tale che y'(x) = f(x) (una antiderivata – o primitiva – della funzione f(x) ) si ha b f ( x)dx y(b) y(a) a Si usa per brevità la notazione b a f ( x)dx y( x) |xxba dF ( x) f ( x) • Supponiamo che F sia una antiderivata di f, ossia dx per cui b f ( x)dx F (b) F (a) a • Supponiamo che G sia una antiderivata di g, ossia dG ( x) g ( x) dx per cui b a g ( x)dx G(b) G(a) • Allora d ( F G ) ( x) dF ( x) dG ( x) f ( x) g ( x) dx dx dx per cui F + G è una antiderivata di f + g e si ha b { f ( x) g ( x)}dx {F (b) G(b)} {F (a) G(a)} F (b) F (a) G (b) G (a) f ( x)dx g ( x)dx a b b a a dF ( x) f ( x) • Supponiamo che F sia una antiderivata di f, ossia dx per cui b a f ( x)dx F (b) F (a) • Supponiamo che sia una costante • Allora d ( F ) dF ( x) ( x) f ( x) dx dx per cui F è una antiderivata di f e si ha b { f ( x)}dx F (b) F (a) ( F (b) F (a)) f ( x)dx a b a Integrale indefinito Simbolicamente per indicare il problema di trovare una antiderivata y(x) della funzione f(x) si scrive talvolta f ( x)dx ? Se y(x) è un’antiderivata, anche y(x) +C lo è (C costante). Si usa per brevità la notazione f ( x)dx y( x) C Esempi 1. Il Problema di Archimede (calcolo esatto) 1 0 4 x(1 x)dx 2 x x 2 4 3 3 | x 1 x 0 2 43 2 3 2. L’area del seno (calcolo esatto) 0 sin( x)dx cos( x) | x x 0 1 (1) 2 3. L’area del ... (calcolo esatto ?) 1 dx tan 1 ( x) |xx 10 tan 1 (1) tan 1 (0) 4 1 2 0 1 x 4 1 1 2 0 1 x dx 2.10.3. Calcolo di integrali indefiniti 1. RELAX 2. Calcolo Algebrico Simbolico (Mathematica, Maple, Derive,..., TI-89 e sup.). Esempio: 3. 4. Conoscere le “primitive immediate” (quelle delle tabelle di derivazione lette al contrario) 2.10.4. Soluzione del problema inverso (Seconda conseguenza della Formula di Torricelli: y'(x) = f(x) ) b x a a y (b) y (a) y '( x)dx y ( x) y (a ) f (u )du f ( x) y '( x) d dx x a d dx y (a ) x a f (u )du f (u )du f ( x) x y '( x) f ( x) y ( x) C f (u )du 0 y (0) C d dx x a f (u )du Esempio e y '( x) y(0) 0 1 2 x2 / 2 y ( x) 1 2 x 0 e u 2 / 2 du La curva a campana di Gauss f ( x) f ( x; , ) 1 2 1 2 e x2 / 2 e ( x )2 / 2 2 K.F. Gauss (1777-1855) e la curva a campana nella banconota da 10 DM del 1991. La funzione f ( x) è data. 1 2 e x2 / 2 La incognita y ( x) è calcolata usando la regola dei trapezi. f ( x ) è la derivata di y ( x) y ( x) è una primitiva di f ( x) 2.11.a. Estensione del concetto di integrale Funzione integranda che cambia segno b a f ( x)dx = area( ) - area( ) 2.11.b. Estensione del concetto di integrale Inversione degli estremi di integrazione Se a > b, integrare da a a b significa muoversi sull’asse X all’indietro, ossia con un passo h = (b-a)/n negativo nelle formule di calcolo numerico. Quindi si pone: b a a f ( x)dx f ( x)dx b A.Valore medio Valore medio di una funzione f(x) nell’intervallo [a, b] f 1 b a b a f (u)du Media mobile ( x) 1 2 x x f (u)du B. Data smoothing Media mobile ( x) 1 2 x x f (u)du f ( x) ( x) ε = 0.5