x - Dipartimento di Matematica e Informatica

Matematica e statistica
Versione didascalica: parte 4
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Sito web del corso
http://www.labmat.it
Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste
e-mail: [email protected]
2.10. Il problema inverso delle tangenti
x
f(x) = y'(x)
______________________
Il problema è ricostruire la funzione
y(x) nota che sia la sua derivata f(x)
Di y si conosce la pendenza della
retta tangente al suo grafico
nel punto di ascissa x, e da tutte
queste informazioni vogliamo
ricostruire i vari valori y(x).
Per esempio possiamo conoscere le
pendenze tabulate qui accanto.
2.10. bis
2.10. ter
y '( x)  f ( x)
xk  a  (k  1)  h
k  1, 2,..., n, n  1
h
Il problema è per x nell’intervallo [a, b]
ma possiamo discretizzate tabulando
(b  a) / n
y '( x1 )  f ( x1 )
y ( x2 )  y ( x1 )  h  f ( x1 )
y '( x2 )  f ( x2 )
y ( x3 )  y ( x1 )  2h  f ( x2 )
y '( x3 )  f ( x3 )
y ( x4 )  y ( x2 )  2h  f ( x3 )
.......................
y '( xn )  f ( xn )
.......................
y ( xn 1 )  y ( xn 1 )  2h  f ( xn )
y '( xn 1 )  f ( xn 1 )
y ( xn 1 )  y ( xn )  h  f ( xn 1 )
y ( x2 )  y ( x1 )  h  f ( x1 )
y ( x3 )  y ( x1 )  2h  f ( x2 )
y ( x4 )  y ( x2 )  2h  f ( x3 )
y ( x5 )  y ( x3 )  2h  f ( x4 )
y ( x6 )  y ( x4 )  2h  f ( x5 )
Nel caso concreto n = 14
dell’esempio, sommiamo:
.......................
y ( x14 )  y ( x12 )  2h  f ( x13 )
y ( x15 )  y ( x13 )  2h  f ( x14 )
y ( x15 )  y ( x14 )  h  f ( x15 )
2 y( x15 )  2 y( x1 )  h  f ( x1 )  2h  f ( x2 )  ...  2h  f ( x14 )  h  f ( x15 )
Nel caso generale:
2.10.1 La Formula di Torricelli
Sommando e semplificando:
2 y( xn 1 )  2 y( x1 )
 h   f ( x1 )  2  f ( x2 )  2  f ( x3 )  ...  2  f ( xn )  f ( xn 1 )
 y ( xn 1 )  y( x1 )  h { 12 f1  [ f 2  ...  f n ]  12 f n 1}  Tn
Formula di Torricelli
b
y(b)  y(a)   y '( x)dx
a
2.10.2 Calcolo esatto di integrali
(Prima conseguenza della Formula di Torricelli; y'(x) = f(x) )
Se si “indovina” una funzione y(x) tale che y'(x) = f(x)
(una antiderivata – o primitiva – della funzione f(x) )
si ha

b
f ( x)dx  y(b)  y(a)
a
Si usa per brevità la notazione

b
a
f ( x)dx  y( x) |xxba
dF
( x)  f ( x)
• Supponiamo che F sia una antiderivata di f, ossia
dx
per cui

b
f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
• Supponiamo che G sia una antiderivata di g, ossia dG ( x)  g ( x)
dx
per cui

b
a
g ( x)dx  G(b)  G(a)
• Allora d ( F  G ) ( x)  dF ( x)  dG ( x)  f ( x)  g ( x)
dx
dx
dx
per cui F + G è una antiderivata di f + g e si ha
b
 { f ( x)  g ( x)}dx  {F (b)  G(b)}  {F (a)  G(a)}
 F (b)  F (a)  G (b)  G (a)   f ( x)dx   g ( x)dx
a
b
b
a
a
dF
( x)  f ( x)
• Supponiamo che F sia una antiderivata di f, ossia
dx
per cui

b
a
f ( x)dx  F (b)  F (a)
• Supponiamo che  sia una costante
• Allora
d ( F )
dF
( x)  
( x)   f ( x)
dx
dx
per cui  F è una antiderivata di f e si ha
b
 { f ( x)}dx   F (b)   F (a)
  ( F (b)  F (a))    f ( x)dx
a
b
a
Integrale indefinito
Simbolicamente per indicare il problema di trovare una
antiderivata y(x) della funzione f(x) si scrive talvolta
 f ( x)dx  ?
Se y(x) è un’antiderivata, anche y(x) +C lo è (C costante).
Si usa per brevità la notazione
 f ( x)dx  y( x)  C
Esempi
1. Il Problema di Archimede (calcolo esatto)

1
0

4 x(1  x)dx  2 x  x
2
4
3
3
|
x 1
x 0
 2  43  2 3
2. L’area del seno (calcolo esatto)


0
sin( x)dx   cos( x) |
x 
x 0
 1  (1)  2
3. L’area del ... (calcolo esatto ?)

1
dx  tan 1 ( x) |xx 10  tan 1 (1)  tan 1 (0)   4
1
2
0 1 x
  4
1
1
2
0 1 x
dx
2.10.3. Calcolo di integrali indefiniti
1. RELAX
2. Calcolo Algebrico Simbolico (Mathematica, Maple,
Derive,..., TI-89 e sup.). Esempio:
3.
4. Conoscere le “primitive immediate” (quelle delle tabelle di
derivazione lette al contrario)
2.10.4. Soluzione del problema inverso
(Seconda conseguenza della Formula di Torricelli: y'(x) = f(x) )
b
x
a
a
y (b)  y (a)   y '( x)dx  y ( x)  y (a )   f (u )du
 f ( x)  y '( x) 

d
dx

x
a

d
dx
 y (a )  
x
a
 
f (u )du 
f (u )du  f ( x)
x
 y '( x)  f ( x)
 y ( x)  C   f (u )du

0
 y (0)  C
d
dx
x
a

f (u )du
Esempio

e
 y '( x) 

y(0)  0


1
2
 x2 / 2
 y ( x) 
1
2

x
0
e
u 2 / 2
du
La curva a campana di Gauss

f ( x) 


f ( x;  ,  )  


1
2
1
2
e
 x2 / 2
e
 ( x   )2 / 2 2
K.F. Gauss (1777-1855) e la curva a
campana nella banconota da 10 DM
del 1991.
La funzione f ( x) 
è data.
1
2
e
 x2 / 2
La incognita y ( x) è calcolata
usando la regola dei trapezi.
f ( x ) è la derivata di y ( x)
y ( x) è una primitiva di f ( x)
2.11.a. Estensione del concetto di integrale
Funzione integranda che cambia segno

b
a
f ( x)dx = area(
) - area(
)
2.11.b. Estensione del concetto di integrale
Inversione degli estremi di integrazione
Se a > b, integrare da a a b significa muoversi sull’asse X
all’indietro, ossia con un passo h = (b-a)/n negativo nelle
formule di calcolo numerico.
Quindi si pone:

b
a
a
f ( x)dx   f ( x)dx
b
A.Valore medio
Valore medio di una funzione f(x) nell’intervallo [a, b]
f 
1
b a

b
a
f (u)du
Media mobile
 ( x) 
1
2

x 
x 
f (u)du
B. Data smoothing
Media mobile
 ( x) 
1
2

x 
x 
f (u)du
f ( x)   ( x)
ε = 0.5