Evento
Def: E’ il risultato di un esperimento o di un’osservazione oppure
una proposizione che può essere vera o falsa e di cui non è noto il
valore logico al momento di assumere la decisione.
Es: evento = esito di una sperimentazione pilota di un nuovo
farmaco
Un evento si dice aleatorio (o casuale) quando non è possibile
sapere, prima di effettuare l’esperimento, se si verificherà o meno e
si indicano con lettere maiuscole A,B ecc.
Ad esso si assegna un numero che misura quanto sia probabile che
esso si verifichi. Questo numero si dice probabilità dell’evento.
La probabilità è un numero che varia tra 0 e 1.
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Eventi possibili, certi ed impossibili
Un evento in generale è possibile quando nessuno dei due
esiti (vero o falso) può essere stabilito a priori (e quindi
nessuno può essere escluso) 0<P(A)<1
Quando prima di effettuare l’esperimento sappiamo che
l’evento si verificherà diciamo che l’evento A è certo
P(A)=1
Es: A = i giorni della prossima settimana sono 7: è certo
Se, invece, ancor prima di effettuare l’esperimento, sappiamo
che l’evento non si verificherà diremo che l’evento A è
impossibile P(A)=0
Es: A = l’estrazione di una pallina nera da un urna contenente
palline bianche è impossibile.
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Scala dei giudizi relativi alle aspettative nel verificarsi di un evento
Scala della classificazione degli eventi in base alla probabilità che hanno di
verificarsi:
Impossibile poco verosimile scarse possibilità buone possibilità molto probabile Certo
0
0.2
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0.4
0.5
0.6
0.8
1
Assegnare valori di Probabilità
Esistono, storicamente, 3 approcci differenti per associare una probabilità
ad un evento:
1. definizione classica (Laplace 1812): la probabilità di un evento è il
rapporto tra il numero m dei casi favorevoli all'evento e il numero n dei
casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili
P(E)= m/n
2. definizione frequentista (Venn e Cornout 1843) : se un esperimento è
ripetuto n volte (n molto grande) in condizioni sostanzialmente identiche
e l’evento si verifica m volte la probabilità dell’evento è la frequenza
relativa (o la proporzione di volte) con cui si verifica:
P(E)= m/n
3. definizione soggettiva (De Finetti 1970): la probabilità di un evento è
la misura del grado di fiducia che un soggetto decisore attribuisce,
secondo le sue informazioni ed opinioni, in merito al verificarsi o meno
dell’evento.
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Probabilità definizione soggettivista
La definizione soggettivista si usa quando non ci sono le condizioni per utilizzare
le definizioni precedenti
Esempi:
• La probabilità che un nuovo format televisivo incontri il favore del
pubblico
• La probabilità che una squadra di calcio con 10/11 nuovi giocatori vinca il
campionato
• La probabilità che un nuovo farmaco del fascia C sia più venduto dello
stesso farmaco con brand
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Spazio campione:
Def: E’ l’insieme di tutti i risultati diretti di un esperimento; è
l’insieme di tutti gli eventi elementari.
Es: - Nel lancio di un dato l’insieme di tutte e sei le facce formano
Es: - Nell’estrazione di una carta da un mazzo
francese tutte e 52 le carte formano
Es: - Lo spazio campione dell’analisi del gruppo sanguigno è:
A; B; AB; 0
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Esempio
Una scatola contiene 10 gettoni numerati da 1 a 10.
Con che probabilità si estrae un gettone con un numero dispari?
Si estrae un nuovo gettone, senza reimmettere il primo nella scatola.
Qual è la probabilità di estrarre di nuovo un numero dispari?
A=1;3;5;7;9
P(A)=5/10=50%
P(B)= 4/9
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Eventi composti e spazio degli eventi
Eventi composti : sono quegli eventi che si
combinando gli eventi elementari.
ottengono
Esempi di eventi composti: nel lancio di un dato esce un
numero pari; nell’estrazione di una carta esce una carta a
cuori…..
L’insieme degli eventi composti forma lo spazio degli eventi
E
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Esempio
Si lancino due dadi contemporaneamente:
Quante sono le possibili coppie di numeri? Eventi possibili: 6^2=36
a) qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti sia 7?
A=(1;6), (2;5), (3;4); (4;3); (5;2); (6;1) P(A) = 6/36 = 1/6
b) qual è la probabilità che escano due numeri uguali?
B=(1;1), (2;2), (3;3); (4;4); (5;5); (6;6) P(B) = 6/36 = 1/6
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Operazioni sugli eventi
A c ; A complemento di A: evento non A è vero quando A è
falso e viceversa. ( NOT logico)
Es: A = il prossimo presidente ha più di 70 anni
A c = il prossimo presidente ha meno di 70 anni
AB: intersezione tra A e B; l’evento intersezione è vero
quando sia A che B sono veri contemporaneamente ed è falso
se almeno uno dei due lo è. ( AND e è la congiunzione che
si usa: evento A e evento B)
Ac
A
A
B
Es: A = il prossimo presidente ha più di 70 anni
B = il prossimo presidente è una donna
C = AB = il prossimo presidente è una donna di almeno 70 anni.
AB: unione tra A e B; l’evento unione è vero se è vero A
oppure B oppure sono veri entrambi. ( OR o, oppure è la
congiunzione che si usa: A oppure B)
-Es: A = il prossimo presidente ha più di 70 anni
B = il prossimo presidente è una donna
D = AB = il prossimo presidente è una donna oppure ha
almeno 70 anni oppure è una donna di almeno 70 anni
A
B
Eventi disgiunti ed esaustivi
• Due eventi A e B si dicono disgiunti (o incompatibili) se il
verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro
AB = P(AB)=0
Es: A = peso alla nascita < 2kg ; B = peso alla nascita compreso
tra 3 e 4 Kg sono eventi disgiunti.
A Ac = per costruzione, sono due eventi disgiunti
• Due eventi A e B si dicono esaustivi se almeno uno dei due
sicuramente si verifica ovvero se la loro unione è l’intero spazio
campione
A B = P(A B)=1
Es: A = peso alla nascita < 2kg; peso alla nascita 2kg sono
esaustivi.
A Ac = per costruzione, sono due eventi esaustivi.
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Esempio di eventi disgiunti
Da un mazzo di carte napoletane (40 carte) se ne estrae a caso una.
Quale tra le seguenti coppie di eventi A; B è composta da eventi disgiunti:
1)
A= esce una carta di denari B=esce una figura (< 7)
2)
A= esce una carta maggiore di 5 B= non esce una figura
3)
A= non esce una carta maggiore di 5 B= esce il 5 di denari
4)
A= esce il re di spade B= non esce una figura
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Teorema della probabilità contraria
Se P è la probabilità di un evento E
P(E) = 1-P(E)
Esempio:
la probabilità di estrarre un asso in un mazzo di carte francesi è:
E ? E ?
p(E)=?
p(E)=?
E=estrarre una carta e esce un asso
P(E)=4/52=0,077
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E=estrarre una carta e non esce un asso
P(E)=1- 4/52=0,923
Esempio
Il grafico che segue mostra il numero di caramelle di diversi gusti presenti nel
«consueto» sacchetto. Qual è la probabilità che prendendo a caso una caramella non sia
alla fragola?
Procedimento:
1) Quante caramelle sono presenti:
eventi possibili=25+15+15+20+10=100
2) La probabilità di estrarre una caramella alla fragola
P(evento contrario)= 15/100=0.15
3) La probabilità di non estrarre una caramella alla fragola
P (evento favorevole)=1-P(evento contrario) = 1-0.15=0.85=85%
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Teorema della probabilità totale
Se A e B sono due eventi arbitrari:
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
B
A
Se sono disgiunti: AB =
P(AB)= P(A) + P(B)
A
B
Il principio della somma si può estende al caso di 3 o più eventi:
P(AB C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(AB C)
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Esempio probabilità totale
In un sacchetto sono contenute quaranta palline, numerate da 1 a 40. Si estrae una
pallina a caso, qual è la probabilità di ottenere:
a) Un multiplo di 4: A=4;8;12;16;20;24;28;32;36;40 P(A)=10/40=1/4=0.25=25%
b) Un multiplo di 6: B=6;12;18;24; 30; 36 P(B)=6/40=0.15=15%
c) Multiplo di 4 o di 6: AB = 4;8;12;16;20;24;28;32;36;406;12;18;24;30;36
Ma 12; 24; 36 sono in comune P(AB)=3/40=7.5%
a che evento corrisponde AB= Multiplo di 4 e multiplo di 6
P(A B)=P(A)+P(B) - P(AB)=0.25+0.15-0.075=0.325= 32.5%
Infatti: A B =4;6;8;12;16;18; 20;24;28;30;32;36;40 P(AB)=13/40=0.325
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Altro esempio
Gli alunni che frequentano il secondo liceo sono 18, di questi 5 studiano con gioia la
matematica, 7 studiano la fisica con gioia, 3 studiano entrambi le materie con gioia.
Qual è la probabilità che interrogando qualcuno a caso risponda con gioia a domande di
fisica o di matematica?
A= l’alunno interrogato risponda con gioia a matematica
B= l’alunno interrogato risponda con gioia a fisica
AB=?
P(A)=5/18= 0,28
P(A)=7/18= 0,39
AB=?
AB=l’alunno interrogato risponde con gioia ad entrambi le materie
AB=l’alunno interrogato risponde con gioia o a domande di matematica o a domande
di fisica
P(A B)=3/18
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)=5/18+7/18- 3/18 = 0,5
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Esempio P. totale su eventi disgiunti
In base alle leggi di Mendel è noto che, in relazione al gruppo
sanguigno, il figlio eredita una sola lettera da ognuno dei genitori con
uguale probabilità.
Il gruppo sanguigno di un figlio con padre AB e madre A0 sarà:
Padre
Madre
A
A
B
0
Figlio
A
A
A
0
B
A
B
AA, A0, AB, B0 eventi disgiunti ognuno con probabilità 1/4.
Il figlio avrà gruppo sanguigno:
• A con P(A) = P (AAA0)= P(AA) + P(A0) =1/2
• AB con P(AB) =1/4
• B con probabilità p=1/4
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0
Esercizi
1. Nell’estrazione successiva di 2 carte da un mazzo di 40, senza reimmissione,
considera l’evento A = escono due re.
A è composto da due eventi dipendenti o indipendenti? Calcola P(A)....
2. Su uno scaffale di una libreria ci sono 3 libri di saggistica, 7 di narrativa, 4 gialli.
Sara prende un libro a caso qual è la probabilità che:
a) Il libro preso è di narrativa
b) Il libro è un giallo
c) È uno di saggistica oppure un giallo
d) Il libro preso è un dizionario di italiano
3. Si lancia una moneta e un dado. Qual è la probabilità che si verifiche l’evento
esce testa e il numero 3.
Paolo cerca un libro di storia tra 25 che ha su questa materia. I libri sono disposti su
3 scaffali differenti
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Probabilità condizionata
Spesso la valutazione della probabilità dipende dalle informazioni che si possiedono
sull’evento ma anche su eventi ad esso correlati. In particolare, in alcune situazioni
siamo interessati a prevedere (valutare) la probabilità di un evento sapendo che un
evento ad esso correlato si è già verificato.
Ad esempio siamo interessati a sapere se un individuo fa uso di cannabis sapendo
che il test pilifero ha dato esito positivo oppure la probabilità che un soggetto
sopravviva 5 anni sapendo che ha subito un trapianto al fegato.
P(A | B) si legge probabilità condizionata di A dato B e indica la valutazione della
probabilità dell’evento A quando si è venuti a conoscenza del verificarsi dell’evento B.
Dato che B si è verificato B= quindi i casi possibili sono quelli favorevoli a B
mentre i casi favorevoli ad A diventano quelli inclusi in B AB per la definizione
classica di probabilità:
P(A B)
P(A | B)
P(B)
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Esempio: probabilità condizionata
Il 48% dei pazienti in emodialisi sono fumatori e il 18% sono
sia ipertesi che fumatori.
Vogliamo calcolare la probabilità che un paziente in dialisi sia
iperteso sapendo che fuma.
A = paziente in dialisi iperteso B = paziente in dialisi fumatore
P(B)=0,48
P(AB)=0,18
P( A B) 0,18
P( A | B)
0,375
P( B)
0,48
Possiamo dire che il 37,5% dei fumatori in dialisi è iperteso.
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Teorema della Probabilità composta
Per simmetria: la probabilità di B dato A:
P( A B)
P( B | A)
P( A)
Da queste, moltiplicando per P(B) e P(A) le due formule delle due probabilità
condizionate si ottiene il teorema delle probabilità composte (o regola del
prodotto):
P(A B) P(A)P(B | A) P(B) P(A | B)
Def: due eventi A e B si dicono indipendenti quando il verificarsi di un evento non
influenza la probabilità dell’altro evento , in formule:
P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)
Utilizzando il principio delle probabilità composte per due eventi indipendenti
P(A B) P(A) P(B)
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Regola del prodotto
La regola del prodotto si può generalizzare al caso di più eventi; nel caso di 3:
P( A B C ) P( A) P( B | A) P(C | A B)
Nel caso in cui gli eventi sono collettivamente indipendenti
P( A B C ) P( A) P( B) P(C )
Esempio: estraiamo 3 carte da un mazzo francese (52 carte) si determini la
probabilità che escano 3 re senza e con reintroduzione delle carte.
A= esce re alla 1°estrazione; B= esce re alla 2°estrazione; C= esce re alla 3°
1) Senza reintroduzione: P(A)=4/52; P(B|A)=3/51; P(C|AB)=2/50
2) Con reintroduzione eventi sono indipendenti P(A)=4/52=P(B)=P(C)
1)
2)
P( A B C )
P( A B C )
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4 3 2
0,00018
52 51 50
4 4 4
0.00046
52 52 52
Soluzione problema: Dé Meré
E' più facile vincere se si scommette che lanciando 4 volte un dado si presenti almeno una
volta 6, oppure se si scommette che lanciando 24 volte due dadi si presenti almeno una
volta la coppia di 6?
La probabilità che in 4 lanci non esca nessun sei è: (5/6)^4= 0.4822;
in tutti gli altri casi avremo almeno un sei, quindi la probabilità di avere
almeno un sei in quattro lanci è 1-0.4822=0.5178.
Con lo stesso ragionamento si trova che il caso di un doppio sei (che si
verifica con probabilità 1/36) può non verificarsi mai in 24 lanci con una
probabilità di (35/36)^24=0.5085; allora la probabilità di avere almeno
un doppio sei: 1-0.5085= 0.4915
Scommettendo sul primo caso si ha una probabilità di vincita maggiore
del secondo (anche se non scommetterei in entrambi i casi)
