Valore atteso, mazzi di carte e Monte Carlo Anna Torre-Fulvio Bisi Eventi Indipendenti Due eventi A, B sono indipendenti se la probabilità che accadano entrambi è il prodotto della probabilità che accada A per la probabilità che accada B p(A ∩ B) = p(A) · p(B). Consideriamo il lancio di un dado; gli eventi: • “esce un numero primo” • “esce un numero divisibile per 3” sono indipendenti? Studiamo le probabilità: p ("esce un numero primo") =1/2 p ("esce un numero divisibile per 3")=1/3. L’ unico primo divisibile per 3 è 3, quindi: p{3} = 1/6 = 1/2 · 1/3. Sono indipendenti! Mettiamo in fila le carte In quanti modi posso “mettere” in fila gli assi di un mazzo di carte? I Con un asso ♥ soltanto è banale: solo 1 modo. I Con 2 assi i modi sono 2: metto ♦ dopo o prima di ♥. ♥, ♦ I ♦, ♥ Se ho anche ♣, posso metterlo davanti. in mezzo o in fondo a ciascuno dei casi. 3 × 2 = 6 modi: (♣♥♦), (♥♣♦), (♥♦♣); I e (♣♦♥), (♦♣♥), (♦♥♣); Per ciascuno di questi modi, posso piazzare il quarto asso ♠ in 4 posizioni. 4 × 3 × 2 = 24 modi . . . Il fattoriale Abbiamo capito. Per esempio, per mettere in fila le 10 carte di picche di un mazzo di carte milanese, ho un numero di permutazioni pari a 10 × 9 × 8 × ×7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 Questo numero si chiama fattoriale; in generale, dato il numero n, il suo fattoriale n! è n! = n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × 3 × 2 × 1 Quanto vale nel caso delle 10 carte? 10! = 3 628 800 = 3, 6288 × 106 . È più grande il numero di permutazioni in un mazzodi 52 carte o il numero di molecole d’acqua negli oceani? Il problema dei compleanni Qual è la probabilità p(n) che, in un gruppo di n persone, ci siano due persone che festeggiano il compleanno nello stesso giorno? 365 − n + 1 365! 365 364 363 362 ... =1− p(n) = 1 − 365 365 365 365 365 365n (365 − n)! Approssimazione di Stirling: n! ≈ √ 2πn n n e =⇒ ln n! = 1 ln(2πn) + n(ln n − 1) , 2 e = 2.71828183 . . . è il numero di Nepero (numero irrazionale) La probabilità p(n) al variare di n Definizione di Probabilità 1. Definizione classica 2. Definizione frequentista 3. Definizione soggettiva 4. (Definizione assiomatica) DEFINIZIONE FREQUENTISTA - La probabilità di un evento E , per esempio l’uscita di testa nel lancio di una moneta, è il limite a cui tende il rapporto n/N dove n è il numero di teste e N è il numero di lanci totali, quando N tende all’infinito. La probabilità p (E) dell’evento è il limite delle frequenze relative: p(E) = lim N→+∞ Foss N DEFINIZIONE SOGGETTIVA - Considerato un evento E, la probabilità p (E), che un soggetto attribuisce all’evento E, è un numero reale che misura il grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce, secondo le sue informazioni e opinioni, all’avverarsi di E. DEFINIZIONE ASSIOMATICA - Si definisce la misura di probabilità su uno spazio degli eventi Ω, tramite alcune proprietà (assiomi). Testiamo il calcolo per i compleanni Ai prossimi Campionati Mondiali di calcio in Brasile parteciperanno 24 squadre,ciascuna formata da 23 giocatori. Possiamo mettere alla prova il nostro modello: i giocatori sono nel numero giusto per dire che la probabilità che in una squadra due calciatori festeggino il compleanno lo stesso giorno è 12 . La definizione frequentista mi porta a pensare che su 24 squadre, mi devo “aspettare” 12 squadre con il giorno di bi-compleanno per due calciatori. Su Wikipedia si trovano gli elenchi dei calciatori divisi per squadra, con indicazione della data di compleanno. . . Quanto si può discostare da 12 il conteggio degli eventi favorevoli? LA DEFINIZIONE DI VALORE ATTESO Se un esperimento casuale dà gli esiti x1 , x2 , . . . , xn rispettivamente con probabilità p1 , p2 , . . . , pn definiamo il valore atteso dell’esperimento casuale: E[x] = p1 x1 + p2 x2 + · · · + pn xn . In un dado classico, ogni faccia ha punteggi da 1 a 6; il valore atteso del punteggio per il lancio di un dado e’: 1 1 1 1 1 1 1 (6 · 7) 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6= = 3, 5. 6 6 6 6 6 6 6 2 Valore atteso: lancio dei dadi Lanciando due dadi, qual è il valore atteso? È giusto dire 2 · 3, 5 = 7? Punteggio Casi possibili Probabilità 2 1 1/36 3 2 1/18 4 3 1/12 5 4 1/9 6 5 5/36 →7 6 1/6 8 5 5/36 9 4 1/9 10 3 1/12 11 2 1/18 12 1 1/36 Casinò di Monte Carlo: la roulette Si può vincere alla roulette? I Nella roulette ci sono 37 numeri:{0, 1, 2, ..., 36} I Lo 0 non ha colore mentre gli altri numeri sono metà rossi e metà neri I Si possono fare tanti tipi di giochi I per esempio se si punta su rosso se esce rosso si prende il doppio, se esce nero si perde quello che si è puntato I Quanto si guadagna in media? La roulette Quanto posso aspettarmi di vincere alla roulette? I puntando su nero in media si vince 18 19 37 (−1) + 37 1 36 1 37 (36) + 37 (−1) 1 = − 37 I puntando su un numero si vince 1 = − 37 La “martingala” o metodo del “raddoppio” della posta funziona? I Punto k sul rosso; se esce, intasco 2k e, quindi guadagno k. I Se perdo, punto 2k sul rosso; se esce, intasco 4k e, quindi guadagno 4k − (k + 2k) = k. I Se perdo, punto 4k sul rosso; se esce, intasco 8k e, quindi guadagno 8k − (k + 2k + 4k) = k. I Ecc.; basta continuare a raddoppiare la puntata, prima o poi il rosso esce e recupero tutto, guadagnando k. Il grillo parlante (aka Cacasenno) Hmmmmm. . . I Intanto, considera che quanto devi mettere in gioco cresce esponenzialmente: dopo 8 puntate in cui esce il nero, (e succede. . . ), devo puntare 256k e sperare che esca rosso per non rovinarmi e guadagnare k: vale il rischio? I Quindi, per essere sicuro di non perdere, dovresti avere un capitale infinito. E non ce l’hai. I Ricorda che le case da gioco mettono limiti alle puntate: potresti addirittura non potere puntare quello che “ti serve”. I Quello che succederà, invece, è che prima o poi andrai incontro alla rovina: c’è anche un teorema al riguardo. Teorema della rovina del giocatore (Pascal) Due giocatori, A e B, cominciano a giocare, con la medesima dotazione di fondi, una serie di scommesse di posta unitaria con probabilità costante p di vincita (perdita) per A (B) [e, quindi di vincita q = 1 − p per B]. Il “gioco” termina quando uno dei due è rovinato. Qual è la probabilità che ciò avvenga in n colpi? (Bernoulli remix, 1713) Sia a la dotazione di A e b la dotazione di B. La probabilità di rovina di B è R(a, b, p) = R(a, a, p) = R(a, b, 1/2) pa+b −pa qb se a 6= b, p 6= 1/2, pa+b −qa+b a p se a = b, p 6= 1/2 pa +qa a = a+b se a 6= b, p = 1/2. Se a è molto grande (A molto ricco), ossia a → ∞, la probabilità di rovina di b tende a 1 (è certa la rovina asintotica di B).