Parte seconda

Valore atteso, mazzi di carte e Monte Carlo
Anna Torre-Fulvio Bisi
Eventi Indipendenti
Due eventi A, B sono indipendenti se la probabilità che accadano
entrambi è il prodotto della probabilità che accada A per la probabilità
che accada B
p(A ∩ B) = p(A) · p(B).
Consideriamo il lancio di un dado; gli eventi:
• “esce un numero primo”
• “esce un numero divisibile per 3”
sono indipendenti?
Studiamo le probabilità: p ("esce un numero primo") =1/2
p ("esce un numero divisibile per 3")=1/3.
L’ unico primo divisibile per 3 è 3, quindi: p{3} = 1/6 = 1/2 · 1/3.
Sono indipendenti!
Mettiamo in fila le carte
In quanti modi posso “mettere” in fila gli assi di un mazzo di carte?
I
Con un asso ♥ soltanto è banale: solo 1 modo.
I
Con 2 assi i modi sono 2: metto ♦ dopo o prima di ♥.
♥, ♦
I
♦, ♥
Se ho anche ♣, posso metterlo davanti. in mezzo o in fondo a
ciascuno dei casi. 3 × 2 = 6 modi:
(♣♥♦), (♥♣♦), (♥♦♣);
I
e
(♣♦♥), (♦♣♥), (♦♥♣);
Per ciascuno di questi modi, posso piazzare il quarto asso ♠ in 4
posizioni. 4 × 3 × 2 = 24 modi . . .
Il fattoriale
Abbiamo capito. Per esempio, per mettere in fila le 10 carte di picche
di un mazzo di carte milanese, ho un numero di permutazioni pari a
10 × 9 × 8 × ×7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
Questo numero si chiama fattoriale; in generale, dato il numero n, il
suo fattoriale n! è
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × 3 × 2 × 1
Quanto vale nel caso delle 10 carte?
10! = 3 628 800 = 3, 6288 × 106 .
È più grande il numero di permutazioni in un mazzodi 52 carte o il
numero di molecole d’acqua negli oceani?
Il problema dei compleanni
Qual è la probabilità p(n) che, in un gruppo di n persone, ci siano due
persone che festeggiano il compleanno nello stesso giorno?
365 − n + 1
365!
365 364 363 362
...
=1−
p(n) = 1 −
365 365 365 365
365
365n (365 − n)!
Approssimazione di Stirling:
n! ≈
√
2πn
n n
e
=⇒ ln n! =
1
ln(2πn) + n(ln n − 1) ,
2
e = 2.71828183 . . . è il numero di Nepero (numero irrazionale)
La probabilità p(n) al variare di n
Definizione di Probabilità
1. Definizione classica
2. Definizione frequentista
3. Definizione soggettiva
4. (Definizione assiomatica)
DEFINIZIONE FREQUENTISTA - La probabilità di un evento E , per
esempio l’uscita di testa nel lancio di una moneta, è il limite a cui
tende il rapporto n/N dove n è il numero di teste e N è il numero di
lanci totali, quando N tende all’infinito. La probabilità p (E)
dell’evento è il limite delle frequenze relative:
p(E) = lim
N→+∞
Foss
N
DEFINIZIONE SOGGETTIVA - Considerato un evento E, la
probabilità p (E), che un soggetto attribuisce all’evento E, è un
numero reale che misura il grado di fiducia che un individuo coerente
attribuisce, secondo le sue informazioni e opinioni, all’avverarsi di E.
DEFINIZIONE ASSIOMATICA - Si definisce la misura di probabilità
su uno spazio degli eventi Ω, tramite alcune proprietà (assiomi).
Testiamo il calcolo per i compleanni
Ai prossimi Campionati Mondiali di calcio in Brasile parteciperanno
24 squadre,ciascuna formata da 23 giocatori.
Possiamo mettere alla prova il nostro modello: i giocatori sono nel
numero giusto per dire che la probabilità che in una squadra due
calciatori festeggino il compleanno lo stesso giorno è 12 .
La definizione frequentista mi porta a pensare che su 24 squadre, mi
devo “aspettare” 12 squadre con il giorno di bi-compleanno per due
calciatori. Su Wikipedia si trovano gli elenchi dei calciatori divisi per
squadra, con indicazione della data di compleanno. . .
Quanto si può discostare da 12 il conteggio degli eventi favorevoli?
LA DEFINIZIONE DI VALORE ATTESO
Se un esperimento casuale dà gli esiti x1 , x2 , . . . , xn
rispettivamente con probabilità p1 , p2 , . . . , pn definiamo il
valore atteso dell’esperimento casuale:
E[x] = p1 x1 + p2 x2 + · · · + pn xn .
In un dado classico, ogni faccia ha punteggi da 1 a 6; il valore atteso
del punteggio per il lancio di un dado e’:
1
1
1
1
1
1
1 (6 · 7)
1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6=
= 3, 5.
6
6
6
6
6
6
6 2
Valore atteso: lancio dei dadi
Lanciando due dadi, qual è il valore atteso? È giusto dire 2 · 3, 5 = 7?
Punteggio Casi possibili Probabilità
2
1
1/36
3
2
1/18
4
3
1/12
5
4
1/9
6
5
5/36
→7
6
1/6
8
5
5/36
9
4
1/9
10
3
1/12
11
2
1/18
12
1
1/36
Casinò di Monte Carlo: la roulette
Si può vincere alla roulette?
I
Nella roulette ci sono 37 numeri:{0, 1, 2, ..., 36}
I
Lo 0 non ha colore mentre gli altri numeri sono metà rossi e metà
neri
I
Si possono fare tanti tipi di giochi
I
per esempio se si punta su rosso se esce rosso si prende il
doppio, se esce nero si perde quello che si è puntato
I
Quanto si guadagna in media?
La roulette
Quanto posso aspettarmi di vincere alla roulette?
I
puntando su nero in media si vince
18
19
37 (−1) + 37 1
36
1
37 (36) + 37 (−1)
1
= − 37
I
puntando su un numero si vince
1
= − 37
La “martingala” o metodo del “raddoppio” della posta funziona?
I
Punto k sul rosso; se esce, intasco 2k e, quindi guadagno k.
I
Se perdo, punto 2k sul rosso; se esce, intasco 4k e, quindi
guadagno 4k − (k + 2k) = k.
I
Se perdo, punto 4k sul rosso; se esce, intasco 8k e, quindi
guadagno 8k − (k + 2k + 4k) = k.
I
Ecc.; basta continuare a raddoppiare la puntata, prima o poi il
rosso esce e recupero tutto, guadagnando k.
Il grillo parlante (aka Cacasenno)
Hmmmmm. . .
I
Intanto, considera che quanto devi mettere in gioco cresce
esponenzialmente: dopo 8 puntate in cui esce il nero, (e
succede. . . ), devo puntare 256k e sperare che esca rosso per
non rovinarmi e guadagnare k: vale il rischio?
I
Quindi, per essere sicuro di non perdere, dovresti avere un
capitale infinito. E non ce l’hai.
I
Ricorda che le case da gioco mettono limiti alle puntate: potresti
addirittura non potere puntare quello che “ti serve”.
I
Quello che succederà, invece, è che prima o poi andrai incontro
alla rovina: c’è anche un teorema al riguardo.
Teorema della rovina del giocatore
(Pascal) Due giocatori, A e B, cominciano a giocare, con la medesima
dotazione di fondi, una serie di scommesse di posta unitaria con
probabilità costante p di vincita (perdita) per A (B) [e, quindi di vincita
q = 1 − p per B]. Il “gioco” termina quando uno dei due è rovinato.
Qual è la probabilità che ciò avvenga in n colpi?
(Bernoulli remix, 1713) Sia a la dotazione di A e b la dotazione di B.
La probabilità di rovina di B è



R(a, b, p) =
R(a, a, p) =



R(a, b, 1/2)
pa+b −pa qb
se a 6= b, p 6= 1/2,
pa+b −qa+b
a
p
se a = b, p 6= 1/2
pa +qa
a
= a+b se a 6= b, p = 1/2.
Se a è molto grande (A molto ricco), ossia a → ∞, la probabilità di
rovina di b tende a 1 (è certa la rovina asintotica di B).