(matematico polacco noto per i suoi lavori sulla geometria frattale)

CON QUESTA PAGINA VORREMMO SPIEGARE IN MODO ESAURIENTE COS‘E’ UN
FRATTALE:
Vorremmo aprire il discorso con una citazione presa da "Gli oggetti frattali" di B. Mandelbrot
(matematico
polacco
noto
per
i
suoi
lavori
sulla
geometria
frattale)...
.....Perchè la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei motivi è la sua
incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di un
albero. Osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non
sono delle sfere, le coste non sono cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente molto
complessi...."
I frattali, con le loro forme misteriose e i loro splendidi colori, suscitano la
nostra meraviglia e ci affascinano per la loro bellezza. Ma che cosa sono è in
realtà i frattali? La definizione più semplice li descrive come figure
geometriche in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta.
Questo significa che ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad
ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli. Diversamente da qualsiasi
altra figura geometrica un frattale invece di perdere dettagli quando è
ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari. In molti frattali questi particolari,
che si vanno man mano scoprendo, assomigliano alla figura nella sua totalità.
In geometria gli oggetti che sono autosimili vengono definiti frattali e possono
essere costruiti seguendo precise regole di tipo matematico…(noi abbiamo
costruito il triangolo di Serpinski, per vedere il nostro lavoro vai alla pagina “
Rappresentiamo con i frattali il numero 100”). In matematica, un frattale è tale
se ha delle proprietà simili alle quattro elencate: (indichiamo con F l’insieme
dei frattali).
1 - Autosimilarità: F è unione di copie di se stesso a scale differenti.
2 - Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.
3 - Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano
semplici condizioni geometriche o analitiche.
4- Dimensioni di autosimilarità maggiore della dimensione topologica: anche
se i frattali possano essere rappresentati in uno spazio convenzionale a due o
tre dimensioni, la loro dimensione non è intera:infatti la lunghezza di un
frattale "piano" non può essere misurata definitamene, ma dipende dal
numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.
CONTIAMO CON I FRATTALI FINO A 100 IN BASE 3
Vi presentiamo un esempio di numerazione in base 3 utilizzando i
frattali e, nello specifico, un triangolo equilatero; al quale abbiamo
applicato l’ assioma geometrico, che stabilisce che “è possibile dividere
un segmento in un qualsiasi numero di parti uguali” .
Così facendo abbiamo ottenuto il triangolo di Sierpinski (un frattale)
ANDIAMO A VEDERE COME NELLE DIAPOSITIVE SUCCESSIVE
Partiamo da un triangolo equilatero
30 = 1
Al nostro triangolo equilatero iniziale togliamo (lasciandolo colorato di bianco) un triangolo
equilatero i cui lati misurano esattamente ½ rispetto al triangolo di partenza (1).
Così facendo si ottengono 3 triangoli equilateri qui di seguito rappresentati
1
1/4
1/2
31 = 3
Continuiamo ad applicare il procedimento precedente ad ognuno dei tre triangoli
colorati di verde, ottenendo in totale 9 triangoli equilateri il cui lato =1/4
1
1/4
1/2
32 = 9
Continuiamo ad applicare il procedimento precedente ad ognuno dei 9
triangoli, ottenendo in totale 27 triangoli equilateri il cui lato = 1/8
33 = 27
Ogni qualvolta dimezziamo il lato del triangolo il numero dei triangoli si
triplica. Procedendo in questo modo siamo giunti ad ottenere dai 27 triangoli
precedenti ben 81 triangoli il cui lato = 1/16
32 = 9
32 = 9
34 = 81
100 in base 3 -> 10201
32 = 9
34 = 81
3° = 1
32 = 9
1021= (3° x 1)+(31 x 0)+(32 x2)+(33 x o)+(34 x1)
1 + 0 + 18 + 0 + 81