Le operazioni con i numeri

Istituto Comprensivo “F. Jovine” - Scuola Secondaria di I grado
A.S. 2012-2013
Classi Prime
Disciplina: Aritmetica
Realizzato dal prof. Aurelio Nardelli
Le operazioni con i numeri
L’addizione
L'addizione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri un
terzo numero, ottenuto contando di seguito al primo tante unità
quante ne indica il secondo.
10 + 8 = 18
Addendi
In un'addizione, se uno dei
due addendi è zero, la
somma è uguale all'altro
addendo. Per questo lo
zero è detto elemento
neutro dell'addizione.
Somma
26 + 0 = 26
Le proprietà dell'addizione
I Proprietà
Proprietà commutativa dell'addizione: la somma di due o più numeri
interi non cambia se si cambia l'ordine degli addenti.
Esempi
11 + 9 = 20
9 + 11 = 20
17 + 3 + 5 = 25
5 + 17 + 3 = 25
Le proprietà dell'addizione
II Proprietà
Proprietà associativa dell'addizione: la somma di tre o più addenti
non cambia, se a due o più di essi si sostituisce la loro somma.
Esempio
15 + 5 + 7 + 13 = 40
20
+
20 = 40
Le proprietà dell'addizione
III Proprietà
Proprietà dissociativa dell'addizione: la somma di più addenti non
cambia se ad uno di essi sostituiamo altri due (o più) addendi la cui
somma da quell'addendo.
Esempi
30
+
25 = 55
(20 + 10) + (15 + 10) = 55
La sottrazione
La sottrazione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri un
terzo numero, che addizionato al secondo da per risultato il primo.
Sottraendo
23 - 9 = 14
Minuendo
Differenza o resto
Dobbiamo però osservare che non è possibile la sottrazione con qualsiasi coppia di
numeri naturali. Ad esempio, non possiamo calcolare la differenza 7 – 9 perché
nessun numero naturale, addizionato a 9, da come risultato 5. Per tale ragione si è
soliti dire che la sottrazione non è un'operazione interna ad N.
La proprietà della
sottrazione
Proprietà
Proprietà invariantiva della sottrazione: la differenza di due numeri
non cambia se a ciascuno di essi si addiziona o si sottrae, se ciò è
possibile, uno stesso numero.
Esempi
25
-
15 = 10
(25 + 5) - (15 + 5) = 30 – 20 = 10
25
-
15 = 10
(25 - 5) - (15 - 5) = 20 – 10 = 10
La moltiplicazione
Consideriamo ora i prodotti: 1·16 =16
16·1 =16
Proprietà. In una moltiplicazione se uno dei due fattori è il numero 1
il prodotto è uguale all'altro fattore. Per questo il numero 1 è
l'elemento neutro della moltiplicazione.
Consideriamo ora i prodotti: 0·16 =0
16·0 =0
Proprietà. Il prodotto di due fattori è uguale a 0 se e solo se almeno
uno dei fattori è uguale a 0 (legge di annullamento del prodotto).
Le proprietà della
moltiplicazione
I Proprietà
Proprietà commutativa della moltiplicazione: cambiando l'ordine dei
fattori il prodotto non cambia.
Esempio
30·3 = 90
3·30 = 90
Le proprietà della
moltiplicazione
II Proprietà
Proprietà associativa della moltiplicazione: il prodotto di più fattori
non cambia se a due (o più) di essi sostituiamo il loro prodotto.
Esempio
(5·4)·3 = 60
20 · 3 = 60
Le proprietà della
moltiplicazione
III Proprietà
Proprietà dissociativa della moltiplicazione: il prodotto di più fattori
non cambia se ad uno di essi ne sostituiamo due (o più) tali però che,
moltiplicati, diano quel fattore.
Esempio
30·6 = 180
(5·6) · (2·3) = 180
Le proprietà della
moltiplicazione
IV Proprietà
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:
per moltiplicare un'addizione per un numero, si può moltiplicare
ciascun termine dell'addizione per quel numero e poi addizionare i
prodotti ottenuti.
Esempio
9 · 4 = 36
(3 + 6)·4 =
3·4 + 6·4= 36
Le proprietà della
moltiplicazione
Tale proprietà è valida anche nel caso della sottrazione
Proprietà
distributiva
della
moltiplicazione
rispetto
alla
sottrazione: per moltiplicare una sottrazione per un numero, si può
moltiplicare ciascun termine della sottrazione per quel numero e poi
sottrarre i prodotti ottenuti.
Esempio
12 · 3 = 36
(21 – 9)·3 =
21·3 – 9·3 = 63-27= 36
La divisione
La divisione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri, di cui il
secondo diverso da 0, un terzo numero, se esiste, che moltiplicato per
il secondo da come risultato il primo.
Divisore
28 : 7 = 4
Dividendo
Quoto o Quoziente
Dall'esempio precedente possiamo dedurre che la divisione è l'operazione inversa
della moltiplicazione:
dividendo : divisore = quoto
se
quoto · divisore = dividendo
La divisione
Non sempre però è possibile applicare le formule precedenti, perchè spesso
accade che le divisioni vengono fuori con il resto.
Pertanto avremo che:
17 : 5 = 3
con resto di 2
In divisioni di questo tipo il quoto si dice approssimato perchè il prodotto di
quest'ultimo con il divisore non da come risultato il dividendo, ma un numero ad
esso inferiore. Perciò avremo che:
quoto · divisore + resto = dividendo
L'esecuzione di questa formula consente la verifica del risultato della
sovrastante divisione
3 · 5 + 2 = 17
Definizione: Il quoziente di una divisione si dice esatto se il resto è
uguale a 0.
La divisione
Se torniamo all'esempio precedente, possiamo risolvere la divisione utilizzando i
numeri decimali.
Pertanto avremo che:
17 : 5 = 3,4
In base a questo ragionamento possiamo concludere che la
divisione non è un'operazione interna all'insieme N dei numeri
naturali
Lo zero e l'uno nelle divisioni
I caso
Se il dividendo è zero e il divisore è diverso da zero, il quoto è
uguale a zero.
0 : 15 = 0
perchè
0·15 = 0
II caso
Se il divisore è zero e il dividendo è diverso da zero, il quoto non
esiste.
33 : 0 = impossibile
Le proprietà della divisione
I Proprietà
Proprietà invariantiva della divisione: il quoziente di due numeri
rimane invariato se si moltiplicano o si dividono il dividendo e il
divisore di una divisione per uno stesso numero diverso da zero.
Esempi
32
:
8 = 4
(32 · 3) : (8 · 3) = 96 : 24 = 4
32
:
8 = 4
(32 : 4) : (8 : 4) = 8 : 2 = 4
Le proprietà della divisione
II Proprietà
Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione: per
dividere un'addizione per un numero, si può dividere, se ciò è
possibile, ciascun termine dell'addizione per quel numero e poi
addizionare i quoti ottenuti.
Esempio
42 : 6 = 7
(30 + 12): 6 =
30:6 + 12:6 = 5+2 = 7
Le proprietà della divisione
Tale proprietà è valida anche nel caso della sottrazione
Proprietà distributiva della divisione rispetto alla sottrazione: per
dividere una sottrazione per un numero, si può dividere, se ciò è
possibile, ciascun termine della sottrazione per quel numero e poi
sottrarre i quoti ottenuti.
Esempio
12 : 3 = 4
(21 – 9):3 =
21:3 – 9:3 = 7-3 = 4
Fine