Bernardo Luigi
III A geometra
d’Anza Salvatore
III A geometra
Fatigati Vincenzo
III A geometra
Manna Francesco
III A geometra
Pacilio Gaetano
III A geometra
Pascarella Nello
III A geometra
Esposito Michele
IV A geometra
Ferrara Marco
IV A geometra
Radice Marco
IV A geometra
Tramontano Vincenzo IVA geometra
Coordinatore
prof.ssa Pellegrino Angela
Uno dei problemi classici
della geometria euclidea
non risolubile con riga e compasso
LA TRISEZIONE DI UN ANGOLO
Si può trisezionare un angolo?
Se un angolo si può dividere in due parti
uguali grazie alla costruzione della
bisettrice, allora si può dividere in quattro
parti uguali tracciando la bisettrice
dell’angolo diviso a metà. Ma si può
dividere un angolo qualunque in tre parti
uguali utilizzando esclusivamente riga e
compasso?
BISEZIONE DI UN ANGOLO
Per bisecare con riga e compasso un
angolo CÂB si individuano due lunghezze
uguali AB e AC sui suoi lati. Si costruisce
quindi il parallelogramma CABD e
disegniamo la diagonale AD che biseca
l'angolo CÂB.
Il metodo per bisecare l'angolo è dunque molto
semplice. Gli antichi greci pensarono che fosse
altrettanto semplice poter dividere gli angoli in
ogni modo, cercarono quindi un metodo con riga
e compasso che permettesse di dividere un
angolo in tre parti uguali. Ben presto si
accorsero che il problema era più difficoltoso: in
effetti, il problema è risolvibile con riga e
compasso solo per alcuni tipi di angoli, ma nel
caso generale ciò non è possibile.
Il problema richiede, dato un qualsiasi angolo φ, di
suddividerlo in tre angoli uguali.
Sappiamo dalla trigonometria che è la tangente di un
angolo si può esprimere in funzione della terza parte
dell’angolo
Ponendo dunque m = tan(φ) e x = tan(φ / 3) si ottiene
l'equazione cubica:
x3 − 3mx2 − 3x + m = 0
che è irriducibile nel campo euclideo quindi il problema
della trisezione dell'angolo non è,salvo casi particolari,
risolubile con riga e compasso.
Si può trisezionare un angolo retto ?
Dato un angolo retto si traccia una circonferenza Γ1 con centro in A e raggio r
qualsiasi; essa taglia la semiretta per A in B. Si traccia la circonferenza Γ2
con centro in B e raggio r ; essa intersecherà la circonfrenza Γ1 in D .
ll triangolo ABD è equilatero
Infatti AB = AD = BD = r . Quindi DAC è l’angolo che divide in tre l’angolo retto
essendo uguale a = π/6 e, essendo complementare di π/3 .
Ma si può trisecare
anche un angolo di π/4?
Dal disegno si vede che è sufficiente, dopo
aver trisecato un angolo retto, bisecare
l‘angolo di π/6 ottenuto.
Tentativi di trisezionare un angolo
con l’uso di una riga graduata
Il metodo di Nicomede
Quello di Nicomede non è propriamente un metodo di costruzione,
perché egli usò la riga per riportare una lunghezza, cioè una riga
graduata costruendo rette parallele e perpendicolari ed utilizzando
le proprietà degli angoli formati da rette parallele tagliate da una
trasversale. Dato un angolo qualsiasi CÂB della figura tracciamo i
segmenti :
CD ┴AB FE // AD FA // CD
HE = 2AC
Detto G punto medio di HE per le proprietà dell’angolo esterno si ha da
CÂB = CÂG + GÂB 2 CÊG + GÂB 2 GÂB + GÂB = 3 GÂB
per cui GÂB = 1/3CÂD
.
Il metodo di Archimede
Nella soluzione proposta da Archimede la riga viene usata per riportare una
lunghezza e, quindi, è pensata come riga graduata. Supponiamo di voler
trisecare un angolo CÂB .
Si disegna una circonferenza Г, con centro in A e raggio r, che interseca la
semiretta c in C e la semiretta b in B ; per C tracciamo una retta d che
taglia la retta b nel punto E e la circonferenza nel punto F in modo tale che
EF sia congruente al raggio della circonferenza. Per A tracciamo
la retta e
parallela a d, la quale interseca la circonferenza in X. L'angolo XÂB è la
terza parte dell'angolo dato. I due triangoli EFA e CAF sono isosceli
perchè il lato EF è congruente al lato AF per costruzione mentre il lato AF
è congruente al lato AC perché entrambi raggi della stessa circonferenza.
Per la proprietà degli angoli alla base di un triangolo isoscele , dell’angolo
esterno di un triangolo e degli angoli corrispondenti si ricava che
XÂB= 1/3 CÂB d
e
Nuove idee
per risolvere il problema:
utilizzo delle coniche
Pappo di Alessandria (290–350 d.C) è stato uno
scienziato animato dallo spirito che aveva
posseduto Euclide.) Nel III Libro degli otto della
sua opera Pappo fa una netta distinzione tra
problemi "piani", "solidi" e "lineari": i primi sono
risolubili solo con cerchi e rette, i secondi sono
risolubili mediante l'uso di sezioni coniche e
l'ultimo genere di problemi richiede grafici diversi
da rette, cerchi e coniche. Il problema della
trisezione dell'angolo viene presentato come un
problema del secondo tipo, suggerendo alcuni
metodi di risoluzione facendo uso di sezioni
coniche.
IL METODO DI PAPPO
Pappo partì dall’idea che, fissata una linea AB, si
potesse determinare il luogo dei punti P per i
quali valesse la relazione tra gli angoli formati
2 x PÂB = P B A
Questo luogo geometrico è un'iperbole avente
eccentricità 2, un fuoco in B e come
direttrice l'asse del segmento AB
Disegniamo un cerchio che passi per A e per B e centro in un punto O;
costruiamo un'iperbole con eccentricità 2, fuoco in B e direttrice
l'asse di AB che intersechi il cerchio in P. Il segmento PO ottenuto
triseca l'angolo AÔB.
Per dimostrarlo notiamo che, dalle proprietà dell'iperbole descritta, il
triangolo PXB è isoscele essendo XC = CB = a e quindi gli angoli
alla base sono congruenti. Per la proprietà dell’angolo esterno di un
triangolo 2 x PÂB = PBA. Ma un angolo al centro è il doppio
dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco quindi:
2 x PÂB = PÔB (entrambi insistono sull'arco PB)
e 2 x PBA = PÔA (entrambi insistono sull'arco PA)
Unendo le due relazioni si ottiene 2 x PÔB = PÔA cioè l'angolo PÔB è
la terza parte dell'angolo PÔA.
C
Soluzione con l'utilizzo
della concoide di Nicomede
Nicomede visse circa nello stesso periodo di Archimede (nel II secolo a.C.) e produsse la
famosa curva concoide (conchiglia in greco)
Fissiamo un punto O (detto polo) ed una retta
m distante d da O. Consideriamo una
seconda retta passante per O, che interseca
la retta m in A. Su tale retta, da entrambe le
parti rispetto ad A stacchiamo due segmenti
AP = AP' ciascuno di lunghezza k. Il luogo dei
punti P e P' ottenuti ruotando la retta per O si
chiama appunto Concoide di Nicomede. La
parte descritta dal punto più lontano ad O
(cioè P) si dice ramo esterno della concoide;
l'altra parte ramo interno. Ponendo il punto O
nell'origine di un sistema di assi cartesiano
xOy e prendendo la retta m parallela all'asse
y, avente quindi equazione x = a, l'equazione
cartesiana della curva è:
Soluzione con l'utilizzo
della lumaca di Pascal
Pascal era un prodigio matematico. Anche suo
padre aveva una notevole inclinazione per la
matematica; la lumaca o chiocciola di Pascal
prende appunto il nome dal padre Etienne, che
la studiò. Questa curva era nota agli antichi
come la concoide del cerchio, ma Etienne
Pascal ne fece uno studio così approfondito che
da allora prende il suo nome
La lumaca di Pascal è il luogo dei piedi delle perpendicolari
condotte da un punto dato A alle tangenti a una
circonferenza data.
Data la circonferenza di centro O e il punto A fuori di essa,
si traccia la tangente in un punto B alla circonferenza.
Il punto di intersezione tra la perpendicolare a detta
tangente passante per A e la tangente stessa determina
il punto che genera il luogo al variare di B sulla
circonferenza.
Soluzione con l'utilizzo della
trisettrice di Mac Laurin
La trisettrice è una famiglia di curve algebriche di ordine 3, cioè cubiche
Studiata da Colin Maclaurin nel 1742 fornisce una soluzione al problema della
trisezione di un angolo, come il nome stesso suggerisce.
La sua equazione cartesiana è:
y2 (a + x) = x2 (3-x)
in particolare sono cubiche con un nodo; le tangenti in questo punto sono
inclinate di ± 60° rispetto all'asse della curva. L'area del cappio vale la distanza
dell'origine dal punto in cui la curva taglia l'asse x è 3a.
In figura è rappresentata la trisettrice di MacLaurin con
nodo nell'origine).
Supponiamo di avere una trisettrice con
nodo nell'origine che taglia l'asse x nel
punto (-3,0), e sia P un punto qualsiasi sul
cappio della curva. L'angolo formato dai
punti[(-3,0),(-2,0),P] = 3 volte l'angolo
formato dai punti[(-2,0),(0,0),P].
Un metodo meccanico per costruire
la trisezione di un angolo
Il trisettore di Pascal
Il trisettore è una macchina matematica con un
asta imperniata in P al piano. Il sistema
articolato formato dalle due aste OA e OB di
ugual lunghezza l ha il vertice O scorrevole
lungo la scanalatura PK, l'estremo A incernierato
sull'asta a in un punto a distanza l da P e
l'estremo B scorrevole lungo l'asta a. In ogni
posizione l'angolo KPB è la terza parte
dell'angolo KOB. Per trisecare un angolo dato si
fa coincidere i suoi lati con OK e OB.
Trisettore a doppia squadra
Su una lastra di plexiglas sono disegnati due segmenti perpendicolari AC e BH, ove B
è il punto medio di AC, e la semicirconferenza
di centro C e raggio CB. Per trisecare un angolo dato si dispone la squadra in modo
tale che BH passi per il vertice dell'angolo, il punto A appartenga ad un lato e la
semicirconferenza sia tangente all'altro lato dell'angolo. I triangoli AVB, BVC e CVT
sono congruenti quindi l'angolo AVB è la terza parte dell'angolo AVT.
Il Trisettore di Kempe
I parallelogrammi articolati ABCD, ADEF, AFGH, i cui lati sono proporzionali,
hanno, a due a due, un lato e un angolo in comune, quindi sono simili. In ogni
posizione le aste AD e AF trisecano l'angolo BAH. Per trisecare un angolo è
sufficiente farne coincidere il vertice e un lato rispettivamente con A e con
l'asta AB, quindi deformare il sistema articolato portando l'asta AH a
coincidere con il secondo lato dell'angolo
CONCLUSIONI
La scienza delle costruzioni con riga e compasso è
rigorosamente teorica e non pratica.
I matematici greci si erano posti complessi
problemi di costruzione con riga e compasso
che si sono potuti risolvere con l’uso dei luoghi
geometrici e, quindi, delle coniche.
Solo nel XIX secolo, grazie alle teorie sviluppate
da Galois, Abel ed altri, questi problemi si sono
rivelati irrisolvibili con l’esclusivo uso di riga e
compasso.
