geometrie non euclidee - Unicam

GEOMETRIE
NON
EUCLIDEE
GEOMETRIE NON EUCLIDEE
Silvia Benvenuti
Silvia Benvenuti
Corso
di
Perfezionamento
Corso di Perfezionamento
Insegnare
Matematica
e
Fisica
oggi
Insegnare Matematica e Fisica oggi
Università di Camerino - Dicembre 2008
Università di Camerino - Dicembre 2008
• Gli Elementi di Euclide
• Il problema del V postulato
• La negazione del V postulato e le
geometrie non euclidee
• La geometria iperbolica
• La geometria ellittica
• Le tre geometrie
• Un vero viaggio di scoperta
Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
• Gli Elementi di Euclide
• Il problema del V postulato
• La negazione del V postulato e le geometrie
non euclidee
• La geometria iperbolica
• La geometria ellittica
• Le tre geometrie
• Un vero viaggio di scoperta
Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Manuale di gioco
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Sistema assiomatico
• Termini (primitivi e definiti)
• Assiomi e postulati
• Teoremi
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Termini
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Postulati
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Assiomi
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Proposizioni
• Le primeProposizione
28 e la 3117:sono indipendenti dal V
Proposizione
29: triangolo la somma di due
In ogni
postulato
Se r e s angoli,
sono parallele,
allora
formano
condiuna
comunque
presi,
è minore
• Dipendono
dal
V postulato
tuttesupplementari,
le altre, tra
trasversale
tretti.
angoli
coniugati interni
due
cui laangoli
29,Proposizione
la 32,interni
la 27:
47e angoli
(Teorema
di Pitagora)
alterni
corrispondenti
uguali.
32: retta
Se una
a cadere
su
• LaProposizione
17 è l’inversa
delcheV,venga
la 29
è l’inversa
In ogni altre
triangolo,
se siforma
prolunga
uno dei lati,
due rette
gli angoli
dellal’angolo
27 e alterni
28,
lainterni
32
implica
laloro,
16ledei
edue
17
esterno
è uguale
allatra
somma
due angoli
uguali
interni erette
opposti,
e la tra
somma
dei tre angoli interni
saranno
loro parallele.
del triangolo è uguale a due retti.
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Digressione
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• Gli elementi di Euclide
• Il problema del V postulato
• La negazione del V postulato e le geometrie non
euclidee
• La geometria iperbolica
• La geometria ellittica
• Le tre geometrie
• Un vero viaggio di scoperta
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Formulazioni equivalenti
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Elenco di enunciati sostitutivi
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La geometria assoluta
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• Gli elementi di Euclide
• Il problema del V postulato
• La negazione del V postulato e le geometrie non
euclidee
• La geometria iperbolica
• La geometria ellittica
• Le tre geometrie
• Un vero viaggio di scoperta
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Dalla pallavolo al beach volley: il punto di
vista del matematico moderno
Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Dati una retta r e un punto P non appartenente ad r,
esiste una e una sola retta passante per P e parallela ad r
Playfair
N1
Data una retta r e un punto P
non appartenente ad r,
esiste più di una retta passante
per P e parallela ad r
N2
Data una retta r e un punto P
non appartenente ad r,
non esiste nessuna retta
passante per P e parallela ad r
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In un triangolo la somma degli angoli interni
è uguale a 180°
Saccheri
N1
In un triangolo la somma degli
angoli interni è minore di 180°
N2
In un triangolo la somma degli
angoli interni è maggiore di 180°
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Geometria o geometrie?
“
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Libertà!
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La rivoluzione non euclidea
Immanuel Kant (1724-1804)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
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Kant … e i Munduruku
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Come violette a primavera
Due giuristi: Schweikart (1780-1859) e Taurinus (1794-1874) …
… un militare
Bolyai (1802-1860)
… e un matematico
Lobačevskij (1793-1856)
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Letteratura
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Geometrie diseducative?
Giornale di matematiche ad uso degli studenti
PRO
• Giuseppe Battaglini (1826-92)
• Eugenio Beltrami (1835-1900)
• …
CONTRO
•
•
•
•
Giusto Bellavitis (1803-80)
Angelo Genocchi (1817-89)
Luigi Cremona (1830-1903)
Francesco Brioschi (1824-97)
«geometriefilosofiche
delradicale
soprasensibile»
o «dasono
manicomio»
«a causa
delle suediimplicazioni
l’insegnamento
dellail
«i tentativi
rinnovamento
dei principi
geometria
non
euclideadello
si rivelerà
molto
utilee alla
gioventù.
portato
naturale
spirito
critico,
quando
si
«i geometri non euclidei hanno una comprensione oscura e
Infatti,
essa dilatacome
il confine
delle
nostre idee, e può
dar luogo ae
presentano
frutto
di
investigazioni
coscienziose
menti
e l’insegnamento
della
geometria alla
«è
la ragione
cheingannevoli,
impone
il dovere
di fare un po’
di pubblicità
meditazioni
elevate
e
feconde»
di convinzioni
sincere
il dovere
degli
uomini
dinelle
scienza
immaginaria
o
non
euclidea
nelle
università
e
scuole
geometria
non
euclidea,
e
quest’obbligo
è
tanto
più
pressante
in agli
geometria
non euclidea
nondi
può
«racconti di «la
fate»,
«elucubrazioni
deliranti
unprocurare
professore
è di
discuterli
confelicemente
animo
sereno,
tenendosi
lontano
darebbe
origine
a
una
razza
di
studenti
arrogante
earroganza
sciocca,
quanto
l’Italia,
divenuta
Nazione,
è
particolarmente
studenti
altro
che
stanchezza,
vuotezza,
universitario
elevate
al
rango
di
nuove
verità
sovrumane,
per»
« solougualmente
un’incredibile
ignoranza
può
spingere
a
impedirne
lo
studio
dall’entusiasmo
e
dal
disprezzo».
che
potrebbe
compromettere
la società»
interessata
a che
la esua
sua
gioventù sia al corrente
dell’ininterrotto
stupidità»
merito
della
megalomania»,
progresso delle scienze esatte».
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Libertà: l’influenza sull’arte moderna
«se si desiderasse collegare lo spazio dei pittori a qualche
geometria, bisognerebbe fare riferimento ai sapienti non
euclidei, meditare su certi [loro] teoremi»
Du cubisme (1912), Albert Gleizes e Jean Metzinger
«Lobačevskij ha fatto esplodere l’assolutismo di Euclide. Con
quadro èegli
l’arte
far incontrare
linee,
di cui siTutti
constata
Gauss«Un
e Riemann
ha di
distrutto
il rigidodue
spazio
euclideo.
geometricamente
il parallelismo,
su una tela,
gli oggetti
matematici che
essi hanno stabilito
sonodavanti ai nostri
occhi,
nellae realtà
di un mondo
trasfigurato
segua
inimmaginabili
inaccessibili
alla sensazione.
Loche
schiudersi
Pelham
Grenville
Wodehouse,
Herbert
George Wells,
Oscarnuove
Wilde,
e possibilità»
della condizioni
nuova
epoca,
annunciata
dalla
costruzione
nuovi mondi
Joseph
Conrad,
Ford
Madox Ford,
Marcel
Proust,diGertrude
Stein
Tzara
matematici, portava con sé una tentazione, eTristan
gli artisti
non(1896-1963)
hanno
saputo resistere alla sua forza seduttrice. […] Noi abbiamo
Alexander Scriabin, Edgar Varèse, George Antheil
deciso di accettare come evidenti e necessarie le concezioni che i
nostri predecessori hanno considerato come inconcepibili e che,
in effetti, essi erano incapaci di concepire».
Eliezer El Lissitzky (1830-1941)
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Coerenza logica e modellizzazione
Costruire dei modelli di geometria non euclidea all’interno di
quella euclidea:
1. interpretare gli enti primitivi della geometria non euclidea
in termini degli enti primitivi di quella euclidea;
2. tradurre gli assiomi della geometria non euclidea nei
corrispondenti enunciati euclidei;
3. dimostrare che gli enunciati euclidei così ottenuti sono tutti
teoremi validi.
la coerenza del sistema modellizzato segue
immediatamente da quella del sistema “ospite”
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• Gli elementi di Euclide
• Il problema del V postulato
• La negazione del V postulato e le geometrie non
euclidee
• La geometria iperbolica
• La geometria ellittica
• Le tre geometrie
• Un vero viaggio di scoperta
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Caccia all’intruso
???
???
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Che cos’è un segmento? Che cos’è una retta?
Segmento AB = il più breve tra
tutti i percorsi che congiungono A e B
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Le rette del mappamondo…
Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
…e le rotte degli aerei
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…e le rotte degli aerei
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Caccia all’intruso - seguito
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Infinito vs illimitato
Nozione topologica
Nozione metrica
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Formalizzando: modello della sfera - S2
(geometria ellittica doppia)
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Geometria dello sputo
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Teoremi immediati della geometria sferica
• tutte le rette hanno la stessa lunghezza finita 2π;
• il piano della geometria sferica ha area finita 4π;
• le perpendicolari a una stessa retta s si
incontrano in due punti, tra loro antipodali, che
chiamiamo poli della retta s;
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Triangoli gonfi
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Triangoli gonfi
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Niente similitudini!
Teorema dell’eccesso di Gauss:
Area (
)= α + β + γ - π
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Calcolo dell’area di un triangolo sferico
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E Pitagora?
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L’universo di Riemann…
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…e quello di Dante!
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Prospettiva sferica
Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Modello della semisfera - B2
(geometria ellittica singola)
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