il teorema di Pitagora

IL TEOREMA DI
PITAGORA
Pitagora, un genio matematico
Pitagora nacque nell’isola di Samo il 580 a. C.
All’età di sedici anni era già famoso in tutta l’isola per le sue qualità singolari. I suoi
maestri non essendo più in grado di rispondere alle sue domande, decisero di mandarlo
alla scuola di Taléte, il più celebre sapiente dell’epoca. Pitagora riuscì a sbalordire
anche Taléte. Il grande sapiente greco non solo riconobbe di non avere più nulla da
insegnare al suo allievo, ma si mise anzi a studiare le scoperte matematiche e
geometriche di Pitagora. In quel periodo Pitagora enunciò parecchi teoremi di
geometria tra i quali il teorema di Pitagora, secondo il quale l’area del quadrato
costruito sul lato più lungo (ipotenusa) di un triangolo rettangolo è uguale alla somma
delle aree dei quadrati costruiti sugli altri due lati (cateti).
Ormai Pitagora poteva considerarsi l’uomo più sapiente dell’epoca; ma la sua sapienza
non si arrestava qui. Grande genio qual era, egli si era andato formando delle teorie
personalissime sulla religione e su tutte le scienze che aveva studiato (matematica,
geometria, astronomia, medicina, musica, geografia). Il suo desiderio era di aprire una
scuola per insegnare ai giovani le sue teorie, accrescere nei giovani il sentimento
religioso ed insegnargli a vivere austeramente.
Fondò a Crotone la scuola Pitagorica dove i cittadini più autorevoli venuti a
conoscenza dei suoi principi gli affidarono con entusiasmo l’educazione dei loro figli.
Gli allievi usciti dalla sua scuola furono molto apprezzati dal popolo di Crotone
riuscendo ad occupare le più alte cariche del governo. Ma poiché essi appoggiarono il
partito democratico, quello popolare si schierò contro di loro e si narra che una sera
Pitagora fu catturato ed ucciso nel 500 a. C.
I dimostrazione del teorema di Pitagora.
Disegna un triangolo rettangolo con il
cateto minore di 3 quadretti
quello maggiore di 4 quadretti.
Disegna su ciascun cateto, un quadrato.
Colora di giallo il quadrato che ha per lato il cateto maggiore
e chiamarlo Q1.
Conta i quadratini interni al quadrato.
L’area del quadrato è di 16 quadratini.
Colora di rosso il quadrato che ha per lato il cateto minore
e chiamalo Q2.
Contare i quadratini interni al quadrato.
L’area del quadrato è di 9 quadratini.
Considera il quadrato Q che ha per lato l’ipotenusa
conta il numero di quadratini che lo formano.
Per farlo ritaglia un quadrato di lato uguale alla misura dell’ipotenusa
dal foglio del quaderno e incollalo sul quadrato Q.
Il quadrato Q è formato da 25 quadratini.
L’area del quadrato Q è di 25 quadratini.
Considera il quadrato Q e colora 16 quadratini di giallo e 9 di rosso.
RISPONDI
Hai colorato tutti i quadratini di Q?
SI NO
PUOI ALLORA AFFERMARE CHE
25 quadratini = 16 quadratini + 9 quadratini
dunque 25 quadratini sono la
poiché :
somma
di 16 quadratini e 9 quadratini
16 quadratini = Q1
9 quadratini = Q2
ALLORA
nel linguaggio matematico
Q = Q1 + Q2
Poiché
Q è il quadrato avente per lato l’ipotenusa i
Q1 è il quadrato avente per lato il cateto maggiore C
Q2 è il quadrato avente per lato il cateto minore c
l’uguaglianza
Q
= Q1
+
Q2
diventa
(ipotenusa)2 = (cateto maggiore)2+ (cateto minore)2
i2
=
C2
+
c2
Considerazioni finali
In un triangolo rettangolo, il quadrato avente per lato l’ipotenusa è equivalente alla
somma dei quadrati aventi per lati i cateti.
seconda dimostrazione del teorema di Pitagora.
Breve introduzione fatta ai ragazzi:
la parola TEOREMA deriva dal greco ed indica “una proposizione che specifica delle proprietà che
risultano evidenti mediante ragionamento”. Le fasi del ragionamento prendono il nome di
DIMOSTRAZIONE.
La prima dimostrazione del Teorema di Pitagora si trova nell’opera “Elementi” di Euclide,
matematico greco vissuto tre secoli più tardi.
Esistono anche altre dimostrazioni. Eccone una!
I due quadrati disegnati sotto hanno per lato la somma dei cateti del triangolo rettangolo T.
Tali quadrati sono congruenti.
In ciascuno di essi puoi riconoscere quattro triangoli rettangoli congruenti a T.
Se da ciascun quadrato grande togli i quattro triangoli rettangoli congruenti a T…
otterrai:
nel 1° caso: Q cioè il quadrato avente per lato l’ipotenusa di T;
nel 2° caso: Q1 + Q2 cioè la somma dei quadrati aventi per lato i cateti di T.
poiché in ciascuno dei due casi hai tolto delle figure congruenti (i quattro triangoli T), risulta
che le figure rimanenti Q e (Q1 + Q2), pur non essendo congruenti, hanno la stessa
estensioni quindi sono equivalenti.
In definitiva Q è equivalente a (Q1 + Q2).
I ragazzi hanno potuto verificarlo anche pesando i cartoncini utilizzati per svolgere
l’attività.
Utilizzando una bilancia elettronica che pesa i grammi, hanno notato che Q pesa 3g e (Q1
+ Q2) pesano 3g.
Considerazioni finali
Il quadrato avente per lato l’ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma
dei quadrati aventi per lati i cateti.