Le equazioni

Consideriamo la frase:
“un numero più se stesso è uguale al suo doppio”
e traduciamola in termini matematici indicando “un numero”
con la lettera x:
x + x = 2x
Proviamo a verificarne la validità, sostituendo alla lettera
x dei numeri a piacere:
• per x = 4,
4 + 4 = 2 x 4,
8=8
• per x = 10,
10 + 10 = 2 x 10,
20 = 20
2
x

,
• per
3
2 2
2
  2 ,
3 3
3
4 4

3 3
Continuando con altri valori di x, constateremo che l’uguaglianza
x + x = 2x è sempre valida.
Un’uguaglianza di questo tipo si chiama identità.
Un’uguaglianza fra due espressioni, di cui almeno una
letterale, verificata per qualsiasi valore attribuito alla lettera o
alle lettere che vi figurano si chiama identità.
Consideriamo adesso la frase:
“il triplo di un numero è uguale al numero stesso più 10”
e traduciamola in termini matematici indicando ancora “un numero”
con la lettera x:
3x + 2 = x + 6
•
per x = 3,
3 x 3 + 2 = 3 + 6,
•
per x = -5,
3 x (-5) + 2 = -5 + 6,
11 9
-15 + 2 = 1 13  1
•
per x = 2,
3 x 2 + 2 = 2 + 6,
6+2=8
9+2=9
L’uguaglianza 3x + 2 = x + 6 è vera solo per x = 2.
Un’uguaglianza di questo tipo si chiama equazione.
Un ‘uguaglianza fra due espressioni, di cui almeno una
letterale, verificata solo per particolari valori attribuiti alla
lettera o alle lettere che vi figurano si chiama equazione.
8=8
Le due espressioni letterali che formano
l’uguaglianza si dicono rispettivamente 1°
membro e 2° membro dell’equazione:
3x + 2 =
x+6
Le lettere (o la lettera) che compaiono
nell’espressione sono le (o la) incognite
dell’equazione:
3x + 2 = x + 6
incognita
Tutti i termini che non contengono le incognite si dicono
termini noti:
3x + 2 = x + 6
termini noti
In base al numero di lettere diverse che vi compaiono,
un’equazione si dice a una, a due, a tre, … incognite:
+4x +5 = 2x -7
equazione a una incognita
-7x + 9y = 27
equazione a due incognite
Il grado più elevato dei vari monomi che costituiscono l’equazione si
chiama grado dell’equazione; un’equazione può quindi essere di 1°,
2°, 3° … grado.
4x + 5 = 2x -7
3x² + 7 = 4x -9
equazione di 1° grado
equazione di 2° grado
I particolari valori delle incognite che rendono vera l’equazione si
dicono soluzioni o radici dell’equazione.
Risolvere un’equazione significa calcolare tutte le sue soluzioni o
radici.
Un’equazione si dice intera se l’incognita non figura al denominatore,
di dice frazionaria o fratta in caso contrario.
3x  5  7 x  8
x  2 x 3
7


3
2
8
5
x
 7
x 3 2
Consideriamo due equazioni:
6x + 4 = 28
e
10x = 6x + 16
Entrambe ammettono come unica soluzione x = 4
Esse si dicono equazioni equivalenti; diciamo che:
Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse
soluzioni.
Per risolvere qualsiasi equazione è opportuno trasformarla in una
equivalente ma di forma più semplice. Osserviamo come fare
esaminando i due principi di equivalenza delle equazioni.
Consideriamo l’equazione 2x + 2 = 12, la cui soluzione è x = 5 e
addizioniamo a entrambi i membri un numero qualsiasi, per esempio
il numero 3, otteniamo:
2x + 2 + 3 = 12 + 3
ovvero
2x + 5 = 15
La cui soluzione è ancora x = 5.
Abbiamo quindi ottenuto un’equazione equivalente a quella data.
Possiamo enunciare il 1° principio di equivalenza che dice:
Addizionando o sottraendo ai due membri di un’equazione uno
stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente
l’incognita si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
Applicazione del 1° principio di equivalenza
Consideriamo l’equazione 5x + 7 = 27 e sottraiamo a
entrambi i membri il numero 7; otteniamo:
5x + 7 – 7 = 27 – 7 ovvero 5x = 27 – 7
Osserviamo che l’ applicazione del 1° principio di
equivalenza si riduce a spostare il termine noto dal primo
membro al secondo membro dove lo ritroviamo cambiato
di segno.
Possiamo quindi affermare che:
In ogni equazione un termine qualsiasi può essere
spostato da un membro all’altro purché lo si cambi di
segno (legge del trasporto).
Applicazione del 1° principio di equivalenza
Consideriamo l’equazione 3x – 5 = 2x + 10 – 5 e applichiamo quanto
detto prima spostando il termine – 5 dal primo al secondo membro
cambiandolo di segno, otteniamo:
3x = 2x + 10 – 5 + 5
ovvero
3x = 2x + 10
Se confrontiamo le due equazioni equivalenti ci accorgiamo che
abbiamo eliminato il termine – 5 che era presente in entrambi i
membri.
Possiamo affermare che:
Se in entrambi i membri di un’equazione figurano due termini
uguali, essi possono essere eliminati.
Consideriamo l’equazione – 3x + 2 = - 22, la cui soluzione è
x = 8, e moltiplichiamo entrambi i membri per uno stesso
numero, per esempio 2; otteniamo:
2 ∙ (-3x + 2) = 2 ∙ (-22)
ovvero
-6x +4 = - 44
La cui soluzione, come potete verificare, è ancora x = 8.
Abbiamo quindi ottenuto un’equazione equivalente a quella
data.
Possiamo affermare che:
Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di un’equazione
per uno stesso numero (diverso da zero) si ottiene
un’equazione equivalente a quella data.
Applicazione del 2° principio di equivalenza
Consideriamo l’equazione 5x – 4 = 2 e applichiamo il 2°
principio di equivalenza moltiplicando per - 1 ; otteniamo:
-1∙ (5x – 4) = - 1 ∙ 2
ovvero
-2x + 4 = -2
Confrontando le due equazioni equivalenti, noteremo che
si passa dalla prima alla seconda cambiando di segno tutti
i termini dell’equazione.
Possiamo allora affermare che:
Cambiando il segno di ciascun termine di un’equazione se
ne ottiene una equivalente a quella data.
Applicazione del 2° principio di equivalenza
3
2
5
x


x

Consideriamo l’equazione:
4
3
2
e applichiamo il 2° principio di equivalenza moltiplicando i due
membri dell’equazione per il m.c.m. di tutti i denominatori, cioè per
m.c.m.(4; 3; 2) = 12
otteniamo:
1 2 3 
5
 3x 2 

12      12   x  
2
 4 3

3x
2
5
 1 2 4   12 x  1 2 6 
4 1
3 1
2 1
ovvero
9x -8 = 12x – 30
che è un’equazione equivalente a quella data con coefficienti
interi.
Un’equazione a coefficienti frazionari si può ridurre a
un’equazione a coefficienti interi a essa equivalente
moltiplicando tutti i suoi termini per il m.c.m. dei
denominatori.
Osserviamo le seguenti equazioni:
5x = 15
-3x = 10
2x = - 14
Esse presentano la stessa caratteristica: i due membri sono
rispettivamente formati da un unico termine in x il primo e da un unico
termine noto il secondo. Un’equazione di questo tipo si dice ridotta in
forma normale e la si indica con la scrittura:
ax = b
con a e b numeri reali.
La soluzione dell’equazione è
Possiamo affermare che:
b
x
a
Per risolvere un’equazione ridotta in forma normale basta dividere
il termine noto dell’equazione per il coefficiente dell’incognita.
Per risolvere un’equazione che non sia ridotta nella sua forma normale,
occorre innanzi tutto ridurla in tale forma e poi applicare la regola appena
vista. Per ridurre una qualsiasi equazione in forma normale, e quindi
risolverla, si applicano i principi di equivalenza studiati.
Esempio:
-8 +3x +14 = 7x -10
applichiamo la legge del trasporto, scriviamo al primo membro tutti i
termini contenenti l’incognita e al secondo membro tutti i termini noti:
3x -7x = 8 -14 -10
eseguiamo le addizioni algebriche che figurano ai due membri:
-4x = -16
Abbiamo trasformato la nostra equazione in forma normale, per cui:
 16
x
4
x4
Per risolvere una qualsiasi equazione di 1° grado a
un’incognita seguiamo lo schema:
1) si eliminano le parentesi eseguendo le operazioni indicate secondo le
regole del calcolo letterale;
2) se l’equazione ha coefficienti e/o termini noti frazionari, si
moltiplicano tutti i suoi termini per il m.c.m. dei denominatori;
3) si trasportano tutti i termini in x al primo membro e tutti i termini noti al
secondo membro tenendo presente la legge del trasporto;
4) si eseguono le addizioni algebriche ottenute nei due membri in modo
tale da ottenere l’equazione in forma normale: ax  b
si determina la soluzione:
b
x
a
ax  b
con a, b  0
b
La soluzione x  esiste ed è unica ; l ' equazione si dice :
a
ax  b con a  0 e b  0
0
La soluzione x  esiste ed è unica : x  0; l ' equazione è :
a
ax  b con a  0 e b  0
L' equazione diventa 0  x  0
Poiché sappiamo che non esiste alcun numero che moltiplicato
per zero ci dà un risultato diverso da zero, diremo che
l’equazione non ha soluzione. Essa si dice:
ax  b con a, b  0
L' equazione diventa 0  x  0
Sappiamo che qualsiasi numero ,moltiplicato per zero dà
zero, diremo che l’equazione ammette come soluzione un
qualsiasi numero, ha cioè infinite soluzioni. Essa di dice: