Ottimizzazione delle emissioni di Titoli di Stato
Davide Vergni
Istituto per le applicazioni del Calcolo “Mauro Picone”
Consiglio Nazionale delle Ricerche
Viale del Policlinico, 137 – 00161 Roma – Italy
http://www.iac.cnr.it/
E-mail: [email protected]
Collaborazione CNR – Ministero dell’Economia
Istituto Applicazioni
del Calcolo:
Massimiliano Adamo
Anna Lisa Amadori
Massimo Bernaschi
Maya Briani
Davide Guerri
Marco Papi
Benedetto Piccoli
Davide Vergni
Paola Fabbri
Davide Iacovoni
Francesco Natale
Stefano Scalera
Lucia Spilotro
Antonella Valletta
Che cos’è il Debito Pubblico
• Deficit pubblico
• Disavanzo pubblico
• Fabbisogno complessivo
del settore pubblico
L'indebitamento
maturato dallo Stato in
un determinato periodo,
di solito l'anno
Debito Pubblico:
Indebitamento:
il totale dei deficit annuali
accumulati da uno Stato nel
corso della sua storia.
• Avanzo (o Disavanzo) Primario:
definito dalla differenza tra il totale
delle entrate e delle uscite della
Pubblica amministrazione
• Interessi sul Debito pregresso:
spesa per gli interessi passivi
corrisposti sul debito pregresso
Importanza della gestione del debito
Il trattato di Maastricht
definisce le condizioni per
l'adozione della moneta
unica. Il Trattato venne
firmato il 7 febbraio 1992
nella cittadina olandese da
cui ha preso il nome.
Il Protocollo per i disavanzi
eccessivi del Patto di
Stabilità e Crescita è quel
protocollo del Trattato di
Maastricht che impone ai paesi
membri che partecipano alla
Unione monetaria di sottostare
ai seguenti vincoli:
Vincolo Deficit / Pil: il Deficit pubblico
deve essere inferiore al 3% del Pil.
Vincolo Debito / Pil: il Debito pubblico
deve essere inferiore al 60% del Pil.
Superare questi valori implica l’incorrere in una forte multa
Importanza della gestione del debito
1409 miliardi di Euro: Debito Pubblico: Record del Settembre 2003
40 miliardi di Euro: Deficit pubblico: stimato per il 2004
400 miliardi di Euro: Emissione annua stimata per il 2004
Valori per i vincoli del patto di Stabilità
2003
2004
Deficit/ 2.4%
PIL
2.9%
Debito/
PIL
105.9%
106.2%
Con queste cifre di Debito, l’utilizzo di una strategia di ottimizzazione che permetta
un risparmio percentuale anche minimo, porta ad cospicuo risparmio sul Deficit.
Un risparmio dello 0.5% sull’emissione annua
porta ad un risparmio di 2 miliardi di euro
Gestione del Debito
Le strategie di
ottimizzazione
possono agire:
o sull’avanzo primario
o sul costo del Debito
DEFICIT:
• Avanzo (o Disavanzo) Primario: differenza tra le entrate (e.g., tasse) e le
uscite, sia fisse (e.g., stipendi) che straordinarie (infrastrutture, investimenti). È
principalmente influenzato da scelte politiche : politica pensionistica, politica
fiscale, grandi opere…
• Interessi sul Debito pregresso: spesa per gli interessi passivi corrisposti
sul debito pregresso. Effettivamente è questo il costo del debito, che dipende
dalla sua composizione.
Composizione del Debito Pubblico
In massima parte il Debito
pubblico viene finanziato con la
vendita dei Titoli di Stato (circa
l’84% del totale del debito). Il
Ministero dell’Economia e delle
Finanze dispone regolarmente
l’emissione sul mercato interno
di quattro categorie di titoli di
Stato disponibili sia per gli
investitori privati sia per gli
investitori istituzionali:
BOT, CTZ, BTP, CCT.
La Repubblica italiana emette inoltre altri strumenti, in euro ed in
valuta estera, generalmente sottoscritti da investitori istituzionali.
Il meccanismo di vendita di tutti i titoli
è quello di un’asta competitiva sul prezzo.
Titoli di Stato
Il Tesoro Italiano emette attualmente varie categorie di titoli che si
differenziano per durata e remunerazione. La remunerazione avviene
sempre per scarto di emissione e per alcuni titoli viene pagata una
cedola semestrale che può essere a tasso fisso o a tasso variabile.
BOT Buoni Ordinari del Tesoro: Titoli senza cedola con scadenza
3, 6, e 12 mesi
CTZ Certificati del Tesoro Zero coupon: Titoli senza cedola con
scadenza a 2 anni
BTP Buoni del Tesoro Poliennali: Titoli con cedola a tasso fisso
pagata ogni 6 mesi con scadenze 3, 5, 10, 15 e 30 anni
CCT Certificati di Credito del Tesoro: Titoli con cedola a tasso
variabile (rendimento BOT 6 + spread) pagata ogni 6 mesi con durata 7 anni
BTP €i BTP indicizzato all’inflazione Europea: è un BTP a tutti
gli effetti però con capitale totale rivalutato in base all’indice di inflazione
Tassi di interesse
Sono la misura in termini percentuali della somma (interessi)
che lo stato deve pagare in un anno, per avere a disposizione la
quantità di denaro avuta in prestito con la vendita del titolo.
Tasso di interesse annuo
[prezzo di emissione, cedola]
La determinazione di un modello per i prezzi dei titoli di Stato è
basato sul concetto di Struttura per Scadenza dei Prezzi –
Struttura a Termine. Tale struttura descrive la relazione tra le
durate dei titoli e il loro rendimento alla scadenza.
Generalmente, più il prestito si protrae nel tempo
più il tasso di interesse sarà alto. In questo caso
la struttura a termine viene detta normale.
Tassi di interesse: Struttura a Termine
Si passa dagli interessi
relativamente modesti
che vengono pagati
per i BOT (attualmente
il BOT a 3 mesi paga
circa il 2% annuo di
interessi) agli interessi
abbastanza alti dei
BTP (il BTP a 30 anni
paga circa il 5.5%
annuo di interessi).
Tassi di interesse: Evoluzione
Gestione del Debito
Nella gestione del debito possiamo agire solo
sulla composizione del portafoglio titoli.
Per fare un esempio, lo stesso debito pubblico può essere coperto utilizzando
o solo BOT o solo BTP, ma queste scelte diverse corrispondono a interessi da
pagare (che entrano nel Deficit) molto diversi: bassi per quello che riguarda i
BOT, alti per quanto riguarda i BTP. La controparte è che un Debito
composto solo da BOT ha una vita media molto bassa (e quindi soffre molto
delle fluttuazioni dei tassi di interesse) mentre nel caso dei BTP il Debito ha
una vita media lunga e diventa quindi più semplice effettuare delle coperture
rispetto a fluttuazioni del mercato.
La Gestione del Debito può essere formalizzata
come un problema di ottimizzazione vincolata.
Fissata una data finestra temporale (tipicamente 5 anni)
qual’è la composizione delle future emissioni che ottimizza
il debito rispettando i vincoli istituzionali e di mercato?
Collaborazione IAC-Tesoro
•Soluzione di un problema reale: collaborazione con il Ministero
dell’Economia, Dipartimento del Tesoro, Direzione II, Ufficio II:
“Analisi dei problemi inerenti alla gestione del debito pubblico
interno ed al funzionamento dei mercati”.
•Sincronizzazione del linguaggio: Costruzione di una base
comune di discussione.
•Sviluppi di Ricerca: Costruire una linea di ricerca teorico-generale
che astragga dai termini più applicati del problema.
Individuazione di una
politica di indebitamento
ottimale
Formulazione Matematica
Sia K l’insieme di tutti i titoli
in emissione (K = 1..10)
k = 1 corrisponde al BOT a 3 mesi,
k = 2 corrisponde al BOT a 6 mesi,
………
k = 10 corrisponde al CCT a 7 anni
E sia T l’orizzonte temporale di ottimizzazione (t = 1..T).
Definiamo
Flusso di cassa
del singolo titolo
Conto Disponibilità
Il flusso complessivo di denaro per la gestione del Debito Pubblico e
per i servizi di tesoreria del ministero dell’Economia circola in un
conto corrente della Banca d’Italia detto “Conto Disponibilità”.
Useremo l’equazione di evoluzione del conto disponibilità per scrivere la
dinamica del Debito Pubblico:
Ad ogni istante è necessario che le entrate dovute alle nuove
emissioni coprano tutti i ripagamenti e le cedole dei titoli in essere
e l’avanzo primario (A(s)): equazione di rifinanziamento del debito.
Sul Conto Disponibilità sono presenti rigidi vincoli istituzionali
(servizi di tesoreria dello Stato)
Ottimizzazione
Supponendo note le componenti stocastiche del problema (i tassi di
interesse e l’avanzo primario), variando la composizione del portafoglio
titoli possiamo trovare la politica ottimale di indebitamento.
INGREDIENTI
Variabili di
Controllo
Vincoli
Funzione
Costo
?
?
Quante sono le variabili di controllo? Se consideriamo un portafoglio
di 10 titoli per un periodo di 5 anni, otteniamo 600 variabili.
Fondamentale: è possibile esprimere i vincoli e la funzione
costo come funzioni lineari delle variabili di controllo?
Vincoli
La strategia di emissione dei Titoli di Stato deve tener conto dei
seguenti vincoli, alcuni istituzionali, altri di prassi di mercato
• Vincolo
Patto di Stabilità e Crescita (Istituzionale - Comunità Europea)
• Vincolo sull’emissione netta annuale (Istituzionale – DPEF)
• Vincolo sul Conto Disponibilità (Istituzionale)
• Vincolo di Rifinanziamento (Bilancio)
• Vincoli specifici sulla composizione del portafoglio (Mercato):
• Vincolo percentuale di variazione
• Vincolo assoluto di variazione
• Vincolo sul tempo di vita media del debito
Tutti questi vincoli sono esprimibili come funzioni lineari
nei controlli (in modo esatto o in modo approssimato)
Funzione Costo
La scelta di una appropriata funzione costo e’ un tema delicato.
L’emettitore può scegliere di supportare una data politica monetaria,
oppure cercare di minimizzare certi costi o rischi. Il problema è
tuttora molto dibattuto e lungi dall’essere risolto. Sicuramente uno
degli scopi di una gestione ottimale del debito è il contenimento dei
costi per interessi pagati a seguito delle emissioni (costo del debito).
Una funzione obiettivo particolarmente rilevante per la
gestione del Debito è la spesa per interessi calcolata secondo
il criterio ESA95 (European System of Accounts 1995).
La funzione ESA95
misura, su un fissato
orizzonte temporale,
il costo per interessi
dell’intero portafoglio
titoli supponendo
che, per ciascun
titolo, i costi vengano
distribuiti sull’intero
periodo di vita.
ESA 95
Per un dato periodo temporale [t1, t2], l’ESA 95 si calcola sommando
tutte le quote di cedole e di scarti di emissione che hanno un periodo
di godimento sovrapponibile all’intervallo dato. Per quote intendiamo
il rapporto tra i giorni di vita della cedola o del titolo nel periodo in
esame diviso i giorni complessivi di vita della cedola o del titolo.
Anche in questo caso la funzione ottimo è esprimibile con
una funzioni lineare nei controlli
Programmazione Lineare
• È possibile formulare il problema della gestione ottimale dei titoli di stato in
modo lineare nelle variabili di controllo (le quantità in emissione)
• I problemi lineari sono a bassa complessità computazione (di solito polinomiale
nella taglia dell’input)
• Esistono algoritmi che risolvono problemi di PL in tempi molto rapidi:
l’algoritmo del simplesso è tra questi.
L'insieme di tutti i controlli che soddisfano i vincoli è detto
simplesso. È uno spazio compatto e convesso. Poiché la funzione
costo è lineare i suoi estremi si trovano sempre sul bordo del
simplesso. L'algoritmo del simplesso permette di trovare quel
punto dello spazio dei controlli che, oltre a verificare tutti i vincoli,
è anche il minimo della funzione costo.
Simplesso
Metodo del Simplesso
1. Si convertono tutte le diseguaglianze in equazioni
aggiungendo le variabili di scarto (slack variables), una
per ogni equazione.
2. Si sceglie una soluzione ammissibile di base e si calcola il
corrispondente valore della funzione obiettivo.
3. Con un procedimento iterativo si passa ad una nuova
soluzione ammissibile di base in modo che la funzione
obiettivo abbia un valore maggiore, finché non si
ottengono più miglioramenti.
(G.B. Dantzig, 1947)
Struttura dell’Ottimizzatore
Componenti Stocastiche
Due sono le principali sorgenti di indeterminazione
• Avanzo primario: legato a politiche economiche e
sostanzialmente stagionale.
•Evoluzione dei tassi di interesse: modellizzazione basata
su equazioni differenziali stocastiche:
drt = μ(rt, t)+ σ (rt ,t) dBt
Un modello per il tasso di interesse a breve corrisponde ad
una specifica forma funzionale di μ(rt, t), σ (rt ,t)
Ottimizzazione Multiscenario
Come scegliere il portafoglio da usare per le
emissioni a partire dai vari portafogli ottimi?
Scelta Fissa: si decide di scegliere un unico portafoglio ui da
utilizzare per tutte le emissioni del periodo di ottimizzazione in
base alle sue caratteristiche di costo e di rischio.
Scelta fissa: Distribuzione dei Costi
Si calcola il costo di ogni portafoglio ottimo rispetto a tutti
gli scenari generati. Ovviamente è necessario fare degli
aggiustamenti al portafoglio affinché soddisfi tutti i vincoli
anche rispetto ad uno scenario dei tassi differente.
Indichiamo con:
gli N scenari dei tassi,
il portafoglio ottimo
per lo scenario i
il portafoglio i
adattato per lo
scenario j
il costo del portafoglio i
sullo scenario j
Analisi Costo-Rischio
A partire da questa distribuzione di
probabilità, che indichiamo con
è possibile costruire delle misure di
costo e di rischio per ogni
portafoglio
.
Come misure di costo possiamo
scegliere il valore ottimo dell’ESA, il
valore medio, o il valore massimo…
Come misure di rischio possiamo scegliere la deviazione
standard della distribuzione, il suo valore massimo, oppure
usare dei misuratori di rischio un po’ più evoluti:
VaR: Un Value at Risk modificato
ES: Expected Shortfall
Analisi Costo-Rischio
VaR: definiamo il VaR di un portafoglio come quel valore dell'ESA
che con una certa probabilità, p, non sarà superato alla fine
del periodo, tenendo fisso il portafoglio al variare dei tassi.
ES: definiamo ES come il valore atteso della spesa in eccesso qualora
venga superata una soglia prefissata di rischio (ad esempio il VaR)
Note: Per calcolare il VaR è necessario fissare una probabilità di rischio, una
finestra temporale ed una distribuzione di probabilità. Per calcolare l’ES è
necessario prima fissare una misura di rischio. L’ES, in qualche senso, è anche
un indicatore della robustezza di quella misura di rischio.
Grafici Costo-Rischio
Costo = Esa Ottimo,
Rischio = Dev. dell’ESA
Costo = Esa Medio,
Rischio = VaR al 90%
Qual è il miglior grafico Costo-Rischio?
Come si sceglie il portafoglio ottimo?
Scelta fissa: portafoglio da utilizzare
Il problema centrale, quando si hanno molti portafogli, è come scegliere quello
che effettivamente si utilizzerà per l’emissione. Il metodo che proponiamo di
utilizzare è quello di fissare una misura di rischio (per esempio il VaR) e quindi
scegliere come portafoglio ``di emissione'' quello che ha il minimo VaR:
In questo modo è garantito (statisticamente rispetto agli scenari
estratti) che il portafoglio scelto ha il VaR della spesa per interessi
più basso; ed in più, è sicuramente ottimo per almeno uno scenario
Analogamente, un'altra possibilità è scegliere quel portafoglio che ha il
minimo Expected Shortfall rispetto alla misura di rischio scelta:
Scelta iterata
Alla scelta fissa contrapponiamo la scelta iterata
Struttura a termine al tempo i.
Previsione al tempo i della struttura a termine del tempo t (t > i).
Composizione del portafoglio titoli effettivamente emesso al tempo i.
Composizione del portafoglio al tempo t emesso al tempo i (t > i).
Ad ogni tempo i supponiamo nota la struttura a termine
.A
partire da questa costruiamo l'intero scenario di evoluzione dei tassi
fino al tempo T (orizzonte temporale della simulazione):
con
i < t T. Da questo scenario dei tassi otteniamo il portafoglio che
minimizza l’ESA95 nel periodo i t T:
. Di tutte le emissioni
si usa effettivamente solo quella relativa al tempo attuale, e si pone
Scelta iterata: schema
La strategia iterata è certamente molto più realistica e ragionevole
della strategia fissa in quanto si adatta automaticamente alla
evoluzione degli scenari dei tassi.
Inoltre, con una strategia iterata ci aspettiamo un errore più
basso tra l’emissione effettuata e il minimo assoluto rispetto
allo scenario dei tassi realizzato.
Confronto scelta fissa - scelta iterata
Come osservabile della bontà della scelta del portafoglio
usiamo la differenza tra il minimo assoluto dell’ESA95 e
quello realizzato con il portafoglio scelto:
fissa
iterata
ERR
ERR
Stato del progetto
• Il prototipo software è stato completamente sviluppato ed è
attualmente funzionante ed utilizzato dal personale del Ministero.
• È implementata la strategia fissa nella scelta del portafoglio con la
relativa analisi costo rischio
• Tutte le funzioni di calcolo sono state validate su dati reali.
• Sono impiegati due generatori di scenari. Uno basato su processi
di Langevin, l’altro sull’analisi per componenti principali.
• La sperimentazione è in corso presso il Ministero dell’Economia.
Problemi aperti
• Dicotomia strategia fissa - strategia iterata: Il problema
riguarda la politica dichiarata dall’emettitore nei documenti
di programmazione.
• Analisi Costo-Rischio strategia iterata.
• Miglioramenti sul modello per l’evoluzione dei tassi ed
introduzione di nuovi generatori.
• Ottimizzazione lineare stocastica.
• Inclusione dei titoli in valuta e di quelli legati all’inflazione.
• Costruzione di un modello interagente per le componenti
stocastiche che segua l’andamento macroeconomico.
• Ottimizzazione non lineare.
• Utilizzo di tecniche tipiche di controllo ingegneristico.
