Equation of State (EOS) - INFN

L'ebollizione dei nuclei:
termodinamica dei sistemi nucleari
M. Bruno
F. Cannata, M. D’Agostino, E. Geraci, P. Marini,
J. De Sanctis, G. Vannini
Universita’ Bologna
INFN-Bologna
NUCL-EX in collaborazione con
INFN e Universita’ Firenze, Milano, Napoli e Trieste
INFN – Laboratori Nazionali di Legnaro
LPC e GANIL – Caen (Francia)
IPN – Orsay (Francia)
Forze nucleari:
repulsive a piccole distanze
attrattive a grandi distanze
H.Jaqaman et al. PRC27(1983)2782
Simili a forze di Van der Waals
Cambiamenti di stato
Temperatura (Gradi)
Cambiamenti di stato
Calore (Calorie per grammo)
Acqua
Equazione di stato per la materia
nucleare
Sono possibili
transizioni di fase?
Il nucleo a basse
energie di eccitazione
si comporta come un
liquido (formula di
massa di Weizsäcker)
ad alta energie di
eccitazione come un
gas (modello a gas
di Fermi)
Aladin PRL1995
Equazione di Stato (EOS)
Big Bang
Adronizzazione plasma quark-gluoni
Neutron
Stars
Densita’ nucleare ρ0
Equazione di Stato a bassa densita’ e
temperatura
LNL-LNS
Ph. Chomaz, Nucl. Phys. A685 (2001) 274
Caratteristiche generali delle transizioni di fase
Keywords
QG Plasma
Liquid-Gas
Soppressione di canali J/Ψ
Risonanza gigante di dipolo
Fenomeno critico
deconfinamento
multiframmentazione
Tempi di equilibrio e
di rilassamento
teq≈ 1 fm/c
teq≈ 100 fm/c
Parametri critici
Temperatura critica
(Tc ≈ 170 MeV)
Esponenti critici
Temperatura critica
(Tc ≈ 5 MeV)
Esponenti critici
Fluttuazioni
temperatura e
molteplicita’
energia
(capacita’ termica negativa)
Ordine della
transizione
Primo o secondo?
Primo o secondo?
Dinamica o termodinamica?
Il sistema evolve dinamicamente e puo’ essere
trattato con equazioni dinamiche tipo BUU

f
v12 f c
p f U f

      d 2    I f 
t m r
r p
r1 p1

  
   
1
I f  
dp 2 dp1dp 2 w( p1 , p 2 , p1 , p 2 ) ( PTOT ) ( ETOT )

2m
Tenendo conto che l’interazione e’ un’interazione
di campo medio + una serie di collisioni nucleone-nucleone 
si ottiene come risultato, per collisioni centrali, un sistema
unico che risulta equilibrato  si puo’ trattare
termodinamicamente
Temperatura
Ipotesi: equilibrio
pendenza : effetti dinamici
doppio rapporto isotopico
si elimina la dipendenza
dalle proprieta’ chimiche
popolazione di stati eccitati
Transizioni di fase
Sistema infinito PVT con diverse fasi N1+N2 particelle
Energia libera di Gibbs G = G(T,P,N1,N2)
Coesistenza di fase
G = G1 + G2 1,2 liquido,vapore
Potenziale chimico μ
μi = ∂G/∂Ni
Equilibrio (T e p costanti) μ1 = μ2
Entropia
S = - (∂μ/∂T)P
Volume molare
V = (∂μ/∂P)T
Se S e V sono discontinui

I ordine
 λ = T (S2 – S1) ≠ 0
(calore latente)
Se S e V sono continui e la discontinuita’ e’ verificata ad
ordini piu’ alti  transizione del II ordine  S1 = S2 e λ = 0
Transizioni di fase del II ordine
Fenomeni critici
Fenomeni critici  comportamento vicino alla temperatura critica
Parametro d’ordine  quantita’ che differenzia il comportamento sopra o
sotto la temperatura critica
Esempi: transizione ferromagnetica-paramagnetica  m(0)
transizione liquido – gas dell’acqua  (v - ℓ)
distanza dal punto critico  ε = (T - Tc) oppure ε = (p - pc)
Si possono parametrizzare con leggi di potenza alcune quantita’ in
prossimita’ del punto critico: compressibilita’ isoterma, calore specifico, ...
Esponenti delle leggi di potenza  ESPONENTI CRITICI (α,β,γ,δ,η,ν)
C ~ |ε|-α
(v - ℓ) ~ |ε|β
χ ~ |ε|-γ
calore specifico
parametro d’ordine
(v - ℓ) ~ |H|1/δ
G2(r) ~ 1/rd-2+η
equazione di stato
funzione di correlazione
ξ ~ |ε|-ν
lunghezza di correlazione
~ significa che la parte singolare si comporta come …
solo due esponenti critici sono indipendenti
compressibilita’ isoterma
Transizioni di fase del II ordine
modello di Fisher
basato sulla variazione di energia libera in un gas
quando si forma una goccia di liquido
(goccia di massa A in gas di A+B nucleoni)
Gcon goccia = μℓA + μgB + 4π R2 σ + T  lnA
Gno goccia = μg(A+B)
da cui la probabilita’ (insieme gran canonico) di
formazione di una goccia di massa A 
4r02A2/3 2 / 3   
  g  
Y(A)  Y0 exp 
A
A A
T
 T

Al punto critico μg = μℓ e σ  0  Y(A)  A-
M. E. Fisher, Rep. Prog. Phys. 30 (1967) 615
Transizioni di fase del II ordine
Percolazione
Modello geometrico
occupazione di siti popolati con probabilita’ p
Parametro d’ordine p-pc.
Per p  pc esiste il “percolating cluster”
Momenti della distribuzione della massa dei frammenti
m1 = ∑nss ~ |ε|-β
m2 = ∑nss2 ~ |ε|-γ
mk = ∑nssk ~ |ε| (τ-1-k)/σ
σ= (τ-2)/β
ε = p -pc
ns numero dei siti occupati di dimensione s
Frammenti di massa s
Divergenze  picchi nelle distribuzioni
Transizioni di fase del I ordine
EOS: che trasformazione?
Temperatura
P = cost
<V> = cost
Ph. Chomaz, F. Gulminelli Nucl. Phys. A 749 (2005) 3
Transizioni di fase del I ordine
Energy
Temperature
Temperature
Energy
Energy
Energy
M.S.Challa 1988, D.Gross 1996
finito
S=logW
S=logW
infinito
Capacita’ termica
microcanonica
P(E1)
Suddividiamo l’energia totale
E = E1 + E2
la probabilita’ di trovare un valore E1
P(E1) =
W1(E1)W2(E2)
W(E)
=e
In corrispondenza del valore piu’ probabile E1 :
1/T1 = ∂S1/E = ∂S2/E = 1/T2
Le
fluttuazioni 2 :
Il calore specifico :
E2
S1(E1) +S2(E2)-S(E)
2 =
C1 C2
T-2 (C1+C2)
C12
C=
(C1 - σ12/T2)

Transizioni di fase del I ordine - sistemi finiti
La curva calorica
dipende dalla
trasformazione
LABORATORI
acceleratori
GANIL – 10/100 AMeV
MSU – 15/100 AMeV
LNS – 15/50 AMeV
LNL – 10/15 AMeV
GSI – 50/3000 AMeV
acceleratori futuri
ioni radioattivi
GANIL – 10/20 AMeV
MSU – 15/100 AMeV ?
LNS – 5/10 AMeV
LNL – 10/15 AMeV
GSI – 10 AMeV/ 1AGeV
GSI
GANIL
LNL
LNS
MSU (USA)
Studio sperimentale di un fluido nucleare di
van der Waals – Collisioni fra ioni pesanti
Scopi: studiare la termodinamica di un sistema nucleare
(finito, carico, 2 componenti)
osservabili per identificare la transizione di fase
Studio:sistemi a diverse energie di eccitazione
reazioni periferiche – funzioni di eccitazione
reazioni centrali – energia di eccitazione ben definita
Dai prodotti di reazione misurati ottenere informazioni su:




partizioni primarie
equilibrio
comportamento critico
segnali termodinamici
Collisioni fra ioni pesanti ad energie intermedie
FREEZE-OUT
Pre-equilibrio
Bersaglio
Proiettile
Compressione
Frammentazione
Decadimenti secondari
Espansione
~20 fm/c
(10-22 sec)
~100 fm/c
~100÷1000 fm/c
Vuoto
(10-6 mb)
R
I
V
E
L
A
T
O
R
E
4

~1014 fm/c
Collisioni fra ioni pesanti: Apparati a 4π
•Zi, ki, θi, φi sono misurati per quasi tutti
i prodotti carichi, evento per evento, con
buona risoluzione energetica (pochi %) e
basse soglie energetiche (rivelatori a
gas). Le masse mi sono misurate per
frammenti leggeri
•Frammenti e particelle sono rivelati a
~1014 fm/c, con le stesse caratteristiche
di 103 fm/c, poiche’ la propagazione in
vuoto non permette interazioni con la
materia
•Analisi statistiche multidimensionali su
osservabili globali per evento permettono
di selezionare gli eventi in classi di
centralita’
•Il sistema che decade puo’ essere identificato e
la sua energia di eccitazione ottenuta per
calorimetria dal bilancio energetico:
M
E *  m0   ( m i  k i )  M n m n  k n 
i 1
Multics&Miniball
Garfield
Indra, Isis, Fasa,
EOS, Lassa,
Nimrod, ...
Caratterizzazione degli eventi: analisi multidimensionale
Multics-NPA650 (1999) 329
Collisioni
periferiche
(binarie):
due sorgenti
Central collisions
25 AMeV Au+C
Au+Cu Au+Cu
*=1.5
Collisioni
centrali:
una sorgente
M
*=3
Tij   pi p j w (i,j  1,3 )
(k)
(k )
(k )
k 1
Multics-NPA724 (2003) 329
*=4.5
Au+Au 35 AMeV
*=7 A.MeV
Come accertare l’equilibrazione della sorgente ?
Equilibrio ?
isotropia
Collisioni centrali
Z>8
>18
>28
>38
>48
>58
>68
cerchi vuoti
cerchi pieni
quadrati vuoti
quadrati pieni
triangoli vuoti
triangoli pieni
croci vuote
MulticsNPA734(2004)487
Collisioni periferiche
Equilibrio ?
Collisioni centrali
Popolazione uniforme dello spazio delle fasi
Sorgente Au:
Collisioni
periferiche
simboli: dati
linee: modello
termico (SMM)
<*>= 1.5, 2.5,
3.5, 4.5, 5, 6
AMeV
Multics-NPA650 (1999) 329
Osservabili statici da
liquido+vapore a droplets sono
riprodotti da modelli termici
Multics-NPA724 (2003) 329
Equilibrio ? Indipendenza dal canale di ingresso
Sorgenti alla stessa ε*
A.Bonasera, Phys.World Feb.1999
Z-2.1
Au nuclei: Multics-NPA650(1999)329
H clusters: B.Farizon, PRL81(1999)4108
Multics: Au centrali da Z0=85 a Z0=100 (linee)
Multics: Au periferiche Z0=79 (simboli)
La
multiframmentazione
e’
un
fenomeno
termico
Isis: π+Au 8 GeV/c NPA734(2004)487
critico?
Fasa: p,α+Au 4-14 GeV NPA709(2002)392
Self similarity e scaling
Le leggi di potenza sono universali: tutta
l’informazione viene condensata su una singola curva
Multics NPA724 (2003) 455
Fisher 1967
nA=q0A-exp(- c0A)
T
yield scalato: nA/(q0A-
temperatura scalata: A/T
PRL2002
EoSIsIs
PRC2003
Possiamo concludere che il sistema ha raggiunto il punto critico?
Esponenti critici
Au Liquido-Gas
dall’analisi dei momenti
 

-β
m1 = ∑nss ~ |ε|
 
2
-γ
m2 = ∑nss ~ |ε|
 eV

c
mk = ∑nssk ~ |ε| (τ-1-k)/σ
NO:
Il sistema e’ finito: le leggi di potenza si trovano a
σ=
(τ-2)/β
tutte le densita’ nella regione di coesistenza (Lattice-gas)
Termodinamica microcanonica di
sistemi finiti
Eventi ordinati in funzione di E* (calorimetria)
E*= Econfig
+ Ekin
E*= Ecoul(V)+Qv+ Eint(T)+Etr(T)
Possiamo risalire dai dati
•volume medio (ρ) del sistema
•temperatura T
con il vincolo della conservazione d’energia
Multics-Nucl.Phys.A699(2002)795
Informazioni dagli osservabili misurati:
volume medio
Cerchi neri = Dati Multics
Quadrati rossi = traiettorie Coulombiane
Capacita’ termica microcanonica dalle fluttuazioni
E*=Econfig+Ekin
(2config= 2kin)
Econfig =Qv+Ecoul(V)
Ekin = Etrasl(T)+Einternal(T)
Il sistema e’ caratterizzato termodinamicamente:
Ph.Chomaz , F.Gulminelli, NPA 647(1999) 153
Ckin/C = 1-2kin/2can
dove:
Le fluttuazioni microcanoniche
sono piu’ grandi del valore
di aspettazione canonico?
2can=T2Ckin=T2dEkin/dT
Multics-PLB473 (2000) 219;NPA699 (2002) 795;NPA734 (2004) 512
Capacita’ termica dalle fluttuazioni
Multics:
PLB473 (2000) 219
NPA699 (2002) 795
NPA734 (2004) 512
Indra: NPA699(2002)795
Zona grigia: collisioni periferiche
Punti: collisioni centrali :
Au+C
Au+Cu
Au+Au
transizione di fase
del primo ordine
Transizione di fase liquido-gas: abbiamo finito?
Au
Liquido-Gas
 

 
c eV
Comportamento
critico all’interno
della regione
di coesistenza
Liquid-drop
Cosa rimane per misure future?
INFORMAZIONI SPERIMENTALI COINCIDENTI
 Una migliore informazione
quantitativa
 Informazioni sperimentali
coincidenti sono necessarie
su:
•Partizione critica del sistema,
fluttuazioni
•energia di eccitazione
calorimetrica
•temperatura isotopica
•vicinanza dei prodotti di
decadimento
Rivelazione a 4π
di massa e carica !!
Multics NPA 2004
E*/A (A.MeV)
Multics E1=20.3 E2=6.50.7
Isis
E1=2.5 E2 =7.
Indra
E2=6.0.5
Cosa rimane per misure future?
Una dimensione ulteriore dell’EoS
sono necessari apparati di
seconda generazione e fasci di
ioni esotici per investigare a
fondo la transizione di fase
variando:
le proprieta’ Coulombiane
il contenuto di isospin (N/Z)
della sorgente che frammenta
Temperatura della transizione
T raggiunge la
saturazione alla
multiframmentazione
30-60
60-100
Il valore di saturazione
decresce al crescere
della dimensione
100-140

La dipendenza della
temperatura di saturazione
dall’isospin potra’ essere
studiata con fasci radioattivi
J.B.Natowitz, Phys. Rev.C 65 (2002) 34618
140-180
180-240
A partire dalla parte liquida EP/AP < 25 A MeV AP+T~100
(Laboratori Nazionali di Legnaro-INFN-Italy)
Collaborazione nucl-ex: apparato GARFIELD
Side Isotope Array
•Soglie d’energia basse (camere a ionizzazione come ΔE)
•Alta granularita’: 400 ΔE-E telescopi  4o-150o
•Identificazione in massa (1<=Z<=8) fino a  90o
•Elettronica digitale per discriminazione in forma del segnale CsI
(identificazione in massa per Z<=4)
Esperimenti con sistemi ricchi/poveri in neutroni
32S+58Ni
e
32S+64Ni
collaborazione nucl-ex&garfield
a 14.5 AMeV
Conclusioni
Multics NPA 2004
 La fisica dei nuclei caldi:
un laboratorio unico
• Per la termodinamica di sistemi finiti,
carichi e a due componenti
• Per informazioni quantitative sulla
metrologia nucleare
• Per connessioni interdisciplinari
1+R(q)
1+R(q)
E*/A (A.MeV)
Multics E1=20.3 E2=6.50.7
Isis
E1=2.5 E2 =7.
Indra
E2=6.0.5
Abbiamo bisogno di:
• rivelazione di carica e massa a 4
• fasci radioattivi a 20-50 A.MeV
Collaborazione nucl-ex&garfield