Kaprekar

Chi non conosce la matematica
difficilmente riesce a cogliere la
bellezza, la più intima bellezza,
della natura.
R.P. Feynman
cenni biografici
Dattaraya Ramchandra Kaprekar (Dahanu, 17 gennaio 1905 – Deolali, 1986)
è stato un matematico indiano, che ha ottenuto diversi risultati di Teoria
dei numeri, tra i quali una classe di numeri e di costanti a cui ha dato il
nome. A lui si deve anche la definizione dei numeri di Harshad. Pur non
avendo alcuna formazione post-laurea e lavorando come insegnante,
pubblicò diversi articoli scientifici e divenne noto nei circoli di Matematica
ricreativa.
Kaprekar studiò presso la scuola superiore di Thane ed il Fergusson
College di Pune. Nel 1927 vinse il premio Wrangler R. P. Paranjpe
Mathematical per l'originalità del suo lavoro nel campo della Matematica.
Successivamente frequentò l’Università di Mumbai, laureandosi nel 1929.
Poiché non ebbe mai una formazione accademica superiore, per tutta la sua
carriera (1930-1962) lavorò come insegnante nella scuola di Nashik nella
regione indiana del Maharashtra. Pubblicò diversi articoli su argomenti,
allora considerati di matematica ricreativa, quali i decimali ricorrenti,
i quadrati magici ed interi con proprietà speciali.
In matematica, un numero di Kaprekar in una data base è un numero intero nonnegativo, il cui quadrato nella data base sia un numero che può essere diviso in due parti
tali che, sommate tra loro, diano di nuovo il numero di partenza. Per esempio, 297 è un
numero di Kaprekar in base 10, perché 297² = 88209, che si può dividere in 88 e 209, e
88 + 209 = 297. La seconda parte può iniziare con uno zero, ma deve essere un numero
positivo. Per esempio, 999 è un numero di Kaprekar in base 10, poiché 999² = 998001,
che si può dividere in 998 e 001, e 998 + 001 = 999. Invece 100 non lo è perchè anche
se 100² = 10000 e 100 + 00 = 100, la seconda parte (00) non è un numero positivo.
Volendo formulare la cosa in termini matematici, si prenda un numero X che sia intero e
non negativo. X è un numero di Kaprekar in base b se esistono dei numeri interi non
negativi n, A e B che soddisfino le tre condizioni seguenti:
0 < B < bnX² = Abn + BX = A + B
I primi numeri di Kaprekar in base 10 sono:
1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777,
9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819,
187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830,
499500, 500500, 533170. Nella numerazione binaria, tutti i numeri perfetti pari sono
numeri di Kaprekar.
Per ogni base esistono infiniti numeri di Kaprekar; in particolare, per una data
base b tutti i numeri di forma bn - 1 sono numeri di Kaprekar.
… Nel 1947 il matematico Dattathreya Ramachandra Kaprekar escogitò
un processo oggi noto come ‘’operazione di Kaprekar’’.
L’operazione di Kaprekar prevede in tutto cinque semplici passaggi:
1) Scegliere un numero di quattro cifre che non siano tutte uguali;
2) Risistemare le cifre in modo da ottenere il numero più grande possibile e annotarlo;
3) Disporre nuovamente le cifre così da avere il numero più piccolo possibile;
4) Sottrarre il più piccolo al più grande;
5) Ripetere il procedimento dal punto 2.
È sì una semplice operazione, ma proprio attraverso questo gioco Kaprekar giunse ad un risultato
sorprendente. Proviamo ad esempio con il numero 2005: il massimo numero che è possibile
ottenere è 5200, mentre il minimo 0025 o, più semplicemente, 25. Infatti, se tra le cifre
presenti vi è uno 0 o più, questi non vanno considerati nel formare il numero più piccolo.
Le sottrazioni saranno le seguenti:
•
•
•
•
•
•
•
•
5200 – 0025 = 5175
7551 – 1557 = 5994
9954 – 4599 = 5355
5553 – 3555 = 1998
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532
8532 – 2358 = 6174
7641 – 1467 = 6174
Quando si raggiunge 6174, l’operazione si ripete uguale all’infinito, ritornando ogni volta a 6174.
Il numero 6174 è conosciuto come la costante di Kaprekar
Il numero 6174 è il fulcro dell'operazione di Kaprekar. Ma è una semplice
coincidenza o c’è qualcosa di ancor più sorprendente? Se si prova, ad
esempio, con il numero 1789, cosa si ottiene? Proviamo:
• 9871 – 1789 = 8082
• 8820 – 0288 = 8532
• 8532 – 2358 = 6174
• Otteniamo di nuovo 6174!
Con il numero 2005, il sistema arriva a 6174 in sette passaggi mentre per il
1789 solo in tre. In realtà, si ottiene il numero magico 6174 in tutti i casi
ad eccezione di quando si sceglie un numero che ha le cifre tutte uguali (es.
6666 – 6666 = 0!) o che ne ha tre uguali e un’unica diversa più grande o più
piccola di un’unità (es. 4443 – 3444 = 999 oppure 8777 – 7778 = 999!). È
meraviglioso, non è così? Nella sua semplicità, l’operazione di Kaprekar
fornisce un risultato sicuramente interessante che aumenta ancor più la sua
singolarità se si riflette sulla ragione per cui tutti i numeri di quattro cifre
approdano al numero 6174.
Le cifre di un qualsiasi numero (in questo caso quattro) possono essere risistemate disponendole in
ordine decrescente nel numero dal valore massimo, e nel numero minimo con le cifre in ordine crescente.
Così, prese le quattro ipotetiche cifre a, b, c, d dove 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 e a, b, c, d non sono tutti uguali
(o tre uguali e l’altro maggiore o minore di un’unità), il numero massimo sarà ’’abcd ’’e il minimo ’’dcba’’. A
questo punto si può calcolare il risultato dell’operazione di Kaprekar usando il metodo standard della
sottrazione:
a
d
P
b
c
Q
c
b
R
d
a
S
=
Con le seguenti relazioni:
•
•
•
•
S = 10 + d – a (e a > d)
R = 10 + c – 1 – b = 9 + c – b (e b > c – 1)
Q = b – 1 – c ( e b > c)
P=a–d
e mantenendo sempre valida la regola a > b > c > d, ad un numero si può applicare l’operazione di Kaprekar
se la differenza PQRS può essere scritta utilizzando le quattro cifre iniziali a, b, c, d. Possiamo così
trovare il nucleo dell’operazione di Kaprekar (6174) considerando tutte le possibili combinazioni di {a, b,
c, d} e controllando se soddisfano le relazioni scritte sopra.
Si rivela dunque che una sola di queste combinazioni ha per soluzione dei numeri interi che soddisfano 9
≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Tale combinazione è PQRS = bdac, e la soluzione delle equazioni simultanee è a = 7, b =
6, c = 4, d = 1; in pratica PQRS = 6174. Non si raggiungono invece soluzioni valide risultanti con alcune
cifre {a, b, c, d} uguali. Perciò il numero 6174 è l’unico numero che non cambia nell’operazione di
Kaprekar – il numero misterioso è pertanto unico!
C’è da aggiungere inoltre che per i numeri a tre cifre si presenta il medesimo fenomeno. Per esempio, applicando
l’operazione di Kaprekar al numero 753, otteniamo il seguente risultato:
•
753 – 357 = 396
•
963 – 369 = 594
•
954 – 459 = 495
•
954 – 459 = 495
Il numero 495 risulta, al pari del 6174, la soluzione unica per l’operazione di Kaprekar applicata su numeri con tre
cifre (non tutte uguali e, se due uguali, quella diversa non maggiore o minore di un’unità).
Già verso la metà degli anni ‘70, l’operazione di Kaprekar era conosciuta e studiata da molti matematici sparsi in
tutto il mondo e già allora sembrava alquanto semplice dimostrare perché accadesse questo fenomeno, ma non si
riusciva a capire la ragione che stava dietro. Prima di tutto iniziarono a servirsi di un computer per verificare se
tutti i numeri di quattro cifre (eccetto le eccezioni prima citate) raggiungessero la “chiave” 6174 in un numero
limitato di passaggi. Il risultato fornito da un programma in Visual Basic sentenziò che tutti i numeri
raggiungevano 6174 in sette passaggi al massimo e, in caso contrario, si doveva attribuire l’errore ad una svista nel
calcolo. Ecco la tabella con numero di passaggi e frequenza:
Passaggi
0
1
2
3
4
5
6
7
Frequenza
1
356
519
2124
1124
1379
1508
1980
Malcolm Lines
Uno dei primi studiosi dell’operazione di Kaprekar, Malcolm Lines, dimostrò in uno dei
suoi articoli che era sufficiente verificare soltanto 30 degli 8991 possibili numeri a
quattro cifre.
Sempre premesso che 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0, si può calcolare la prima sottrazione
scrivendo il numero massimo come 1000a + 100b + 10c + d e il minimo come 1000d +
100c + 10b + a. Pertanto la sottrazione è:
1000a + 100b + 10c + d – (1000d + 100c + 10b + a) =
= 1000(a – d) + 100 (b – c) + 10 (c – b) + (d – a) =
=999(a – d) + 90(b – c).
I possibili valori di (a – d) sono compresi tra 1 e 9 (perché a è necessariamente
maggiore di d, altrimenti a = b = c = d e non sarebbe valido), mentre per (b – c) vanno
da 0 a 9 (infatti b ≥ c). Si può quindi costruire una tabella con tutti i risultati
possibili:

Noi siamo però interessati unicamente
dai numeri le cui cifre non sono tutte
uguali e rispettano la premessa a ≥ b ≥
c ≥ d; perciò bisogna considerare solo
quei numeri dove (a – d) ≥ (b – c),
ignorando gli altri (settore in grigio) in
cui (a – d) < (b – c). Questi vanno poi
disposti a formare il numero maggiore
con le quattro cifre. In seguito
verranno disposti nelle colonne in
ordine decrescente così da averli
pronti per la successiva sottrazione:
In grigio ci sono numeri che si ripetono nella
tabella e che di conseguenza vanno considerati
una volta sola. Rimangono così solamente 30
numeri cui, applicando l’operazione di Kaprekar,
danno i risultati qui riportati sotto forma di
schema:
Si è visto come i numeri di tre e quattro cifre raggiungano (quasi) sempre rispettivi numeri 495 e 6174; ma
cosa succede con gli altri numeri? I risultati sono discordanti!
Proviamo, ad esempio, con un numero di due cifre, 28:
82 – 28 = 45
54 – 45 = 9
90 – 09 = 81
81 – 18 = 63
63 – 36 = 27
72 – 27 = 45
54 – 45 = 9
Non ci va molto tempo per scoprire che tutti i numeri a due cifre (non uguali tra loro e una cifra non
maggiore o minore di un’unità rispetto all’altra) danno la sequenza 9 → 81 → 63 → 27 → 45 → 9 … che si
ripete all’infinito. Non c’è, dunque, una chiave per i numeri a due cifre!
E cosa succede con numeri di cinque cifre? Si comportano come quelli a tre e quattro cifre o come quelli a
due? Logicamente, per rispondere a questa domanda, è necessario adottare il metodo seguito in precedenza
analizzando tutte le 120 combinazioni di {a, b, c, d, e} il cui risultato sia PQRST e che rispettino la regola 9 ≥
a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0. Fortunatamente i calcolatori sono in grado di risolvere rapidamente questo quesito
dandoci una risposta particolare: applicando l’operazione di Kaprekar ai numeri di cinque cifre si ottiene
sempre una di tre possibili sequenze che si ripetono infinitamente:
71973 → 83952 → 74943 → 62964 → 71973 …
75933 → 63951 → 61974 → 82962 → 75933 …
59994 → 53955 → 59994 …
Altri informatici e matematici si sono preoccupati di verificare il risultato con numeri di sei, sette e più
cifre. Il lavoro era chiaramente sempre più duro e il risultato non conduceva a nessuna spiegazione
matematica valida per tutti i numeri, indipendentemente da quante fossero le cifre.
Riportiamo i risultati ottenuti con numeri fino a dieci cifre
Cifre
Chiave
2
Nessuna
3
495
4
6174
5
Nessuna
6
549945, 631764
7
Nessuna
8
63317664, 97508421
9
554999445, 864197532
10
6333176664, 9753086421,
9975084201
Riassumendo, si è visto che (quasi) tutti i
numeri a tre cifre arrivano
concordemente al 495 e quelli a quattro
a 6174 con l’operazione di Kaprekar ma
non si è giunti alla spiegazione del perché
si giunga ad un unico risultato. È
meramente un fenomeno casuale, o c’è una
ragione matematica più profonda che
spiega questo fenomeno? Per quanto il
risultato sia affascinante e misterioso, si
è concluso – fino ad ora – che sia un
fenomeno casuale.
I numeri di Kaprekar, concetto interessante ed entusiasmante come lo è la
matematica nel suo insieme, piccole particolarità che ci avvicinano sempre
più a scoprire la bellezza di questo mondo, fatto non solo di
numeri, ma di logica, di ragionamenti, di dimostrazioni ed esperienze che
ci permettono di comprendere ciò che ci
circonda. La matematica infatti non è solo
una materia che bisogna studiare per poter
proseguire nell’esperienza scolastica, per
molti di noi essa è un
aiuto, è la chiave che
ci permette di sentirci
meno piccoli in questo
mondo così grande apparentemente sempre più incomprensibile.
Le alunne
Si ringrazia per la collaborazione ed i consigli il
professore Sergio Schiavone.