TRIANGOLO AUREO
Per costruire un triangolo aureo su un segmento dato AB, si può
procedere nel seguente modo:
Tracciare una perpendicolare passante per uno dei due estremi, in questo
caso B, e riportarvi il punto C a una distanza pari alla metà di AB;
Con centro in C, si riporta la distanza da questo all'altro estremo del
segmento, CA, individuando il punto D;
Con centro in B si riporta la lunghezza totale trovata, BD, sulla mediana
del segmento.
La spiegazione è rapida; innanzitutto si tratta di trovare un lato che sia in
rapporto aureo con la base data e si riporta una metà di questa ½, a
cui si aggiunge l'ipotenusa del triangolo CAB, calcolabile per mezzo
del teorema di Pitagora.
Ovviamente il rettangolo ABEG è il rettangolo aureo.
PENTAGONO AUREO
Costruzione del pentagono aureo:
1.
Circonferenza e costruzione del pentagono regolare;
2.
Costruzione dei triangoli all’interno del pentagono;
3.
Individuazione del punto c;
L’ampiezza degli angoli interni di un pentagono regolare è 108°.
FGH è un triangolo aureo e quindi HF è congruente alla sezione aurea di HG.
IN UN PENTAGONO REGOLARE, IL LATO E’ CONGRUENTE ALLA SEZIONE
AUREA DELLE DIAGONALI.
Anche il triangolo CGI è aureo, da ciò si deduce che IC è congruente alla sezione di
CG. Ma CH è congruente a IC, quindi possiamo anche dire che CH è
congruente alla sezione aurea di CG. Con questo possiamo affermare che in
un pentagono regolare, due diagonali si dividono in segmenti, tali che il
minore è congruente alla sezione aurea del maggiore.
Nel pentagono regolare è inscrivibile un triangolo aureo cui i lati obliqui
corrispondono alle diagonali e la base al lato; il resto della figura viene
completata da altri due triangoli, anch'essi isosceli e di proporzioni auree ma
invertite nelle parti, detti gnomoni aurei proprio perché figure di
completamento del pentagono.
DECAGONO
Decagono è un poligono con dieci lati e dieci angoli.
Decagono regolare è un decagono con tutti i lati e gli
angoli uguali; ciascun angolo ha ampiezza di 144° e ogni
lato è la sezione aurea del raggio della circonferenza
circoscritta al decagono stesso.
Sia AB il lato del decagono regolare inscritto nella
circonferenza di centro O; dimostriamo che AB è la parte
aurea del raggio OB.
L’angolo AOB è di 36° essendo la decima parte di un
angolo giro. Poiché il triangolo AOB è isoscele ed
essendo il suo angolo al vertice di 36°, esso avrà gli
angoli alla base di 72°.
Tracciata la bisettrice AP dell’angolo OAB, si ottiene il
triangolo ABP: in esso l’angolo B è di 72°, l’angolo BAP di
36° e quindi l’angolo APB è di 72°; allora il triangolo risulta
essere isoscele e AB = AP.
Anche il triangolo AOP è isoscele avendo gli angoli in A e
in O di 36° per cui AP = OP . Si ha allora AB = AP = OP.
I triangoli isosceli APB e AOB sono simili avendo tutti gli
angoli rispettivamente uguali
OB : AB = AB : BP
Poichè AB =OP concludiamo che OB : OP = OP : BP
dalla quale si deduce che OP è la parte aurea del raggio OB e quindi che il lato AB
del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la sezione aurea del
raggio.
Detta l la misura del lato AB e quindi di OP ed r la misura del raggio OB la relazione
trovata si può scrivere come r : l = l : (r - l).
Applicando le proprietà delle proporzioni si ottiene
da cui risulta che
(non accettabile perché negativo) e
e quindi che il lato del decagono regolare è
Servendoci delle proprietà viste possiamo dividere una circonferenza in dieci parti
uguali e costruire il decagono regolare procedendo nel seguente modo:
si tracciano i due diametri perpendicolari AA’, CC’ e la circonferenza di diametro OC e
centro M; unito A con M e indicato con D il punto di intersezione di
questa circonferenza con il segmento AM, si ha che AD è la
parte aurea di OA e quindi AD è il lato del decagono regolare.
Se con apertura di compasso uguale ad AD partendo da
A si interseca successivamente la circonferenza in B,E,F,G….
si divide questa in dieci parti uguali ottenendo il decagono.
