La distribuzione normale

Distribuzione Normale o
Curva di Gauss
Distribuzione Normale o Curva di
Gauss




E’ la più importante distribuzione di variabili casuali continue, in
quanto descrive la distribuzione di probabilità della maggior parte
dei fenomeni quantitativi antropometrici.
E’ detta anche curva degli errori accidentali perché descrive la
probabilità di commettere un errore accidentale in misure ripetute
della stessa grandezza
Presenta una tipica forma a campana, è unimodale e simmetrica,
presenta il punto di massimo in corrispondenza della media,
coincidente con mediana e moda, e tende a zero man mano che la
distribuzione tende asintoticamente a -∞ e + ∞. Al centro della
distribuzione, la curva si presenta più o meno dispersa e la misura
della dispersione intorno alla media è data dalla deviazione
standard.
Media e deviazione standard sono detti rispettivamente il
parametro di locazione e di scala della distribuzione
Curva degli errori accidentali




L’errore accidentale è l’errore di misura che si commette
per un insieme di cause tra loro indipendenti e non
individuabili
Gli errori accidentali mediamente si annullano
La probabilità di un errore di segno positivo è
uguale alla probabilità di un errore di segno
negativo
All’aumentare dell’entità dell’errore, la probabilità
di commetterlo si riduce. Al limite, la probabilità
di commettere un errore infinitamente grande è
uguale a zero.
Distribuzione Normale
La v.c. Normale X, è una v.c. continua che può
assumere valori su tutto l’asse reale.
La funzione di densità è data da:
1
f(x) 
 2
EX   
V  X   2
4
1  x  
 

e 2  
2
-
2>0
Distribuzione Normale

0,75
0,60
0,45
N(0;1)
0,30


0,15

0,00
5
-4,5
-3,0
-1,5
0,0
1,5
3,0
4,5
Distribuzione Normale
0,45
=0
=1 =2
=3
0,0
1,5
3,0
=4
=5
0,30
0,15
0,00
6
-1,5
4,5
6,0
7,5
Esistono una doppia infinità di curve, per ogni possibile valore
di μ e σ2
Volendo calcolare la probabilità che x sia compreso entro due possibili
valori x1 ed x2, vi sono due possibilità:
1. Si calcola l’integrale della funzione normale nell’intervallo [x1,x2]
2. Si trasforma la funzione normale con parametri μ e σ2 nella
distribuzione normale standard per la quale gli integrali sono stati
calcolati e tabulati
Distribuzione Normale
Proprietà
Ogni trasformazione lineare di una v.c. Normale
è ancora una v.c. Normale
La somma di due v.c. Normali indipendenti è
ancora una v.c. Normale con media e varianza
pari, rispettivamente, alla somma delle medie e
delle varianze delle due v.c. Normali.
8
Curtosi
ipernormale
Normale
iponormale
indice di curtosi di Pearson   E  X - E  X  
 SD X  
4
k
indice di curtosi di Fisher =  - 3
9
>0 se leptocurtica
=0 mesocurtica
<0 platicurtica
4
 xi  M  ni
i 1
N
4
3
La curva normale è simmetrica e mesocurtica
La linea blu descrive la funzione di densità Normale e l’area ad essa
sottesa è pari ad 1.
Ciascuna porzione dell’area misura una probabilità
La v.c. Normale Standardizzata Z
Se la v.c. X ha una
distribuzione normale con
parametri  e 2, allora Z=
(X- )/  è ancora una v.c.
Normale con media nulla e
varianza unitaria.
1
f(z) 
2
0,30
0,15
0,95
11
0,00
-1,96
0,00
1,96
z2

e 2
Funzione di ripartizione Normale standardizzata
 z   1 z 
per ogni z  0
permette di semplificare i calcoli delle aree sottese
dalla funzione di densità.
Il calcolo dell’area sottesa nell’intervallo [-2,2]
2   2  2  1 2  22  1  2  0,977  1  0,954
0.977
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-3.50
12
-1.75
0.00
2.00
3.50
La Normale standard


E’ la curva normale avente media zero e varianza 1
Attraverso una semplice trasformazione lineare è possibile
passare da una qualunque curva Normale alla Normale
standard
z

x

Attraverso la trasformazione inversa è possibile tornare
dalla Normale standard ad una qualunque curva Normale
con media μ e deviazione standard σ
x  z *  

Utilizzando la
distribuzione normale è
possibile calcolare la
probabilità che
un’osservazione abbia
un valore superiore (o
inferiore) ad una
determinata soglia.
68.2%
-2
-1

+1
+2
+1
+2
95.4%
-2
L’area compresa nell’intervallo   3
-1

è uguale a 99.7%
1.645
1.96
2.33
2.58
Si supponga che la distribuzione delle stature sia normale con
media 170 e deviazione standard 4 cm. Calcolare:
Pr ob168.8  X  170.1
168.8  170
 0.3
4
170.1  170
z2 
 0.025
4
z1 
1. Si standardizzano i valori:
P2
P1
-0.3
0.025
Pr ob 0.3  z  0.025  1  P1  P2  1  0.382  0.488  0.13
Si supponga che la distribuzione delle stature sia normale con
media 170 e deviazione standard 4 cm. Calcolare:
Pr ob170.1  X  172
170.1  170
 0.025
4
172  170
z2 
 0 .5
4
z1 
1. Si standardizzano i valori:
P1
P2
0.025 0.5
Pr ob0.025  z  0.5  P1  P2  0.488  0.309  0.179
Si supponga che la distribuzione delle stature sia normale con
media 170 e deviazione standard 4 cm.
Calcolare il 15° Percentile:
1. Si determina il percentile
della normale
standardizzata che stacca
alla coda inferiore una
probabilità pari a 0.15:
15%
Z=-1.04
x=165.84
z0.15  1.04
x0.15  170  1.04 * 4  165.84
Si supponga che la distribuzione delle stature sia normale con
media 170 e deviazione standard 4 cm.
Calcolare il 65° Percentile:
1. Si determina il percentile
della normale
standardizzata che stacca
alla coda inferiore una
probabilità pari a 0.65 e
quindi alla coda superiore lo
0.35:
z0.65  0.39
x0.65  170  0.39 * 4  171.56
65%
z=0.39
x=171.56