LE OPZIONI: GLI ELEMENTI DI
VALUTAZIONE
Gino Gandolfi
SDA BOCCONI
I LIMITI DI PREZZO DELLE OPZIONI
• Sostanzialmente, una call americana od europea dà al
possessore ad acquistare l’attività sottostante ad un certo
prezzo (strike price)
• Pertanto, il prezzo dello strumento derivato non può mai
essere maggiore del prezzo dell’attività sottostante. In altri
termini il pre
termini,
prezzo
o dell’atti
dell’attività
ità sottostante rappresenta un
n
limite superiore per la call
• Sostanzialmente, una put americana od europea dà al
possessore il diritto di vendere un’attività sottostante ad un
certo prezzo (strike price)
• Pertanto, indipendentemente da quanto possa scendere il
prezzo di mercato, il valore dell’opzione non può mai essere
superiore allo strike price.
price In altre parole
parole, il limite superiore
per le put è lo strike price, ovvero il suo valore attuale prima
della scadenza
I LIMITI DI PREZZO DELLE OPZIONI
•
•
•
•
•
La definizione del limite inferiore di prezzo delle opzioni non è
semplice
In effetti è necessario suddividere:
– Opzioni call ed opzioni put
– Derivati di tipo europeo e derivati di tipo americano
– Titoli sottostanti che pagano dividendi e che non pagano
dividendi
Tuttavia, anche la casistica più complicata è riconducibile alla
situazione più semplice, ovvero il derivato di tipo europeo scritto
su un titolo che non paga dividendi
Il limite inferiore di una call è pari alla differenza tra il prezzo
dell’attività sottostante ed il valore attuale del prezzo d’esercizio
Il limite inferiore di una put è pari alla differenza tra il prezzo
d’esercizio attualizzato ed il prezzo di mercato dell’attività
sottostante
LA RELAZIONE TRA I PREZZI DI OPZIONI CALL
ED OPZIONI PUT
•
In finanza esiste una relazione, detta put-call parity secondo la
quale il valore di un’opzione call (put) europea con un certo
prezzo di esercizio ed una certa scadenza
scadenza, può essere dedotto
dal valore di una put (call) europea con lo stesso prezzo di
esercizio e la stessa scadenza
•
Tale relazione si sviluppa secondo il seguente ragionamento:
– La
L d
detenzione
t
i
di un’opzione
’
i
putt e dell’attività
d ll’ tti ità sottostante,
tt t t
ovvero di un’opzione call e di un investimento in denaro ad
un tasso di interesse risk-free, alla scadenza, presentano lo
stesso valore
– Di conseguenza, tale relazione di uguaglianza deve
funzionare anche nel durante dell’operazione
dell operazione stessa
•
La p
put-call p
parity
y NON vale p
per le opzioni
p
americane
VALORE INTRINSECO E VALORE TEMPORALE
VALORE DELL’OPZIONE:
VALORE INTRINSECO + VALORE TEMPORALE
• Il valore intrinseco
intrinseco, intuitivamente
intuitivamente, rappresenta il valore che
si otterrebbe dall’esercizio immediato dell’opzione
• Il valore temporale può essere definito, in via preliminare,
possibilità che il
come il valore che il mercato attribuisce alla p
derivato veda aumentare il proprio valore intrinseco nel
periodo di tempo precedente la sua scadenza
LE OPZIONI
•
VALORE
O
INTRINSECO
S CO DI UNA CALL
C
9 MESI
PREMIO
6 MESI
3 MESI
Valore
intrinseco
S
Prezzo di mercato
LE OPZIONI
•
VALORE
O
TEMPORALE
O
DI UNA CALL
C
9 MESI
PREMIO
Valore
temporale
6 MESI
3 MESI
Scadenza
S
Prezzo di mercato
I FATTORI CHE INCIDONO SUL PREZZO DI
UN’OPZIONE
• I FATTORI FONDAMENTALI:
– PREZZO CORRENTE DELL’ATTIVITA’ SOTTOSTANTE
– PREZZO DI ESERCIZIO (STRIKE PRICE)
– IL TASSO DI INTERESSE PRIVO DI RISCHIO
– I DIVIDENDI (se esistono)
– IL TEMPO A SCADENZA
– LA VOLATILITA’ DEL SOTTOSTANTE
I FATTORI CHE INCIDONO SUL PREZZO DI
UN’OPZIONE
Call Europea
Prezzo
Put Europea
Call Americana Put Americana
+
-
+
-
-
+
-
+
Vita Residua
?
?
+
+
Volatilità
+
+
+
+
Tasso
+
-
+
-
-
+
-
+
dell’Azione
Prezzo
d’esercizo
d’Interesse
Dividendi
I PRINCIPALI MODELLI DI VALUTAZIONE DELLE
OPZIONI
• I principali modelli utilizzati per la valutazione delle opzioni
sono:
– Gli alberi binomiali
– L’approccio di Black & Scholes
• Entrambi gli approcci si fondano sullo studio del “sentiero” di
prezzi che potrebbe seguire l’attività
l attività sottostante durante la
vita del derivato
– Per entrambi i modelli, quindi, il valore dell’opzione segue
lo stesso percorso dell’attività sottostante
– Dal punto di vista concettuale, quindi, è proprio
ll’andamento
andamento dell
dell’attività
attività sottostante il fenomeno che deve
essere oggetto di maggiore attenzione al fine della
valutazione del derivato
LA FORMULA DI BLACK & SCHOLES (B&S)
• E’ una delle “pietre miliari” della finanza
• Prende in considerazione tutti i fattori fondamentali che
incidono sul prezzo del derivato (ad eccezione del dividendo)
– In effetti, q
questa formula p
permette di p
prezzare
correttamente le opzioni put e call scritte su titoli che non
pagano i dividendi, ma può essere estesa anche ad altre
ti l i di contratti
tipologie
t tti opzionali
i
li
• Anche se presenta notevoli semplificazioni della realtà,
questo modello è ancora oggi uno dei punti di riferimento per
tutti gli operatori che lavorano con i derivati, perché in grado
di considerare tutti i fattori che incidono sull’andamento del
prezzo di un’opzione
LA FORMULA DI B&S
• LE ASSUNZIONI ALLA BASE DEL MODELLO B&S:
– ANDAMENTO DEL PREZZO DELL’AZIONE
SOTTOSTANTE (random walk)
– VENDITA ALLO SCOPERTO (è sempre possibile)
– COSTI DI TRANSAZIONE (assenti)
(
ti)
– DIVIDENDO (assente)
– NON ESISTONO OPPORTUNITA
OPPORTUNITA’ DI ARBITRAGGIO
SUL MERCATO
– IN OGNI ISTANTE E’ POSSIBILE REALIZZARE
UN’OPERAZIONE
– TASSO PRIVO DI RISCHIO O RISK-FREE (è noto a tutti
ed
d è costante)
t t )
LA FORMULA DI B&S
c = S * N(d1) – X * e -(rT) * N(d2)
( ) * N(
p= X * e -(rT)
p
N(-d
d2) – S * N(
N(-d
d1)
•
Dove:
– d1= [ln(S/X)+(r+σ2/2)T]/(σ√T)
– d2= d1- σ√T
– N(x) = funzione di distribuzione cumulata di una variabile normale
(nota anche come distribuzione gaussiana)
– c = valore di un’opzione call
– p = valore di un’opzione put
– S = prezzo d
dell’attività
ll’ tti ità sottostante
tt t t
– X = prezzo d’esercizio
– T = vita residua dell’opzione
– r = tasso di interesse risk-free
– σ = volatilità dell’attività sottostante
LE PROPRIETA’ DELLA FORMULA DI B&S
• Ipotizzando una relazione tra l’andamento del derivato e
dell’attività sottostante, si può affermare che la fonte
d’incertezza per i due strumenti è la stessa, ovvero i
movimenti di prezzo del sottostante
• La funzione di B&S può essere applicata sia ad opzioni call,
sia ad opzioni put
• La
L put-call
t ll parity
it è comunque di
dimostrabile
t bil anche
h iin questo
t
contesto di valutazione
• Il modello di B&S può essere applicato a tutte le tipologie di
strumenti derivati normalmente contrattati sui mercati
VOLATILITA’ IMPLICITA
•
•
•
•
•
•
Solamente gli operatori market maker possono decidere
autonomamente il prezzo da proporre al mercato
Tutti gli altri operatori sono nella condizione completamente opposta,
ovvero quella di “price taker”
Non si tratta di una posizione “passiva”
E’ possibile verificare il modo in cui market maker produce il prezzo
E
Nella formula di Black & Scholes esistono variabili note (ad esempio,
caratterizzanti lo strumento derivato) o facilmente conoscibili (perché
accessibili da p
parte di molti operatori):
p
)
– Prezzo dell’attività sottostante
– Prezzo d’esercizio
– Vita residua
– Tasso di rendimento dell’attività priva di rischio
Pertanto, per un operatore “price taker” il solo valore non noto è quello
relativo alla VOLATILITA’
VOLATILITA dell
dell’attività
attività sottostante
– Il prezzo dell’opzione non rappresenta una variabile sconosciuta,
perché il market maker, per definizione, propone il proprio prezzo
VOLATILITA’ IMPLICITA
• La volatilità utilizzata dal market maker per prezzare lo
strumento derivato è detta VOLATILITA’ IMPLICITA
• L’operatore price taker può determinare tale valore applicano
la funzione inversa di B&S, ovvero ponendo come risultato il
σ anziché il prezzo dello strumento derivato
• In questo senso, quindi, è potenzialmente possibile
effettuare
ff tt
operazioni
i i di trading
t di di volatilità
l tilità
– La “scommessa” riguarda l’effettiva realizzazione del
livello di volatilità implicito nel prezzo del titolo
• Secondo l’approccio di B&S, la volatilità è uguale per tutti i
derivati scritti sullo stesso titolo
titolo, ma in realtà non è
propriamente vero …
LE QUESTIONI APERTE NEL MODELLO DI B&S
• La volatilità implicita al modello B&S non è visibile e,
comunque, è supposta uguale per tutti i derivati aventi le
medesime
d i
caratteristiche
tt i ti h
• In realtà, osservando l’andamento delle quotazioni, la
volatilità implicita (ovvero quella effettivamente utilizzata dal
mercato per definire il prezzo del derivato) è diversa a
seconda del contratto analizzato
•
Dal punto di vista operativo, ciò ha importanti implicazioni:
– Opzioni in the money
money, out of the money e at the money possono
avere prezzi non coerenti tra loro secondo l’impostazione di B&S
– Variazioni di prezzo al rialzo e al ribasso possono tradursi in
valutazioni
l t i i diff
differenti
ti
– Derivati con durate diverse e del tutto uguali per altri fronti possono
avere delle volatilità implicite diverse
ESEMPIO
STRIKE
VOLATILITA' IMPLICITA
feb-07
mar-07
set-07
40500
10,204%
13,285%
20,277%
41000
10,487%
13,379%
16,888%
41500
11,346%
14,068%
16,398%
42000
12 652%
12,652%
15 029%
15,029%
18 023%
18,023%
42500
14,342%
16,302%
19,357%
43000
16,541%
17,916%
20,781%
LIVELLO SOTTOSTANTE
41912
RISK-FREE
3,15%
•
La tabella riporta il valore della
volatilità implicita calcolata
attraverso la formula di B&S di
alcune opzioni call sull’indice
S&P/MIB negoziate all’IDEM
•
La volatilità implicita nei prezzi
delle opzioni è diversa sia per
prezzo di esercizio che per
scadenza
– Ciò potrebbe essere dovuto al
fatto che la funzione di B&S
non tiene conto dei dividendi,
mentre i market maker
propongono i prezzi anche in
funzione di questo aspetto
LE QUESTIONI APERTE NEL MODELLO DI B&S
Volatilità
implicita
Solitamente, le opzioni at the money
“producono” valori di volatilità implicita inferiori
rispetto a quelli che si ottengono utilizzando
opzioni in the money o out of the money
VOLATILITY SMILE
S
Prezzo del
sottostante
LE QUESTIONI APERTE NEL MODELLO DI B&S
Solitamente, la volatilità stimata per le opzioni
out of the money è maggiore rispetto a quella
usata per le at the money e per le in the money
Volatilità
implicita
VOLATILITY SKEW
S
Prezzo del
sottostante
ESEMPIO
Volatilità implicita in opzioni S&P/MIB - gennaio 2007
25,000%
Vola
atilità implicita
20,000%
15,000%
10,000%
5,000%
0,000%
40500
41000
41500
42000
Prezzi di esercizio
feb-07
feb
07
mar-07
mar
07
set-07
set
07
42500
43000
