Un triangolo isoscele particolare

Un triangolo isoscele particolare
Problema
ABC è un triangolo isoscele sulla base BC ed è noto che la bisettrice CD dell’angolo nel vertice C forma con
la base BC il triangolo BCD isoscele su BD. Determinare le ampiezze degli angoli del triangolo ABC e
l’ampiezza dell’angolo ADC. Classificare il triangolo ACD.
Risoluzione
Ipotesi
1) ABC isoscele su BC
2) CD bisettrice di ACB
3) BCD isoscele su BD.
Tesi
1) Ampiezze degli angoli del triangolo ABC
2) Ampiezza dell’angolo ADC
3) Classificazione del triangolo ACD
*** ***
Ampiezze degli angoli del triangolo ABC
1) Il triangolo ABC essendo isoscele su BC ha gli angoli alla
base congruenti; sia  l’ampiezza comune di detti angoli.
2) Il segmento CD è bisettrice dell’angolo ACB, dunque l’angolo BCD è metà dell’angolo ACB ed avrà
ampiezza 1=/2.
3) Poiché il triangolo BCD è isoscele su BD anche l’angolo BDC ha ampiezza . La somma degli angoli
interni del triangolo BCD misura ++/2=5/2 e d’altra parte detto valore deve essere 180°,
dunque sussiste l’uguaglianza
5
  180 , da cui
2
  72
Deduciamo che gli angoli nei vertici B e C del triangolo ABC misurano 72° e per differenza l’angolo
nel vertice A misura 36° (180°-272°).
Ampiezza dell’angolo ADC
Osserviamo che l’angolo ADC è esterno del triangolo BCD relativo al vertice D, dunque è
supplementare dell’angolo interno BDC, che misura 72°, dunque l’ampiezza di ADC è 108°.
Classificazione del triangolo ACD
Abbiamo riconosciuto che l’angolo nel vertice A del triangolo ABC ha ampiezza 36° dunque il
triangolo ACD ha i due angoli CAD, ACD che misurano 36°, perciò è isoscele su AC.
Osservazione
Entrambi i triangoli ABC, BCD sono isosceli ed hanno due angoli di 72° ed uno di 36°; i due angoli
sono simili.
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
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