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POLITECNICO DI MILANO
Scuola di Ingegneria dei Sistemi
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Matematica
Ricoprimenti della sfera in spazi normati
Relatore:
Prof. Vittorino Pata
Correlatore:
Prof. Clemente Zanco
Tesi di:
Carlo Blesic Zanolli
Matr. 735057
Anno Accademico 2012-2013
Ringraziamenti
Desidero innanzitutto ringraziare il professor Pata per i preziosi consigli
con cui mi ha accompagnato nella scelta del progetto di tesi, e soprattutto
per aver accolto con benevolenza l’esito anomalo di tale scelta.
Rimango profondamente debitore nei confronti del professor Zanco, della
cui pazienza e disponibilità ho certamente abusato. Senza il suo aiuto e
senza il suo supporto, questo lavoro non avrebbe mai trovato compimento.
Indice
Introduzione
5
0 Preliminari
8
0.1 Terminologia e notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.2 Richiami generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 Diametro dei ricoprimenti e proprietà di compattezza
13
1.1 Ricoprimenti mediante bolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Il Lemma di Lusternik-Schnirelmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Ricoprimenti numerabili con diametri tendenti a zero . . . . . . . . . 16
2 Ricoprimenti economici e separabilità debole∗ del duale
2.1 Ricoprimenti mediante bolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ricoprimenti mediante insiemi convessi . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Spazi poliedrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
23
26
3 Ricoprimenti puntualmente finiti e regolarità dello spazio
28
3.1 Il caso finito-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Il caso infinito-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Ricoprimenti centrati sulla sfera e proprietà metriche dello spazio 34
3
Sommario
Oggetto di questa tesi è lo studio di ricoprimenti non banali della sfera unitaria S e
della bolla unitaria B di uno spazio normato infinito-dimensionale X.
Nel capitolo 1 si esaminano le prime conseguenze della mancanza di compattezza
della sfera in ambito infinito-dimensionale: tra le più significative vi sono, ad esempio, il fatto che nessuna collezione finita di bolle di raggio minore di 1 può ricoprire
S e il fatto che nessuna successione di insiemi può ricoprire S se l’estremo superiore
dei diametri di tali insiemi è minore di 2 e se il limite di tali diametri è 0.
Il capitolo 2 tratta il seguente problema: ricoprire S senza ricoprire B. Un
risultato tipico in questo contesto è il seguente: X ∗ è debolmente∗ separabile se e
solo se S ammette un ricoprimento numerabile mediante insiemi chiusi e convessi la
cui unione non copra B.
Il capitolo 3 prende in esame ricoprimenti di S mediante bolle, che non siano
ricoprimenti anche di B, sotto il seguente aspetto: quando devono necessariamente
esistere punti che appartengono ad infiniti membri del ricoprimento? In particolare,
mediante una diversa dimostrazione, un recente risultato viene migliorato nel senso
seguente: se X è uno spazio di Hilbert, per ogni copertura numerabile di S mediante
bolle la cui unione non copra B, esiste un punto di S coperto da infinite di queste
bolle.
Infine nel capitolo 4 si studiano ricoprimenti di S mediante bolle centrate in
punti di S, esaminando in dettaglio il comportamento del parametro T (X), detto di
thickness, definito come l’estremo inferiore dei raggi dei possibili ricoprimenti finiti
di S mediante bolle centrate in punti di S.
4
Introduzione
La produzione matematica riconducibile all’ambito “ricoprimenti della sfera unitaria
in spazi normati reali” è, come si può facilmente immaginare, molto vasta ed articolata. La parte principale del mio lavoro di tesi è stata dunque quella di raccogliere,
selezionare, organizzare, e confrontare questa grande mole di problemi e di risultati.
Il primo vincolo che ho dovuto rispettare è stato imposto dai limiti delle mie competenze, le quali sono essenzialmente ristrette all’Analisi Reale e Funzionale classica.
Tuttavia, anche concentrando il lavoro di esplorazione all’interno di quest’ambito, è
stato necessario operare una selezione del materiale disponibile. Per alcuni risultati
particolarmente significativi non c’è stata alternativa: non potevano essere esclusi.
In tutti gli altri casi ho deciso di privilegiare quegli argomenti che ancora oggi sono
oggetto di attiva investigazione, cercando di presentare i risultati più recenti nonchè
i problemi ancora aperti. Nei rari casi in cui mi è stato possibile, a quest’attività di
ricerca ho contribuito con qualche risultato originale.
La trattazione è fortemente orientata verso gli spazi infinito-dimensionali, nonostante i problemi affrontati siano sempre ispirati al caso finito-dimensionale. Per
quanto riguarda l’organizzazione interna, ho scelto il criterio più semplice, ossia
quello di suddividere i risultati in base al tipo di ricoprimento utilizzato. È una
scelta meno pedante di quanto possa sembrare, poichè differenti tipi di ricoprimenti
sono compatibili con differenti proprietà geometriche dello spazio. Ciò significa che
eventuali analogie fra queste proprietà suggeriscono analogie fra i ricoprimenti che
possiamo utilizzare, e viceversa.
Veniamo ora al contenuto di ciascun capitolo. Nel seguito, indicherò con X un
generico spazio normato reale infinito-dimensionale, con S la sua sfera unitaria e con
B la sua bolla chiusa unitaria. Per maggiori informazioni sulla notazione si consulti
il Capitolo 0, dove sono inoltre richiamati i principali risultati che saranno necessari
in seguito.
Il Capitolo 1 è incentrato sulla proprietà che più naturalmente può essere formulata nel linguaggio dei ricoprimenti: la compattezza. La sfera S è infatti notoriamente
non compatta, ovvero esiste un > 0 tale che nessuna collezione finita di bolle di
raggio può ricoprire S. In questo capitolo ci chiederemo se S possa soddisfare
proprietà di non-compattezza ancora più forti. Con argomenti del tutto elementari,
vedremo che vale la seguente proprietà:
Nessuna collezione finita di bolle di raggio r < 1 può ricoprire S.
Come risultato aggiuntivo otterremo anche un semplice caratterizzazione degli spazi
separabili.
Se S è ricoperta da una collezione numerabile di bolle di raggio r < 1,
allora X è separabile.
Formuleremo poi una condizione di non-compattezza ancora più forte:
Nessuna successione di bolle di raggi rn può ricoprire S se sup rn < 1 e
rn → 0.
5
Vedremo che se X è completo, allora anche quest’ultima proprietà viene soddisfatta.
Il Lemma di Lusternik-Schnirelmann ci permetterà poi di estendere questi risultati
a ricoprimenti formati da insiemi qualunque. In particolar modo, mostreremo che
negli spazi di Banach vale il seguente risultato.
Nessuna successione di insiemi An può ricoprire S se sup diam(An ) < 2
e diam(An ) → 0.
Nel capitolo 2 cerceremo di rispondere alla seguente domanda: quando è possibile
ricoprire S senza coprire anche B? La discussione verrà improntata sui ricoprimenti
chiusi convessi, che per comodità chiameremo CC-ricoprimenti, e lo strumento principe sarà naturalmente il Teorema di Separazione. Per prima cosa mostreremo che
i CC-ricoprimenti finiti non sono sufficienti a ricoprire la sfera in modo economico,
ovvero:
Ogni ricoprimento di S formato da insiemi chiusi e convessi ricopre
anche B.
Ci occuperemo quindi di ricoprimenti infiniti, ed in particolar modo studieremo le
proprietà di X in relazione a “quanto grande” è la porzione di B che siamo costretti
a coprire. Risultato tipici in questo senso sono i seguenti:
X ∗ è debolmente∗ separabile se e solo se esiste un CC-ricoprimento
numerabile di S che non ricopre B.
BX ∗ è debolmente∗ separabile se e solo se per ogni r < 1 esiste un CCricoprimento numerabile di S i cui elementi sono disgiunti da rB.
Vedremo poi che questi ricoprimenti possono essere formati da insiemi arbitrariamente “vicini” a bolle. Infine, motivati da questa discussione, introdurremo alcune
proprietà degli spazi poliedrali.
Il capitolo 3 continua l’analisi dei CC-ricoprimenti di S che non ricoprono B, i
quali per comodità saranno detti CC-ricoprimenti economici. L’oggetto della nostra
indagine sarà “quanto debbano sovrapporsi” i membri di ciascun CC-ricoprimento
economico. Vedremo che, in uno spazio di dimensione n, per ogni CC-ricoprimento
economico finito deve esistere un punto di S che appartiene ad almeno (n + 1)/2
membri del ricoprimento. Questo risultato ci permetterà di dimostrare la seguente
affermazione, valida nel caso infinito-dimensionale.
Ogni CC-ricoprimento economico localmente finito non può possedere
ordine finito.
La questione dell’esistenza di CC-ricoprimenti economici localmente finiti è complessa e verrà discussa nel corso del capitolo. Fra i risultati noti troviamo il seguente.
Se esiste un CC-ricoprimento economico numerabile i cui elementi non
contengono alcun punto interno di B, allora esiste un CC-ricoprimento
economico localmente finito.
6
Diversa è la situazione se richiediamo che i ricoprimenti siano soltanto puntualmente finiti. È infatti noto che in ogni spazio infinito-dimensionale esistono CCricoprimenti economici di ordine finito. Ci chiederemo dunque quando questi ricoprimenti possano essere formati da bolle. Dopo qualche esempio in ambito nonriflessivo, mostreremo che ciò non può accadere negli spazi di Hilbert, ovvero
Se X è uno spazio di Hilbert, allora per ogni ricoprimento numerabile ed
economico formato da bolle chiuse esiste un punto di S che appartiene
ad infiniti elementi del ricoprimento.
Il capitolo 4 è dedicato allo studio dei ricoprimenti formati da bolle i cui centri
appartengono ad S. Poichè in questo caso conosciamo l’esatta distanza dei centri
dall’origine, potremo avanzare qualche considerazione di tipo quantitativo. In particolare, ci chiederemo quale sia l’estremo inferiore dei raggi dei ricoprimenti finiti di
S formati da bolle centrate in S. Questo parametro prende il nome di thickness di
X, e sarà indicato con T (X). Come vedremo, T (X) deve essere contenuto nell’intervallo [1, 2]. Studieremo quindi le molte proprietà del parametro thickness, quali
ad esempio:
1
T (Lp [0, 1]) = T (lp ) = 2 p ogni p ∈ [1, ∞).
T (L∞ [0, 1]) = T (l∞ ) = T (c) = T (C[0, 1]) = 1.
Se T (X) = 2, allora X non è riflessivo e X ∗ non è separabile.
Se T (X) = 1, allora X non è uniformemente non-quadrato.
Ci chiederemo poi se sia possibile caratterizzare gli spazi in base al loro parametro
di thickness e forniremo una tale caratterizzazione nel caso in cui T (X) = 2.
7
0
Preliminari
Nel primo paragrafo descriviamo le notazioni e la terminologia che adotteremo in
seguito. Nel secondo riportiamo alcuni utili risultati che potrebbero esulare dal
bagaglio tecnico di un lettore non esperto in Analisi Funzionale.
0.1
Terminologia e notazioni
Insiemi
Tutti gli insiemi considerati saranno supposti appartenere ad un opportuno superinsieme X. Dati due insiemi C e D, l’insieme complementare di C rispetto a D sarà
indicato con D\C. L’insieme complementare di A rispetto ad X sarà indicato con
Ac . La relazione di inclusione insiemistica ⊂ indicherà sempre l’inclusione debole.
Una famiglia
di insiemi F è un ricoprimento di A, o anche una copertura di A,
S
se A ⊂ {F : F ∈ F}. A meno di eccezioni rese esplicite, quando affermeremo
che un ricoprimento gode di una certa proprietà che non sia di carattere puramente
insiemistico, intenderemo che ogni suo elemento gode di tale proprietà. Per esempio,
un ricoprimento finito è un ricoprimento formato da un numero finito di elementi,
mentre un ricoprimento convesso è un ricoprimento i cui elementi sono insiemi convessi. Possiamo utilizzare questo abuso di terminologia senza ambiguità, poichè un
ricoprimento sarà per noi una semplice collezione di insiemi, sprovvista di alcuna
struttura ulteriore.
Una famiglia di insiemi G è un raffinamento di una famiglia F se per ogni G ∈ G
esiste un F ∈ F tale che G ⊂ F .
Diciamo che una famiglia di insiemi F possiede ordine n rispetto ad un insieme
A se la collezione {F ∈ F : A ∩ F 6= ∅} è formata da n elementi; se essa è infinita,
diciamo che F possiede ordine infinito rispetto ad A. Se A = {x} per qualche
x ∈ X, parleremo semplicemente di ordine di F rispetto ad x. Chiamiamo ordine
di F l’estremo superiore degli ordini di F rispetto ad x al variare di x in X. F si
dice puntualmente finita se possiede ordine finito rispetto ad ogni punto di X.
Data una funzione f : X → R, indicheremo con supp(f ) il supporto di f , ossia
l’insieme {x ∈ X : f (x) 6= 0}.
Spazi topologici
Se su X è definita una topologia τ e se A ⊂ X, indicheremo con intτ (A), clτ (A), e
∂τ A rispettivamente l’interno di A, la chiusura di A, ed il bordo di A. Se la topologia
è chiara dal contesto, scriveremo semplicemente int(A), cl(A), e ∂A.
Una famiglia di insiemi F si dice localmente finita se ogni punto x ∈ X ammette
un intorno rispetto al quale l’ordine di F è finito. Equivalentemente, F è localmente
finita se possiede ordine finito rispetto ad ogni sottoinsieme compatto di X.
Uno spazio topologico X possiede dimensione ≤ n se ogni ricoprimento aperto
e finito di X ammette un raffinamento aperto di ordine ≤ n + 1. Lo spazio X si
dice paracompatto se ogni ricoprimento aperto di X possiede un raffinamento aperto
localmente finito.
8
Data una famiglia localmente finita U = {Ui }i∈I di sottoinsiemi aperti di X,
chiameremo partizione dell’unità subordinata a U P
una famiglia di funzioni continue
fi : X → [0, 1] tali che supp(fi ) ⊂ Ui per ogni i e i∈I fi (x) = 1 per ogni x ∈ X.
Spazi metrici
Se X possiede una metrica, la distanza fra due punti x, y ∈ X sarà indicata con
dist(x, y). Dati due sottoinsiemi A, A0 , verrà chiamata distanza fra A e A0 , ed
indicata con dist(A, A0 ), l’estremo inferiore di dist(x, x0 ) al variare di x ∈ A e di
x0 ∈ A0 . Se A0 contiene un solo punto x, scriveremo semplicemente dist(x, A).
Chiamiamo -intorno di A l’insieme aperto {x ∈ X : dist(x, A) < }.
Il diametro di A, ovvero l’estremo superiore di dist(x, y) al variare di x, y ∈ A,
verrà denotato con diam(A). Diremo che una famiglia di insiemi A possiede diametro
d se d = sup{diam(A) : A ∈ A}.
Spazi lineari
Sia X uno spazio lineare reale. Dato n ∈ N scriveremo dim(X) = n se la dimensione
algebrica di X è pari ad n; se X possiede dimensione infinita scriveremo dim(X) =
∞. Per ogni insieme A ⊂ X indicheremo con span(A) l’insieme delle combinazioni
lineari (finite) degli elementi di A.
Dati due punti x, y ∈ X, indicheremo con (x, y) il segmento aperto {λx+(1−λ)y :
λ ∈ (0, 1)}, con [x, y] il segmento chiuso {λx+(1−λ)y : λ ∈ [0, 1]}. Dati due insiemi
A, A0 ⊂ X ed un numero reale α, indicheremo con αA + A0 l’insieme formato dai
punti αx + x0 tali che x ∈ A e x0 ∈ A0 . Dato un insieme di scalari Γ ⊂ R, ΓA sarà
l’insieme formato dai punti γx tali che γ ∈ Γ e x ∈ A.
Spazi normati
Ogni spazio considerato nel seguito sarà, a meno di eccezioni rese esplicite, uno spazio
normato reale. Tali spazi saranno indicati con (X, || · ||), oppure semplicemente con
X se non sorgono ambiguità sulla norma utilizzata. Indichiamo con BX la bolla
chiusa unitaria {x ∈ X : ||x|| ≤ 1}, e con SX la sfera unitaria {x ∈ X : ||x|| = 1}.
Se lo spazio considerato risulta chiaro dal contesto, scriveremo semplicemente B e
S. Dato un punto x ∈ X ed un numero reale r > 0, x + rB è dunque la bolla chiusa
di raggio r e di centro x, mentre x + rS è la sfera di raggio r e di centro x.
Due norme || · ||1 e || · ||2 definite su X sono dette equivalenti se esistono α, β ∈ R
tali che α||x||1 ≤ ||x||2 ≤ β||x||1 . Dato > 0, diremo che tali norme sono equivalenti se 1/(1 + )||x||1 ≤ ||x||2 ≤ (1 + )||x||1 . Lo spazio Y è detto essere un
rinormamento (-rinormamento) di (X, || · ||) se Y = (X, ||| · |||) dove ||| · ||| è una
norma equivalente (-equivalente) a || · ||. Se Y è un rinormamento di X allora Y è
isomorfo ad X, ovvero esiste un omeomorfismo lineare da X a Y ; non è tuttavia vero
che se due spazi (X, || · ||) e (X, ||| · |||) sono isomorfi, allora uno è il rinormamento
dell’altro.
Dato un insieme A ⊂ X tale che 0 ∈ int(A), indicheremo con pA il funzionale di
Minkowski di A, ovvero per ogni x ∈ X porremo pA (x) = inf{α : x ∈ αA, α > 0}.
9
Spazi duali
Il duale topologico di X sarà indicato con X ∗ . Se è chiaro a quale spazio X ci
stiamo riferendo, la bolla chiusa unitaria e la sfera unitaria in X ∗ saranno indicate
rispettivamente con B ∗ e con S ∗ . L’immersione canonica di X in X ∗∗ sarà sempre
sottointesa tacitamente; ciò giustificherà la scrittura X ⊂ X ∗∗ .
Diciamo che un insieme A ⊂ S ∗ separa i punti di X se per ogni x ∈ S esiste
f ∈ A tale che f (x) 6= 0. Dato un > 0, l’insieme A ⊂ S ∗ è detto -normante se
sup{|f (x)| : f ∈ A} ≥ per ogni x ∈ S. A è detto normante se è 1-normante, cioè
se sup{|f (x)| : f ∈ A} = 1 per ogni x ∈ S. Diciamo che A ⊂ S ∗ realizza la norma
di X se per ogni x ∈ S esiste f ∈ A tale che |f (x)| = 1.
La topologia debole su X verrà indicata con w. Analogamente indicheremo con
w∗ la topologia debole∗ su X ∗ relativa ad X come preduale.
Insiemi convessi
Dato un insieme A ⊂ X, indichiamo con hAi l’involucro convesso di A. A è detto
simmetrico se A = −A. A è detto assolutamente convesso se è convesso e simmetrico. A è un corpo convesso se è chiuso, limitato, convesso, e se possiede interno non
vuoto.
Diremo che insieme A è un simplesso n-dimensionale se A è l’involucro convesso
di n + 1 punti il cui span lineare possiede dimensione n. A è un politopo, o anche
poliedro, se è l’involucro convesso di un numero finito di punti.
Col termine iperpiano indicheremo sempre l’insieme di livello di un funzionale
continuo, ovvero un insieme del tipo f −1 (α), dove f ∈ X ∗ e α ∈ R. Un semispazio
sarà per noi, a meno di eccezioni rese esplicite, un semispazio chiuso, ossia un insieme
del tipo f −1 (−∞, α]. I due semispazi individuati da un iperpiano H, ossia i semispazi
H1 e H2 tali che H1 ∩ H2 = H, saranno chiamati semispazi generati da H. Dato un
insieme convesso C, diremo che D ⊂ C è una faccia di C se esiste un iperpiano H
tale che D = C ∩ H.
Dati due insiemi convessi A, C ⊂ X, diciamo che il funzionale f ∈ X ∗ separa (separa strettamente) A e C se sup{f (x) : x ∈ A} ≤ inf{f (y) : y ∈ C} (se
sup{f (x) : x ∈ A} < inf{f (y) : y ∈ C}). Diciamo che un iperpiano H separa
(separa strettamente) A e C se esistono due semispazi H1 ⊃ A e H2 ⊃ C tali che
H1 ∩ H2 = H (H ⊂ H1c ∩ H2c ). Ovviamente f ∈ X ∗ separa (separa strettamente) A
e C se e solo se esiste un α ∈ R tale che f −1 (α) separa (separa strettamente) A e C.
Spazi di funzioni
Dato Γ ⊂ R indicheremo con C(Γ) e C0 (Γ) rispettivamente lo spazio delle funzioni
reali, continue, limitate su Γ e lo spazio delle funzioni reali, continue, a supporto compatto su Γ, dotati dell’usuale norma dell’estremo superiore. Denoteremo
con c e con c0 rispettivamente lo spazio delle successioni convergenti e quello delle
successioni convergenti a zero, dotati della norma del massimo.
Se p ∈ [1, ∞], porremo Lp (Γ) = Lp (Γ, µ1 ) e lp (Γ) = Lp (Γ, µ0 ), dove µ1 è la
misura di Lebesgue, µ0 è la misura del conteggio e Γ è rispettivamente µ1 -misurabile
e µ0 -misurabile. Porremo inoltre lp = lp (N) e lnp = lp ({1, 2, . . . , n}). Dati due
10
spazi (X, || · ||X ) e (Y, || · ||Y ), indichiamo con X ⊕p Y la somma diretta di X e Y
dotata della norma definita da ||(x, y)|| = (||x||pX + ||y||pY )1/p (oppure da ||(x, y)|| =
max{||x||, ||y||} se p = ∞) per ogni x ∈ X, y ∈ Y .
0.2
Richiami generali
Iniziamo con quello che probabilmente è il teorema più significativo per le tematiche
che verranno affrontate: il teorema di Borsuk-Ulam del 1933.
Teorema 0.1 (Borsuk-Ulam). Sia X uno spazio di dimensione n e sia Y uno
spazio di dimensione < n. Se f : SX → Y è continua, esiste un punto x ∈ S tale
che f (x) = f (−x).
Una nota e pittoresca applicazione di questo risultato è la seguente: in ogni
istante, sulla superficie terrestre esistono due punti antipodali nei quali temperatura
e pressione atmosferica (che sono supposte variare con continuità in spazio) sono le
stesse.
Tutti gli strumenti di Analisi Funzionale descritti in seguito, e più generalmente
tutti quelli utilizzati nei prossimi capitoli, sono illustrati in [29] e [14]. Dove non
indicato diversamente, gli spazi considerati saranno sempre spazi normati reali.
Teorema 0.2 (Lemma di Riesz). Dato un sottospazio chiuso Y propriamente contenuto in X, per ogni > 0 esiste x ∈ S tale che
dist(x, Y ) ≥ 1 − .
Se X è riflessivo, allora esiste x ∈ S tale che dist(x, Y ) = 1.
Teorema 0.3 (Formula di Ascoli). Siano α ∈ R, f ∈ S ∗ e Y = f −1 (α). Per ogni
x ∈ X si ha:
dist(x, Y ) = |f (x) − α|
Teorema 0.4 (Proprietà topologiche degli insiemi convessi). Sia C ⊂ X un insieme
convesso. Valgono le seguenti proposizioni.
1. int(C) e cl(C) sono convessi.
2. x ∈ int(C) se e solo se per ogni y 6= x esiste z ∈ (x, y] tale che [x, z] ⊂ C.
3. x ∈ cl(C) se e solo se esiste y 6= x tale che per ogni z ∈ (x, y] si ha
[x, z] ∩ C 6= ∅.
4. Se int(C) è non vuoto, allora cl(C) = cl(int(C)) e int(C) = int(cl(C)).
Inoltre, se A ⊂ X è totalmente limitato, anche cl(hAi) lo è.
Teorema 0.5 (Proprietà del funzionale di Minkowski). Sia A ⊂ X tale che 0 ∈
int(A). Valgono le seguenti proprietà di pA .
1. pA (αx) = αpA (x) per ogni α ≥ 0, x ∈ X.
11
2. Se A è simmetrico, pA (αx) = |α|pA (x) per ogni α.
3. Se A è convesso, pA (x + y) ≤ pA (x) + pA (y) per ogni x, y ∈ X.
−1
4. pA è uniformemente continua, int(A) = p−1
A ([0, 1)) e cl(A) = pA ([0, 1]).
Teorema 0.6 (Teorema di Separazione). Siano A, C ⊂ X insiemi non vuoti,
disgiunti, e convessi. Valgono le seguenti proposizioni.
1. Se A possiede interno non vuoto, esiste un iperpiano che separa A e C.
2. Se A è compatto e se C è chiuso, esiste un iperpiano che separa strettamente
A e C.
Se X è finito-dimensionale, esiste sempre un iperpiano che separa A e C.
Teorema 0.7 (Teorema di Krein-Milman). Ogni sottoinsieme convesso e compatto
di X è l’involucro convesso chiuso dei suoi punti estremi. Inoltre, se un insieme
compatto C ⊂ X è l’involucro convesso chiuso di un insieme A ⊂ C, allora i punti
estremi di C sono contenuti nella chiusura di A.
Teorema 0.8 (Teorema di Goldstine). S è w∗ -densa in B ∗∗ .
Teorema 0.9 (Teorema di Banach-Alaoglu). B ∗ è w∗ -compatta.
Teorema 0.10 (Teorema di Baire). Sia X uno spazio metrico completo, oppure
uno spazio di Hausdorff localmente compatto. Se {Fn } è una famiglia
numerabile di
S
sottoinsiemi chiusi di X e se int(Fn ) = ∅ per ogni n, allora int( Fn ) = ∅.
Teorema 0.11. L’insieme A ⊂ S ∗ separa i punti di X se e solo se span(A) è
w∗ -denso in X ∗ .
Teorema 0.12. L’insieme A ⊂ S ∗ è normante se e solo se Sspan(A) è w∗ -densa in
B∗.
12
1
Diametro dei ricoprimenti e proprietà di compattezza
Iniziamo la nostra trattazione dai ricoprimenti più semplici e naturali, ovvero i
ricoprimenti formati da bolle; diamo perciò la seguente definizione. Un ricoprimento
sarà detto B-ricoprimento se i suoi elementi sono bolle chiuse. Osserviamo che una
famiglia di bolle {xi + ri B}i∈I è un ricoprimento di S se e solo se per ogni x ∈ S
esiste un i ∈ I tale che ||x − xi || ≤ ri . I punti xi ∈ X saranno chiamati centri
del ricoprimento, mentre i numeri reali ri > 0 saranno detti raggi del ricoprimento.
Diremo che un B-ricoprimento possiede raggio r se l’estremo superiore dei raggi del
ricoprimento è pari ad r.
Ovviamente {B} è un B-ricoprimento di S, perciò per ottenere risultati non
banali occorre imporre dei vincoli: per esempio il raggio delle bolle non potrà essere
troppo grande, oppure qualche punto di B non dovrà esser ricoperto, oppure ancora i
centri dovranno appartenere a qualche sottoinsieme di X. Come vedremo, differenti
tipi di vincolo rendono i ricoprimenti adatti a studiare differenti proprietà dello
spazio.
1.1
Ricoprimenti mediante bolle
Il vincolo più semplice che possiamo imporre ad un ricoprimento formato da bolle è
presto detto: desideriamo che il suo raggio sia più piccolo di quello di S. Vediamo
subito come, dato un ricoprimento di questo tipo, possiamo ricavare un ricoprimento
di B di raggio arbitrariamente piccolo.
Teorema 1.1. Se esiste un B-ricoprimento finito (numerabile) di S di raggio r < 1,
allora per ogni > 0 esiste un B-ricoprimento finito (numerabile) di B di raggio
< .
Dimostrazione. Sia
[
S⊂
(yj + ρj B)
j∈J
con ρ = sup ρj < 1. Dato un ∈ (0, 1 − ρ), è facile vedere che
[
tS + B ⊂
[tyj + (ρ + )B]
j∈J
per ogni 0 ≤ t ≤ 1. Osserviamo che B è ricoperta dagli insiemi {(1 − k)S + B}nk=0 ,
dove n ∈ (1/ − 1, 1/]. Si ha dunque
[
B ⊂ (xi + rB),
i∈I
dove I = J × {0, . . . , n}, x(j,k) = (1 − k)yj , e r = ρ + . Da questa relazione si ricava
subito
[
xi + rB ⊂ (xi + rxj + r2 B)
j∈I
13
e dunque
B⊂
[
(xi + rxj + r2 B).
i,j∈I
Ma allora
xi + rB ⊂
[
(xi + rxj + r2 xk + r3 B)
j,k∈I
e cosı̀ via. Iterando questo processo possiamo trovare ricoprimenti di B di raggio rn
con n grande a piacimento.
Grazie al teorema 1.1 possiamo già trovare qualche interessante risultato.
Corollario 1.2. Se X è infinito dimensionale, ogni B-ricoprimento finito di S
possiede raggio almeno pari a 1.
Dimostrazione. La tesi segue dal teorema 1.1 e dal fatto che X è finito dimensionale
se e solo se B è totalmente limitata, ovvero se e solo se per ogni > 0 esiste un
ricoprimento finito di B di raggio < .
Corollario 1.3. Sia X infinito dimensionale e sia r < 1. Per ogni collezione finita
di bolle di raggio r e per ogni < 1 − r esiste una bolla di raggio centrata in S che
non è ricoperta dalla collezione.
Dimostrazione. Prendiamo una collezione finita {xn + rn B} con rn ≤ r. Dal corollario 1.2 sappiamo che per ogni < 1 − r esiste un y ∈ S che non è contenuto in
alcuna bolla {xn + (rn + )B}. Ciò significa che la bolla y + B non è ricoperta dalla
famiglia {xn + rn B}.
Corollario 1.4. [6, Theorem 3.1] Se esiste un B-ricoprimento numerabile di S di
raggio r < 1, allora X è separabile.
Dimostrazione. La tesi segue dal teorema 1.1 e dal fatto che X è separabile se e solo
se per ogni > 0 esiste un ricoprimento numerabile di B di raggio < .
Possiamo formulare il corollario 1.4 anche in termini di ricoprimenti dell’intero
spazio.
Corollario 1.5. Se esiste un B-ricoprimento numerabile di X di raggio limitato,
allora X è separabile.
Dimostrazione. Sia X ricoperto da un insieme numerabile di bolle di raggio ≤ r. In
particolare anche (r + 1)S sarà ricoperta da tali bolle. Riscalando il ricoprimento di
un fattore (r + 1)−1 vediamo che S possiede un ricoprimento numerabile di raggio
r/(r + 1) < 1. La tesi segue allora dal corollario 1.4.
Poichè il teorema 1.2 dipende dalla non-compattezza della bolla infinito-dimensionale,
e poichè tale risultato è a sua volta conseguenza del Lemma di Riesz (teorema 0.2),
vediamo ora cosa può dire quest’ultimo riguardo ai nostri ricoprimenti.
14
Teorema 1.6. Se i centri di un B-ricoprimento sono contenuti in un iperpiano,
allora tale ricoprimento possiede raggio almeno pari a 1.
Dimostrazione. Sia α ≥ 0 e f ∈ S ∗ . Fissato > 0, prendiamo x ∈ S tale che
|f (x)| ≥ 1 − . Possiamo supporre −f (x) ≥ 1 − (altrimenti prendiamo il punto
−x). Si ha
dist(x, f −1 (α)) = α − f (x) ≥ α + 1 − dove nel primo passaggio si è usata la formula di Ascoli (teorema 0.3). Se {xi +
ri B}i∈I è una copertura di S con {xi }i∈I ⊂ f −1 (α), allora per qualche i deve essere
ri ≥ dist(x, xi ) ≥ dist(x, f −1 (α))
Per l’arbitrarietà di concludiamo che supi ri ≥ α + 1.
Grazie al teorema 1.6 possiamo ricavare una formulazione più forte del corollario
1.2.
Corollario 1.7. Se esiste un B-ricoprimento di S formato da n + 1 bolle di raggio
r < 1, allora dim(X) ≤ n.
Dimostrazione. Basta osservare che se dimX > n, allora n + 1 punti sono sempre
contenuti in qualche iperpiano.
Osservazione 1.8. Anche il corollario 1.4 si può ricavare immediatamente dal teorema 1.6. Basta infatti notare che, in uno spazio non separabile, lo span lineare di
un insieme numerabile è un sottospazio chiuso proprio.
Il prossimo esempio mostra come il corollario 1.7 non sia invertibile, ossia come il
fatto di possedere ricoprimenti formati da n + 1 bolle di raggio < 1 non caratterizzi
gli spazi di dimensione ≤ n.
Esempio 1.9. Se X = ln∞ (n ≥ 2), allora S non può essere ricoperta da n + 1 bolle
di raggio r < 1. Infatti ogni bolla di raggio r < 1 può contenere al più uno solo dei
2n punti estremi di S.
1.2
Il Lemma di Lusternik-Schnirelmann
Il teorema 1.7 ricorda molto un famoso risultato, notoriamente equivalente al teorema di Borsuk-Ulam (si veda il teorema 0.1). Prima di enunciarlo, ricordiamo che
due punti x, y ∈ S si dicono antipodali se y = −x.
Teorema 1.10 (Lusternik-Schnirelmann). [26] Se esiste un ricoprimento di S formato da n + 1 insiemi chiusi, ciascuno dei quali non contiene alcuna coppia di punti
antipodali, allora dim(X) ≤ n.
Dimostrazione. Mostriamo la dipendenza da Borsuk-Ulam. Sia dim(X) > n e siano
F1 , . . . , Fn+1 degli insiemi chiusi la cui unione contiene S. Supponiamo per assurdo
che Fi non contenga punti antipodali di S per alcun i. Definiamo la funzione f =
(f1 , . . . , fn ) : S → Rn dove fi = dist(x, Fi ) per ogni i. Poichè f è continua, per
15
il teorema di Borsuk-Ulam esiste x ∈ S tale che f (x) = f (−x). Se fi (x) = 0 per
qualche i ≤ n, allora x e −x appartengono a Fi ; altrimenti, poichè ogni punto di S
deve appartenere a qualche Fi , x e −x devono appartenere a Fn+1 . In ogni caso, uno
degli elementi del ricoprimento contiene punti punti antipodali, e questo contraddice
la nostra ipotesi iniziale.
Osservazione 1.11. In uno spazio n-dimensionale è sempre possibile trovare un ricoprimento di S formato da n+1 insiemi chiusi che non contengono punti antipodali.
Sia infatti K ⊂ B un simplesso n-dimensionale che contiene un intorno dell’origine.
Se K1 , . . . , Kn sono le facce di K e se Hi è il semispazio tale che K ∩ Hi = Ki , allora
è facile verificare che gli insiemi B ∩ Hi formano il ricoprimento cercato.
Un corollario immediato è il seguente.
Corollario 1.12. Se X è infinito dimensionale, ogni ricoprimento finito e chiuso
di S possiede un elemento che contiene una coppia di punti antipodali di S.
Grazie al Lemma di Lusternik-Schnirelmann possiamo estendere il teorema 1.7.
Corollario 1.13. Se è possibile ricoprire S con n + 1 insiemi di diametro d < 2,
allora dim(X) ≤ n.
Dimostrazione. Basta notare che se l’insieme F possiede diametro d < 2, allora la
sua chiusura non contiene punti antipodali di S.
Si ottiene anche un’analoga generalizzazione del teorema 1.2.
Corollario 1.14. [22, Theorem 1] Se X è infinito dimensionale, ogni ricoprimento
finito di S possiede diametro almeno pari a 2.
1.3
Ricoprimenti numerabili con diametri tendenti a zero
Abbiamo visto che la sfera di uno spazio infinito-dimensionale non può essere ricoperta da alcuna collezione finita di bolle di raggio < 1. In questo paragrafo vogliamo
rispondere alla seguente domanda: cosa succede se la collezione è infinita ed i raggi
tendono a zero? La prossima proposizione ci assicura che, se è possibile ricoprire S
con una tale collezione, allora la stessa cosa vale anche per B.
Proposizione 1.15. [30, Proposition 5] Se {xn +rn B} è un ricoprimento numerabile
di S di raggio r < 1, allora esiste un ricoprimento numerabile di B formato da bolle
di raggi {ρn,k }, dove ρn,k = rn per ogni k.
Dimostrazione. Per ipotesi si ha
[
S⊂
(xn + rn B).
n∈N
Definiamo le porzioni di sfera ricoperte da ciascuna bolla:
Sn = (xn + rn B) ∩ S.
16
Poichè B = [0, 1]S, per ottenere la tesi basterà ricoprire ogni insieme [0, 1]Sn mediante una collezione numerabile di bolle di raggio rn . È facile vedere che se > 0
e se t ∈ [0, 1] allora
[t − , t + ]Sn ⊂ txn + (trn + )B.
Se in questa relazione poniamo = rn (1 − t), ottieniamo
[t − , t + ]Sn ⊂ txn + rn B.
Tutto ciò che occorre fare, dunque, è coprire l’intervallo [0, 1] con una successione
di intervalli [tk − k , tk + k ] dove k = rn (1 − tk ). Possiamo ad esempio prendere la
successione tk = 1 − (1 − rn )k , poichè t0 = 0, tk+1 = tk + k e lim tk = 1.
Un risultato analogo al teorema 1.15 è il seguente.
P
α
Proposizione 1.16. Sia {rn } ⊂ (0, 1) un insieme numerabile tale che ∞
n=0 rn < ∞
per qualche α ≥ 0. Se esiste un ricoprimento di S formato da bolle di raggi rn ,
allora
un ricoprimento di B formato da bolle di raggi ρn ∈ (0, 1) tali che
P∞ esiste
α+1
<
∞.
ρ
n=0 n
Dimostrazione. Dato un ricoprimento di S mediante bolle di raggi rn che soddisfano
le ipotesi del teorema, utilizziamo il ragionamento sviluppato nella dimostrazione
della proposizione 1.15: se per ogni n ricopriamo l’intervallo [0, 1] con una successione
di intervalli [tn,k − n,k , tn,k + n,k ], otteniamo una copertura di B formata da bolle di
raggi ρn,k = tn,k rn + n,k . Poniamo tn,0 + n,0 = 1, tn,k+1 + n,k+1 = tn,k e n,k = tn,k rn .
Si trova la progressione geometrica
tn,k =
1
1 + rn
k+1
.
Si noti che
0 < ρn,k = 2tn,k rn ≤ 2tn,0 rn =
2rn
< 1.
1 + rn
Sia ora α > 0. Si ha
∞
X
tα+1
n,k <
k=0
(1 + rn )α+1
2α+1
<
,
(1 + rn )α+1 − 1
rn
perciò
∞
X
k=0
ρα+1
n,k
α+1
= (2rn )
∞
X
α+1 α
tα+1
rn .
n,k < 4
k=0
La tesi segue dunque sommando su n.
17
Osservazione 1.17. Le proposizioni 1.15 e 1.16 si possono estendere a ricoprimenti qualsiasi, a patto di utilizzare il diametro del ricoprimento dove in precedenza
abbiamo usato il raggio. Supponiamo infatti che {En } sia un ricoprimento di S di
diametro < 2. È facile vedere che se > 0 e se t ∈ [0, 1] allora
[t − , t + ](S ∩ En ) ⊂ tEn + B
dove l’insieme tEn + B possiede diametro al più pari a tdiam(En ) + 2. Le dimostrazioni si generalizzano dunque facilmente.
Rispondiamo ora alla domanda che ci siamo posti all’inizio del paragrafo.
Teorema 1.18. [10, Theorem 1] Se X è infinito-dimensionale e completo, allora S
non può esser ricoperta da alcuna successione di bolle di raggi (rn ) ⊂ (0, 1) tale che
rn → 0.
Dimostrazione. Sia X uno spazio completo infinito-dimensionale. Prendiamo una
successione di bolle (xn + rn B) tali che la successione (rn ) soddisfi le ipotesi del
teorema. Scegliamo
0 < 1 < 1 − sup rn
e n1 ∈ N tale che rn < 1 /2 per ogni n > n1 . Per il corollario 1.3, esiste y1 ∈ B tale
che y1 + 1 B non incontra xn + rn B per alcun n ≤ n1 . Indichiamo con B1 una bolla
di raggio 1 /2 contenuta in (y1 + 1 B) ∩ B.
Scegliamo ora
1
0 < 2 < − sup rn
2 n>n1
e n2 ∈ N tale che rn < 2 /2 per ogni n > n2 . Sempre per il corollario 1.3 esiste
y2 ∈ B1 tale che y2 + 2 B non incontra xn + rn B per alcun n1 < n ≤ n2 . Indichiamo
con B2 una bolla di raggio 2 /2 contenuta in (y2 + 2 B) ∩ B1 .
Continuando in questo modo troviamo una successione di bolle Bk ⊂ B di raggio
k /2 tali che Bk+1
T ⊂ Bk per ogni k. Poichè k → 0 e poichè lo spazio è completo,
l’insieme A = Bk è non vuoto. Inoltre, poichè Bk non incontra xn + rn B per
alcun n ≤ nk , e poichè nk → ∞, A non incontra nessuno degli insiemi xn + rn B.
Ciò significa che A è un sottoinsieme non vuoto di B che non è ricoperto da {xn +
rn B}. Poichè gli xn sono arbitrari, concludiamo che non si può coprire B con alcuna
successione di bolle che abbiano raggi rn . Ma allora, per la proposizione 1.15, la
stessa cosa vale anche per S.
Corollario 1.19. [25, Corollary 1] Uno spazio completo e infinito-dimensionale non
può esser ricoperto da alcuna successione di bolle tale che rn → 0.
Dimostrazione. Poichè lim rn = 0, sup rn < r per qualche r > 0. Se esistesse un
ricoprimento di X (e dunque di rB) formato da una successione di bolle di raggi rn ,
allora ne esisterebbe uno di S di raggi rn /r, in contraddizione col teorema 1.18.
Osservazione 1.20. Procedendo in modo analogo alla dimostrazione del teorema
1.18, utilizzando il corollario 1.14 in luogo del corollario 1.2, nonché ricordando
l’osservazione 1.17, si arriva al seguente risultato.
18
[10, Theorem 1] Se X è completo e infinito-dimensionale, allora S non
possiede ricoprimenti numerabili {An } con diam(An ) < 2 e limn→∞ diam(An ) =
0.
Il prossimo esempio ci mostra che l’ipotesi di completezza è necessaria.
Esempio 1.21. [25, Theorem 6] Sia X lo spazio delle successioni finite con norma
||x|| = sup |xn |. In altre parole:
∞
[
X=
ln∞ .
n=1
Poichè la sfera di ln∞ è compatta, possiamo ricoprirla con una successione finita di
bolle di raggio 1/2n . Se accostiamo queste successioni, otteniamo una successione
di bolle di raggi < 1 e tendenti a 0 che copre SX .
Che cosa possiamo dire se lo spazio non è completo? Una risposta si trova
applicando la proposizione 1.16 al risultato mostrato in [9]. Si ottiene allora il
seguente teorema.
Teorema 1.22. Se X è infinito-dimensionale allora S non
P∞puòαesser ricoperta da
alcuna successione di bolle di raggi (rn ) ⊂ (0, 1) tale che n=0 rn < ∞ per qualche
α ≥ 0.
Dimostrazione. Se dimostriamo che non esiste alcuna copertura di B che soddisfa
le proprietà enunciate sopra, allora la proposizione 1.16 ci assicura che non ne esiste alcuna neppure per S. Supponiamo dunque, per assurdo, che B possa essere
ricoperta da una successione di bolle (xn + rn B) con (rn ) soddisfacente alle ipotesi
del teorema. Come abbiamo visto nella dimostrazione del teorema 1.18, per ogni
0 < < 1 − sup rn e per ogni n
e ∈ N esiste y ∈ B tale che la bolla y + /2B sia
contenuta in B ma sia disgiunta da xn + rn B per ogni n ≤ n
e. Ora, fissiamo un
intero N > α e scegliamo n
e in modo che
∞
X
rnN <
n=e
n+1
N
.
4N
Consideriamo un sottospazio N -dimensionale Y che contiene il punto y. Si osservi
che (y+/2B)∩Y = y+/2(B∩Y ). Detta HN la misura di Hausdorff N -dimensionale
su Y , si trova allora
∞
X
N N
N
H (B ∩ Y ) = H ([y + /2B] ∩ Y ) ≤
HN ([xn + rn B] ∩ Y ) .
2N
n=e
n+1
Poichè per ogni n l’insieme (xn + rn B) ∩ Y possiede diametro al più pari a 2rn , esiste
yn ∈ Y tale che (xn + rn B) ∩ Y ⊂ yn + 2rn (B ∩ Y ). Ciò significa che:
∞
X
n=e
n+1
N
N
H ([xn + rn B] ∩ Y ) ≤ 2
∞
X
n=e
n+1
19
rnN HN (B ∩ Y ).
Dunque deve essere
∞
X
rnN ≥
n=e
n+1
N
,
4N
ma ciò è in contraddizione con l’ipotesi iniziale su n
e, perciò il teorema è dimostrato.
Corollario 1.23. [25, Theorem 5] Uno spazio infinito-dimensionale
può esser
P∞ non
α
<
∞ per
ricoperto da alcuna successione di bolle di raggi (rn ) tale che
r
n=0 n
qualche α ≥ 0.
Dimostrazione. La dimostrazione è analoga a quella del corollario 1.19.
Osservazione 1.24. Procedendo come nella dimostrazione del teorema 1.22 e ricordando l’osservazione 1.17, si vede subito che:
[10, Theorem 2] Se X è infinito-dimensionale e P
se {An } è un ricopriα
mento numerabile di S di diametro d < 2, allora ∞
n=0 d(An ) = ∞ per
ogni α ≥ 0.
Osserviamo che se {xn + rn B} è un ricoprimento di S con sup rn < 1 e rn → 0,
allora per ogni > 0 si ha che rn > solo per un numero finito di n. Ragionando
come nella dimostrazione del teorema 1.1 possiamo allora ricavare un ricoprimento
{yn + ρn B} di B con sup ρn < e ρn → 0. Diamo allora la seguente definizione.
Definizione 1.25. Diciamo che un insieme A ⊂ X è piccolo se per ogni > 0
l’insieme A può essere ricoperto da una successione di bolle di raggi rn < tale che
lim rn = 0.
Nella precedente definizione possiamo ovviamente sostituire le bolle con insiemi
di diametro rn . In [4, Proposition 1] è dimostrato che un insieme A è piccolo se e
solo se esiste una successione di bolle (xn + rn B) tale che lim rn = 0 e
\ [
A⊂
(xn + rn B).
k∈N n≥k
Gli insiemi piccoli condividono molte proprietà con un altra classe di insiemi,
gli insiemi di prima categoria. Abbiamo visto che uno spazio completo infinitodimensionale non può essere piccolo (corollario 1.19). Inoltre gli insiemi piccoli
formano un σ-ideale [12, Proposition 4]. Gli insiemi σ-compatti, oltre ad essere di
prima categoria, sono ovviamente piccoli; tuttavia è possibile trovare insiemi piccoli
che non sono di prima categoria, nonchè insiemi di prima categoria che non sono
piccoli [5, Lemma 1]. Il lettore interessato a questi argomenti può consultare [12],
[5] e la bibliografia ivi fornita.
20
2
Ricoprimenti economici e separabilità debole∗
del duale
Un altro vincolo che possiamo imporre al ricoprimento è che l’unione dei suoi
elementi non contenga tutta la bolla unitaria. Diamo allora le seguenti definizioni.
Un ricoprimento F di S si dice economico rispetto ad un punto x ∈ B se x non
è contenuto in nessun elemento di F. Si osservi che un tale punto dovrà necessariamente essere un punto interno di B. Dato ρ ∈ (0, 1), diciamo che il ricoprimento
F è ρ-economico rispetto ad un punto x ∈ B se x + ρB è disgiunto da ogni elemento di F. Questo in particolare implica che ||x|| < 1 − ρ. Un ricoprimento
verrà detto economico (ρ-economico) se è economico (ρ-economico) rispetto a qualche x ∈ B. Osserviamo che un ricoprimento economico formato da una collezione
finita di insiemi chiusi è sempre ρ-economico per qualche ρ > 0.
Come nel capitolo precedente, inizieremo l’analisi dai ricoprimenti formati da
bolle chiuse, i quali continueranno ad essere indicati mediante il prefisso B. Vale la
pena notare che {xi + ri B} è un ricoprimento economico rispetto ad x se e solo se
||xi − x|| > ri per ogni i. Esso è un ricoprimento ρ-economico rispetto ad x se e solo
se ||xi − x|| > ri + ρ per ogni i.
2.1
Ricoprimenti mediante bolle
Vediamo subito che l’esistenza di B-ricoprimenti economici finiti impone un vincolo
sulla dimensione massima dello spazio considerato. In [6, Theorem 2.3] viene infatti
dimostrato che se esiste un ricoprimento di S formato da n + 1 bolle che non contengono l’origine, allora lo spazio possiede dimensione al più pari a n. Il seguente
risultato, leggermente più generale, seguirà direttamente dal teorema 2.10.
Teorema 2.1. Se esiste un ricoprimento economico formato da n + 1 bolle, allora
dimX ≤ n.
Osserviamo che il teorema 2.1 non è invertibile, proprio come era già successo
per un risultato simile, il corollario 1.7.
Esempio 2.2. In X = ln∞ (n ≥ 2) non esiste alcun ricoprimento economico formato
da n + 1 bolle. Infatti, grazie al Teorema di Separazione è facile vedere che l’unione
di n + 1 bolle non contenenti un punto x ∈ B può contenere al più n + 1 delle 2n
facce di S.
Osservazione 2.3. In [6, Theorem 2.3] è mostrato che in uno spazio liscio di dimensione n esistono sempre ricoprimenti formati da n + 1 bolle che non contengono
2
l’origine. In [7, Theorem 3.2] si afferma che se X = lk∞ ⊕∞ ln−k
per qualche n e per
qualche k < n, allora ogni B-ricoprimento economico rispetto all’origine è formato
da almeno n + k + 1.
Osservazione 2.4. In [1] viene formulata la seguente congettura:
Sia dim(X) = n ≥ 2. Se una famiglia di n + 1 bolle di raggio r ≤ 1
copre S, allora essa ricopre anche B.
21
Tale congettura è stata verificata per n = 2 (si veda [1, Theorem 8, Remark 6]), ma
nel caso generale sembra essere ancora aperta.
Per quanto riguarda gli spazi infinito-dimensionali, vale il seguente corollario
immediato del teorema 2.1.
Corollario 2.5. In uno spazio infinito-dimensionale, ogni B-ricoprimento finito di
S copre anche B.
Dal teorema 1.4 sappiamo che se esiste un B-ricoprimento economico numerabile
di raggio r < 1, allora lo spazio è separabile. Ci si può chiedere se la separabilità
sia implicata anche dall’esistenza di B-ricoprimenti economici numerabili di raggio
r ≥ 1. Il prossimo esempio mostra come ciò non sia vero.
Esempio 2.6. [6, Example 3.4] Mostriamo che in X = l∞ esiste un ricoprimento
numerabile di raggio 1 che non copre l’origine. Sia en l’elemento di l∞ tale che
en (i) = δni per ogni n, i ∈ N. Sia poi a ∈ (1, 2). Se x ∈ S, esiste un indice i tale che
|x(i)| > a − 1. Allora
min (||x − aei ||, ||x + aei ||) ≤ max{a − |x(i)|, ||x||} = 1.
Poichè x è arbitrario, la collezione {±aen + B} ricopre S.
Dall’esistenza di un B-ricoprimento economico numerabile si può tuttavia mostrare una proprietà più debole della separabilità.
Teorema 2.7. Se esiste un B-ricoprimento economico numerabile, allora X ∗ è w∗ separabile.
Il teorema 2.7 è stato dimostrato in [6, Proposition 4.1] per i ricoprimenti economici rispetto all’origine; nel nostro caso, esso è un semplice corollario del teorema
2.15. Ancora una volta, l’implicazione contraria non è corretta, come mostrato nel
prossimo esempio.
Esempio 2.8. [8, Theorem 2.1] Sia X = l1 [0, 1]. Il duale X ∗ = l∞ [0, 1] è w∗
separabile, poichè C[0, 1] è w∗ -denso in l∞ [0, 1]. Vogliamo mostrare che in X non
esistono ricoprimenti economici numerabili formati da bolle. Sia infatti {xn } un
sottoinsieme numerabile di X e sia
Kn = {α ∈ [0, 1] : xn (α) 6= 0}.
S
Poichè ogni Kn è numerabile, anche l’insieme K = Kn sarà numerabile. Prendiamo allora un α ∈ [0, 1] che non appartiene a K ed indichiamo con y la funzione
caratteristica di {α}. Allora y ∈ S e ||y − xn || = ||y|| + ||xn || per ogni n. Questo
implica che una bolla di centro xn contiene y solo se contiene ogni altro punto di
B. Per l’arbitrarietà degli xn , ogni ricoprimento numerabile di S ricoprirà dunque
anche B.
22
2.2
Ricoprimenti mediante insiemi convessi
Abbiamo visto come i ricoprimenti formati da bolle non siano in generale sufficienti
a ricoprire la sfera in modo economico. Per questo motivo ci occuperemo ora di una
classe di ricoprimenti più ampia: la classe dei ricoprimenti convessi.
Un primo semplice risultato è il seguente.
Teorema 2.9. Se gli elementi di un ricoprimento convesso di S possiedono un punto
in comune, allora tale ricoprimento copre anche B.
Dimostrazione. Sia {Ci } una copertura convessa di S e sia x ∈ X un punto in
comune agli insiemi Ci . Dobbiamo mostrare che ogni punto interno di B è contenuto
in qualche Ci . Ma se y è interno a B, allora ogni semiretta che parte da y interseca
S in un punto, perciò deve esistere x̃ ∈ S tale che y ∈ (x, x̃). Poichè x̃ ∈ Ci per
qualche i, allora sarà y ∈ Ci per convessità.
Dobbiamo ora dimostrare i teoremi enunciati nel paragrafo precedente. Il primo
di essi, il teorema 2.1, è un caso particolare del prossimo risultato.
Teorema 2.10. Se esiste un ricoprimento economico formato da n+1 insiemi chiusi
e convessi, allora dimX ≤ n.
Dimostrazione. Sia {K1 , . . . , Kn+1 } un ricoprimento chiuso, convesso, ed economico
rispetto ad un punto x ∈ B. Allora per ogni i esiste un iperpiano Hi ⊃ {x} disgiunto
da Ki . Definiamo
H=
n
\
Hi
i=1
e osserviamo che dimH ≥ dimX − n e che Kn+1 ⊃ H ∩ S. Se fosse dimX > n, allora
x sarebbe contenuto in Kn+1 , in quanto combinazione convessa di punti in H ∩ S.
Ma questo contraddice le ipotesi, perciò il teorema è dimostrato.
Vale anche l’implicazione opposta, in una forma più forte.
Teorema 2.11. Sia dimX = n. Per ogni punto x interno a B esiste un ricoprimento formato da n + 1 insiemi chiusi e convessi che è -economico rispetto ad x
per qualche > 0.
Dimostrazione. Sia dimX = n, e sia x interno a B. Per > 0 abbastanza piccolo
esiste un simplesso n-dimensionale K tale che x + B ⊂ K ⊂ B. Chiamiamo Ki le
facce di K e Hi i semispazi tale che K ∩ Hi = Ki . Gli insiemi B ∩ Hi formano il
ricoprimento cercato.
Osservazione 2.12. Si noti che in uno spazio finito-dimensionale esistono ricoprimenti finiti, chiusi, convessi, e ρ-economici per ogni ρ < 1. Ciò deriva dal fatto che
per ogni ρ < 1 esiste sempre un politopo K tale che ρB ⊂ K ⊂ B.
Osservazione 2.13. I teoremi 2.10 e 2.11 si possono facilmente generalizzare al
caso in cui B è un qualsiasi corpo convesso la cui frontiera è S.
23
Per comodità, d’ora in avanti indicheremo col termine CC-ricoprimento ogni
ricoprimento formato da insiemi chiusi e convessi. Come corollario immediato del
teorema 2.10 si ha il seguente.
Corollario 2.14. In uno spazio infinito-dimensionale ogni CC-ricoprimento finito
di S copre anche B.
Dimostriamo ora il teorema 2.7 nella seguente forma più generale.
Teorema 2.15. Se esiste un CC-ricoprimento economico numerabile, allora X ∗ è
w∗ -separabile.
Dimostrazione. Sia {Kn } un ricoprimento numerabile, chiuso, convesso, ed economico rispetto ad un punto x ∈ B. Dal Teorema di Separazione ricaviamo che per
ogni n esiste fn ∈ S ∗ tale che
fn (z − x) > 0 per ogni z ∈ Kn .
Fissiamo ora un punto y ∈ S. Poichè x è interno a B, ogni semiretta che parte da
x ed è diretta lungo y interseca S nel punto z = x + ||z − x||y. Poichè l’unione
degli insiemi Kn contiene S, deve essere z ∈ Kn per qualche n. Ma ciò significa che
fn (y) = ||z − x||−1 fn (z − x) > 0. L’insieme {fn } separa dunque i punti di X e la
tesi segue dal teorema 0.11.
Vale anche l’implicazione inversa, in una forma più forte.
Teorema 2.16. Se X ∗ è w∗ -separabile, allora per ogni punto x interno a B esiste
un CC-ricoprimento numerabile ed economico rispetto ad x.
Dimostrazione. Grazie al teorema 0.11 esiste un insieme numerabile {fn } ⊂ S ∗ che
separa i punti di X. Dato un punto x interno a B, sia αn = fn (x). Per ogni y 6= x
esistono n e k ∈ N tale che |fn (y) − αn | ≥ 1/k. Ciò significa che gli insiemi
1
Sn,k = {y ∈ B : fn (y) ≥ αn + },
k
1
Sn,−k = {y ∈ B : fn (y) ≤ αn − }
k
per k ∈ N\{0} esibiscono il ricoprimento cercato.
In generale, sotto la sola ipotesi di w∗ -separabilità di X ∗ non possiamo richiedere
l’esistenza di un CC-ricoprimento ρ-economico. Valgono infatti i seguenti teoremi.
Teorema 2.17. Sia r ∈ (0, 1] e sia x ∈ B. Se per ogni ρ < r esiste un CCricoprimento numerabile e ρ-economico rispetto ad x, allora esiste un insieme numerabile r(1 + ||x||)−1 -normante per X.
Dimostrazione. Sia r ∈ (0, 1] e sia x ∈ int(B). Per ipotesi, per ogni k sufficientemente grande esiste un ricoprimento {Cn,k }n∈N chiuso, convesso, e (r − 1/k)-economico
rispetto ad x. Dal Teorema di Separazione ricaviamo che per ogni n esiste un
fn,k ∈ S ∗ tale che
fn,k (z) ≥ fn,k (y) per ogni z ∈ Cn,k e per ogni y ∈ x + (r − 1/k)B.
24
Osserviamo che per ogni δ < r − 1/k possiamo trovare y ∈ x + (r − 1/k)S tale che
|fn,k (y − x)| ≥ δ (teorema 0.2). Possiamo supporre fn,k (y − x) ≥ δ (altrimenti al
posto di y consideriamo il punto 2x − y). Si ha dunque
fn,k (z − x) ≥ r − 1/k per ogni z ∈ Cn,k .
Come abbiamo fatto per il teorema 2.15, osserviamo che per ogni punto y ∈ S
esistono n ∈ N e z ∈ S ∩ Cn,k tali che z = x + ||z − x||y. Poichè ||z − x|| ≤ 1 + ||x||
per ogni z ∈ S, si trova sup fn,k (y) ≥ r/(1 + ||x||) per ogni y ∈ S. L’insieme {fn,k }
è perciò un insieme r/(1 + ||x||)-normante di X.
Teorema 2.18. Se per qualche r ∈ (0, 1] esiste un insieme numerabile r-normante
per X, allora per ogni punto x interno a B e per ogni ρ < r esiste un CCricoprimento ρ(1 − ||x||)-economico numerabile i cui elementi non contengono x.
Dimostrazione. Sia {fn } ⊂ S ∗ un insieme r-normante di X. Fissato z ∈ B, per ogni
y ∈ S e per ogni ρ < r esiste n tale che |fn (y) − fn (z)| ≥ ρ||y − z||. Ciò significa
che, se esiste δ > 0 tale che ||y − z|| ≥ δ per ogni y ∈ S, allora gli insiemi
Sn+ = {y ∈ B : fn (y) ≥ fn (z) + ρδ},
Sn− = {y ∈ B : fn (y) ≤ fn (z) − ρδ}
formano un ricoprimento ρδ-economico rispetto a z.
Sia ora x un punto interno a B. Se ||x|| ≤ ρ poniamo z = 0; si trova δ = 1 e la
tesi è dimostrata. Sia dunque ||x|| > ρ. Definiamo
z = x − ρ(1 − ||x||)
x
.
||x||
Si noti che ||x − z|| = ρ(1 − ||x||), perciò x ∈ [z + ρ(1 − ||x||)B] ⊂ ||x||B. Questo in
particolare implica che δ ≥ 1 − ||x||, e con ciò il teorema è dimostrato.
Dai teoremi 0.12, 2.17 e 2.18 ricaviamo subito il seguente corollario.
Corollario 2.19. B ∗ è w∗ -separabile se e solo se per ogni ρ < 1 esiste un CCricoprimento numerabile e ρ-economico.
Ci chiediamo ora quanto “simili a bolle” possano essere i ricoprimenti dei teoremi
2.16 e 2.18. La risposta è fornita dai seguenti risultati.
Teorema 2.20. Sia X ∗ w∗ -separabile e sia x ∈ int(B). Per ogni > 0 esiste un
-rinormamento Y di X tale che
[
[
SX ⊂
(xn + rBY ) e x ∈
/
(xn + rBY )
n∈N
n∈N
per opportuni r > 0 e xn ∈ X.
Dimostrazione. In [21, Theorem 1.4] viene esibito un -rinormamento Y tale che
esiste un ricoprimento numerabile {xn + rBY } di BX \{0} che non copre l’origine.
Ciò significa che, dato un punto x interno a B, {(x+2xn )+2rBY } è un ricoprimento
di (x + 2BY )\{x} che non copre x. La tesi segue allora dal fatto che (x + 2BY ) ⊃
BY ⊃ SX .
25
Teorema 2.21. Supponiamo che per qualche r > 0 esista un insieme r-normante
di X e sia x ∈ int(B). Per ogni > 0 esiste un -rinormamento Y di X tale che
[
[
SX ⊂
(xn + rBY ) e (x + δB) ∩
(xn + rBY ) = ∅
n∈N
n∈N
per opportuni δ > 0, r > 0, e xn ∈ X.
Dimostrazione. In [21, Theorem 2.2] viene mostrato che per qualche γ > 0 esiste
un ricoprimento numerabile {xn + rBY } di BY \γBY i cui elementi sono disgiunti
da γBY . Osserviamo che per ogni 0 < < γ, la famiglia {xn + (r + )BY } ricopre
BY \(γ − )BY e sono disgiunti da (γ − )BY . La tesi segue allora con ragionamenti
analoghi a quelli utilizzati per il teorema 2.20.
2.3
Spazi poliedrali
Dalla definizione di ricoprimento -economico si vede subito che non possono esistere ricoprimenti 1-economici. Tuttavia ci sono dei ricoprimenti che sono ancora più
“economici” di tutti i ricoprimenti che abbiamo considerato nel paragrafo precedente. Questi ricoprimenti sono quelli che coprono S senza ricoprire alcun punto interno
a B. Un ricoprimento di questo tipo sarà perciò detto perfettamente economico.
Per concludere l’analisi iniziata in questo capitolo, vogliamo ora caratterizzare gli
spazi che possiedono ricoprimenti numerabili, convessi e perfettamente economici.
Teorema 2.22. Uno spazio X ammette ricoprimenti numerabili, convessi e perfettamente economici se e solo se esiste un insieme numerabile {fn } ⊂ S ∗ che realizza
la norma di X.
Dimostrazione. Sia {Kn } un ricoprimento numerabile, convesso, e perfettamente
economico. Dal Teorema di Separazione ricaviamo che per ogni n esiste fn ∈ S ∗ tale
che
fn (z) ≥ fn (y) per ogni z ∈ Kn e per ogni y ∈ B.
Per ogni ρ < 1 esiste y ∈ S tale che |fn (y)| ≥ ρ. Possiamo supporre fn (y) ≥ ρ
(altrimenti al posto di y consideriamo il punto −y). Si ha dunque
fn (z) = 1 per ogni z ∈ Kn .
Poichè {Kn } ricopre S, {fn } realizza la norma di X.
Per quanto riguarda l’implicazione inversa, osserviamo che, dato un insieme numerabile {fn } ⊂ S ∗ che realizza la norma di X, gli insiemi Sn± = {y ∈ S : fn (y) =
±1} sono convessi e la loro unione contiene S.
Gli spazi in cui la norma è realizzata da un insieme numerabile di funzionali
continui sono dunque quelli in cui la sfera è composta da un infinità numerabile di
faccie. Osserviamo subito che c0 è uno di essi.
Esempio 2.23. Sia X = c0 e sia fn definito da fn (x) = x(n) per ogni x ∈ X e per
ogni n ∈ N. È facile verificare che i funzionali fn realizzano la norma di X.
26
Esiste una classe di spazi che è intimamente legata alle proprietà considerate sopra. Diciamo che X è uno spazio poliedrale se per ogni sottospazio finitodimensionale Y la bolla finito-dimensionale B ∩ Y è un politopo. Vale il seguente
teorema.
Teorema 2.24. [15, Theorem 1] Se X è uno spazio separabile e poliedrale, allora
esiste un insieme numerabile {fn } ⊂ S ∗ che realizza la norma di X.
Osservazione 2.25. Si può dimostrare che uno spazio separabile poliedrale possiede
duale separabile [15, Theorem 2]. Inoltre ogni spazio poliedrale è saturato da c0 ,
ossia ogni sottospazio chiuso infinito-dimensionale contiene un sottospazio isomorfo
a c0 . [15, Theorem 3]).
L’inverso del teorema 2.24 è falso: si consideri ad esempio in X = l22 la norma
indotta dall’involucro convesso dei punti x ∈ SX tali che x1 = 0 oppure x1 = ±1/n
per n = 1, 2, . . .. Si può tuttavia mostrare che se la norma di X è realizzata da un
insieme numerabile di funzionali continui, allora esiste un rinormamento che rende
X poliedrale, ovvero X è isomorficamente poliedrale (si veda il teorema 3.7).
27
3
Ricoprimenti puntualmente finiti e regolarità
dello spazio
Nel capitolo precedente abbiamo appurato che gli elementi di un ricoprimento economico convesso non possono possedere alcun punto in comune (teorema 2.9). In
questo capitolo desideriamo approfondire quali siano le “proprietà di sovrapposizione” di questi ricoprimenti. A questo proposito, si ricordino le definizioni sull’ordine
di un ricoprimento date nel capitolo 0.
3.1
Il caso finito-dimensionale
Come prima cosa, dimostriamo che in ogni spazio finito-dimensionale esiste un limite inferiore all’ordine dei CC-ricoprimenti economici finiti. Abbiamo bisogno del
seguente risultato.
Teorema 3.1. [18, Lemma 3.5] Sia dim(X) = n e sia F un ricoprimento finito di
S formato da insiemi chiusi, ciascuno dei quali non contiene alcuna coppia di punti
antipodali di S. Allora l’ordine di F è almeno pari a (n + 1)/2.
Dimostrazione. Sia k l’ordine di F = {F1 , . . . , Fm } e supponiamo per assurdo che
sia k < (n + 1)/2. Poichè gli elementi di F sono chiusi, esiste un > 0 tale che
l’insieme Ui = Fi + B non contiene punti antipodali per alcun ie la famiglia {Ui }m
i=1
possiede ordine k. Prendiamo una partizione dell’unità {ϕi } subordinata a {Ui }.
Sia poi f : S → Rm la funzione continua definita da f (x) = (ϕ1 (x), . . . , ϕm (x)) per
ogni x ∈ S. Poichè f (x) possiede al più k coordinate diverse da 0, f (S) è una varietà
topologica di dimensione q ≤ k − 1. È noto [13, Theorem 1.11.4] che in questo caso
esiste un immersione continua g : f (S) → R2q+1 . Notiamo che 2q + 1 ≤ 2k − 1 < n.
Ma poichè g ◦ f (x) 6= g ◦ f (−x) per ogni x ∈ S, ciò contraddice il teorema di
Borsuk-Ulam, ed il teorema è dunque dimostrato.
Si osservi la somiglianza del teorema 3.1 con il Lemma di Lusternik-Schnirelmann
(teorema 1.10). A differenza di quanto accaduto nel capitolo 1, le condizioni necessarie per la validità del teorema sono ora troppo restrittive per i nostri scopi.
Fortunatamente possiamo estendere il risultato ad una classe di ricoprimenti più
generale. Prima però introduciamo una nuova definizione. Due punti x, y ∈ S si
dicono antipodali rispetto ad un punto z ∈ int(B) se z ∈ (x, y).
Corollario 3.2. Sia dim(X) = n, x ∈ int(B) e sia F un ricoprimento finito di S
formato da insiemi chiusi, ciascuno dei quali non contiene alcuna coppia di punti
antipodali rispetto ad x. Allora l’ordine di F è almeno pari a (n + 1)/2.
Dimostrazione. Sia k l’ordine di F = {F1 , . . . , Fm } e sia f : S → S la funzione
definita da f (y) = (y − x)/||y − x|| per ogni y ∈ S. f è continua, biettiva, e chiusa
(perchè S è compatta), perciò gli insiemi f (F1 ), . . . , f (Fm ) formano un ricoprimento
chiuso di S di ordine k. Inoltre f mappa punti antipodali rispetto a x in punti
antipodali rispetto all’origine. Dal teorema 3.1 si ottiene allora k ≥ (n + 1)/2.
28
Osservazione 3.3. Sia K un generico corpo convesso. Diciamo che x, y ∈ ∂K sono
punti antipodali rispetto a z ∈ int(K) se z ∈ (x, y). Si verifica facilmente che il
corollario 3.2 vale anche quando B = K ed S = ∂K.
Possiamo ora trovare il risultato cercato.
Corollario 3.4. Sia dim(X) = n e sia F un CC-ricoprimento finito ed economico
di S. Allora l’ordine di F è almeno pari a (n + 1)/2.
Dimostrazione. La tesi segue direttamente dal corollario 3.2, osservando che se un
insieme chiuso convesso non contiene un punto x ∈ int(B), allora non contiene
alcuna coppia di punti antipodali rispetto a x.
3.2
Il caso infinito-dimensionale
Il teorema 3.4 suggerisce le seguenti domande. In uno spazio infinito-dimensionale
esistono CC-ricoprimenti economici convessi puntualmente finiti o anche localmente
finiti? Quali sono le proprietà dello spazio implicate dall’esistenza di tali ricoprimenti?
Iniziamo osservando che la risposta alla prima domanda è positiva.
Esempio 3.5. Nello spazio X = c0 definiamo gli insiemi Sn± = {x ∈ S : x(n) =
±1}. Per quanto visto nell’esempio 2.23, gli insiemi Sn± formano un ricoprimento
economico di S. Vogliamo mostrare che tale ricoprimento è anche localmente finito.
Fissiamo x ∈ S e prendiamo l’insieme finito N ⊂ N tale che x(n) ≥ 1/2 se e solo se
n ∈ N . Gli insiemi Sn± sono disgiunti da x + 1/2B per ogni n 6= N , perciò x + 1/2B
è un intorno di x che incontra al più un numero finito di membri del ricoprimento.
Si verifica agevolmente che il ricoprimento costruito nell’esempio precedente possiede ordine infinito. Non è un caso; vale infatti il seguente risultato, tratto da [18,
Corollary 3.6].
Teorema 3.6. Sia X infinito-dimensionale. Ogni CC-ricoprimento economico e
localmente finito non può possedere ordine finito.
Dimostrazione. Sia F un ricoprimento economico localmente finito di S formato da
insiemi chiusi e convessi. Prendiamo un x ∈ B disgiunto da ogni elemento di F, un
n ∈ N ed un sottospazio n-dimensionale Z che contenga x. Nella topologia relativa
di Z, l’insieme B∩Z è chiuso, limitato, convesso e possiede interno non vuoto, poichè
x è un punto interno di B. Gli elementi della famiglia FZ = {F ∩ Z : F ∈ F} sono
chiusi, convessi e formano un ricoprimento economico di S ∩ Z. Essi sono inoltre
in numero finito, poichè FZ è localmente finita e B ∩ Z è compatto. Il teorema 3.4
e l’osservazione 3.3 ci dicono allora che l’ordine di FZ è almeno pari ad (n − 1)/2,
perciò anche l’ordine di F è almeno pari ad (n − 1)/2. Dall’arbitrarietà di n si
ottiene la tesi.
Ricordiamo che una famiglia {Ei } si dice tassellamento di un insieme A se è
un ricoprimento di A formato da insiemi i cui interni non si sovrappongono. Il
ricoprimento costruito nell’esempio 3.5 è ovviamente un tassellamento: esso sfrutta
29
in modo determinante il fatto che la sfera di c0 sia unione numerabile localmente
finita delle sue facce. Ogni spazio in cui accade ciò è ovviamente poliedrale (si ricordi
il paragrafo 2.3). Tuttavia, se la sfera è unione numerabile delle sue faccie (ovvero
se la norma di X è realizzata da un insieme numerabile di funzionali), non è detto
che tale unione sia localmente finita, neanche nel caso in cui lo spazio sia poliedrale
(un esempio è lo spazio X = R ⊕1 c0 ). Vale però il seguente risultato.
Teorema 3.7. [16, Theorem A] Se la norma di X è realizzata da un insieme numerabile di funzionali, allora esiste un rinormamento X̂ ed un insieme numerabile
di funzionali {gn } ⊂ SX̂ ∗ tali che gli insiemi SX̂ ∩ gn−1 (1) formino un ricoprimento
localmente finito di SX̂ . In particolare, X̂ è poliedrale.
Si ricava immediatamente il seguente corollario.
Corollario 3.8. Se esiste un CC-ricoprimento numerabile e perfettamente economico, allora è possibile trovare un CC-ricoprimento numerabile economico localmente
finito.
Dimostrazione. Grazie al teorema 2.22 sappiamo che la norma di X è realizzata da
un insieme numerabile di funzionali. Siano X̂ e {gn } ⊂ SX̂ ∗ come da teorema 3.7 e
sia Sn = SX̂ ∩ gn−1 (1). Si verifica facilmente che gli insiemi ([1, ∞]Sn ) ∩ BX formano
un tassellamento localmente finito di SX .
Il teorema 3.7 offre anche il modo di caratterizzare gli spazi che ammettono
tassellamenti numerabili localmente finiti.
Teorema 3.9. [16, Theorem 2] Ogni spazio isomorficamente poliedrale ammette un
CC-tassellamento numerabile, localmente finito e limitato. Inoltre, se X ammette
un tassellamento convesso numerabile localmente finito che possiede un elemento
limitato con interno non vuoto, allora X è isomorficamente poliedrale.
Dimostrazione. Se X è isomorficamente poliedrale, allora per il teorema 2.24 esistono una norma equivalente ed un insieme numerabile di funzionali che realizzano
tale norma. Prendiamo allora X̂ e {gn } ⊂ SX̂ ∗ come da teorema 3.7 e definiamo
Cn = SX̂ ∩ gn−1 (1). Si verifica facilmente che gli insiemi {[m, m + 1]Cn }∞
n,m=1 e BX̂
formano un un tassellamento localmente finito di X.
Sia ora {Cn }∞
n=0 un tassellamento convesso e localmente finito di X e supponiamo che C0 sia limitato e possieda interno non vuoto. Possiamo supporre senza
perdita di generalità che l’origine sia un punto interno di C0 (altrimenti trasliamo
opportunamente il tassellamento). Sia U = C0 ∩ (−C0 ). Poichè il tassellamento
è localmente finito, ogni punto di ∂U è contenuto in ±∂Cn per qualche n ≥ 1.
Dal Teorema di Separazione troviamo allora una collezione numerabile di funzionali
{fn } ⊂ X ∗ tale che per ogni x ∈ ∂U esiste n tale che fn (x) = sup{fn (y) : y ∈ U }.
Posto αn == sup{fn (y) : y ∈ U }, i funzionali {αn−1 fn } realizzano dunque la norma
pU , perciò (X, pU ) è isomorficamente poliedrale (teorema 2.24), e dunque anche X
lo è.
Osservazione 3.10. In generale, dato un ricoprimento convesso localmente (puntualmente) finito {C, Cn } di X, dove C è limitato e contiene un punto x disgiunto da
30
ogni Cn , è facile ricavare un tassellamento economico, convesso e localmente (puntualmente) finito di S. Basta prendere gli insiemi rCn , dove r > 0 è tale che rC sia
contenuto nell’interno di B.
La questione dell’esistenza di ricoprimenti convessi limitati e localmente finiti di
uno spazio normato è stata sollevata in [11], dove è mostrato il seguente risultato.
Teorema 3.11. Se uno spazio infinito-dimensionale X ammette un ricoprimento
localmente finito formato da insiemi convessi e limitati, allora X non è riflessivo.
Questo teorema è stato raffinato in [20] nella seguente forma.
Teorema 3.12. Se uno spazio infinito-dimensionale X ammette un ricoprimento
localmente finito formato da insiemi limitati e debolmente chiusi, allora X è saturato
da c0 .
Ricordiamo che uno spazio isomorficamente poliedrale è saturato da c0 (si veda
l’osservazione 2.25). Dai teoremi 3.9 e 3.12 si è allora portati a formulare la seguente
congettura.
Congettura 3.13. [20] Ogni spazio separabile, infinito-dimensionale, e saturato
da c0 , ammette un ricoprimento localmente finito formato da insiemi limitati e
debolmente chiusi.
Diversa è la situazione se si pretende di ottenere un ricoprimento convesso e limitato che sia solo puntualmente finito. Questo problema, anch’esso sollevato per la
prima volta in [11], non ha trovato risposta se non in tempi molto recenti. In [28] si
indica infatti come costruire, in ogni spazio infinito-dimensionale, un ricoprimento
di ordine 2 formato da corpi convessi. Questo naturalmente implica l’esistenza di
un ricoprimento economico di ordine 2 formato da corpi convessi (si veda l’osservazione 3.10). Gli elementi di questo ricoprimento sono però ben lontani dall’essere
bolle; rimane dunque aperta la questione di quali siano gli spazi che ammettono
ricoprimenti economici puntualmente finiti formati da bolle.
Osserviamo che fra questi vi è certamente c0 .
Esempio 3.14. Sia X = c0 e sia {Sn± } il ricoprimento localmente finito dell’esempio
3.5. È facile vedere che, fissato n e detto en il corrispondente versore canonico, la
bolla ±2en + B contiene Sn± e (±2en1 + B) ∩ (±2en2 + B) = Sn±1 ∩ Sn±2 . Le bolle
±2en + B formano allora un ricoprimento localmente finito di S.
Se si accetta di sconfinare nel caso non-separabile, sorprendente è la costruzione
mostrata in [24], dove viene esibito un ricoprimento di l1 (Γ), con Γ opportuno,
formato da bolle chiuse mutualmente disgiunte.
Questi esempi di coperture puntualmente finite sono realizzabili grazie alle condizioni di “quadratezza”, in un certo senso estreme, delle bolle. È dunque ipotizzabile
che, sotto ipotesi anche deboli di rotondità o di liscezza, la punto finitezza venga a
cadere. Il problema è ancora aperto e sorprende il fatto che, per escludere l’esistenza di B-ricoprimenti puntualmente finiti anche solo negli spazi di Hilbert infinitodimensionali, si debba ricorrere a tecniche di Analisi Funzionale non elementari. Il
31
risultato più recente è esposto in [17], dove si mostra che spazi di Banach infinitodimensionali, separabili, uniformemente lisci e convessi (tipicamente gli spazi Lp con
1 < p < ∞) non ammettono ricoprimenti puntualmente finiti formati da bolle.
Per quanto riguarda il caso dei ricoprimenti economici della sfera, dimostreremo
ora il seguente teorema.
Teorema 3.15. Se X è uno spazio di Hilbert infinito-dimensionale, allora per ogni
B-ricoprimento numerabile economico, esiste un punto di S che appartiene ad infiniti
elementi del ricoprimento.
La dimostrazione che andiamo ad esporre non è esportabile neppure agli spazi Lp ,
in quanto è basata sulla seguente caratterizzazione degli spazi a prodotto interno.
Proposizione 3.16. Sia dim(X) ≥ 3. X è uno spazio a prodotto interno se e solo
se, date due sfere non coincidenti che si incontrano in almeno un punto, la loro
intersezione giace in qualche iperpiano.
Dimostrazione. Mostriamo il “solo se”, che è ciò che ci interessa. Detto h·i il
prodotto interno di X, si ha x + rS = {y ∈ X : hy − x, y − xi = r2 }, perciò
S ∩ (x + rS) = {y ∈ X : 2hy, xi = (||x||2 + 1 − r2 )}. Si vede dunque che, quando
tale intersezione è non vuota, essa è contenuta nell’insieme di livello del funzionale
determinato da x.
Ricordiamo che l’intersezione di una bolla con un semispazio viene chiamata
slice. Dalla proposizione 3.16 sappiamo che, se X è uno spazio di Hilbert infinitodimensionale, ogni bolla x + rS diversa da B che interseca B in almeno un punto
individua in modo naturale uno slice di B. Ogni ricoprimento formato da bolle
determinerà dunque un ricoprimento formato da slice. Per provare il teorema 3.15 è
allora sufficiente dimostrare la seguente proposizione, che per generalità dimostriamo
esser sempre valida in ambito riflessivo.
Proposizione 3.17. Sia X uno spazio riflessivo infinito-dimensionale. Per ogni
ricoprimento numerabile economico formato da slice, esiste un punto di S che appartiene ad infiniti elementi del ricoprimento.
Dimostrazione. La dimostrazione che andiamo ad esporre è stata ottenuta sviluppando un idea di De Bernardi [3]. È chiaro che, invece di considerare ricoprimenti
di S formati da slice di B che non contengono un punto interno di B, possiamo
equivalentemente considerare, per ogni x ∈ X, ricoprimenti di x + S formati da
slice di x + B che non contengono l’origine. Siano allora Sn = fn−1 [1, ∞) ∩ (x + B)
gli elementi di un tale ricoprimento, dove (fn ) è una successione contenuta in X ∗ .
Supponiamo per assurdo che, per ogni y ∈ x + S, l’insieme Ny = {n ∈ N : y ∈ Sn } =
{n ∈ N : fn (y) ≥ 1} sia finito. Ciò significa che la successione fn (y) è limitata per
ogni y, perciò, per il teorema di Banach-Steinhaus, laSsuccessione fn è limitata.
Per ogni n, definiamo Tn = X\Sn e poniamo T = Tn . L’insieme T è convesso,
contiene l’origine ed è disgiunto da x+S; ne consegue che T ⊂ int(x+B). Mostriamo
ora che T è aperto. Poichè (fn ) è limitata, basta mostrare che per ogni y ∈ T si
ha sup fn (y) < 1. Supponiamo per assurdo che un punto y ∈ T non soddisfi questa
condizione. Allora y 6= 0 e y ∈ int(x + B), perciò, detto z il punto in cui la semiretta
32
[0, ∞){y} incontra x+S, si ha fn (z) ≥ 1 per infiniti n, in contraddizione con l’ipotesi
che Nz sia finito.
Consideriamo ora pT , il funzionale di Minkowski di T . Per ogni n poniamo
Fn = {x ∈ cl(T ) : fn (x) = pT (x)}. L’insieme Fn è chiuso, poichè intersezione di
cl(T ) con (fn − pT )−1 (0). Esso è inoltre convesso, poichè pT è omogeneo per
S valori
positivi. Per quanto detto in precedenza su T , deve essere inoltre cl(T ) = Fn .
Poichè X è riflessivo, cl(T ) è w-compatto, perciò il teorema di Baire ci assicura
che esiste un n
e tale che Fne possiede w-interno non vuoto relativamente a cl(T ).
Poichè T è un corpo convesso, Fne possiede w-interno non vuoto anche relativamente
a T , ossia esistono y ∈ T e un w-intorno U dell’origine tali che (y + U ) ∩ cl(T ) ⊂ Fne .
Poichè X è infinito-dimensionale, l’insieme W = U ∩ fne−1 (0) contiene un sottospazio
non banale, perciò esiste z ∈ (y + W ) ∩ ∂T . Per quanto detto sopra, z ∈ Fne , dunque
si ottiene la contraddizione 1 = pT (z) = fne (z) = fne (y) = pT (y) < 1. Ciò conclude
la dimostrazione.
Osservazione 3.18. È possibile dare la definizione di slice per un generico corpo
convesso, generalizzando in modo naturale la definizione data per le bolle. Si verifica
agevolmente che la dimostrazione della proposizione 3.17 rimane valida anche in
questo ambito, ovvero:
Sia X uno spazio riflessivo infinito-dimensionale e sia K ⊂ X un corpo
convesso. Per ogni ricoprimento numerabile ed economico di ∂K formato
da slice, esiste un punto di ∂K che appartiene ad infiniti elementi del
ricoprimento.
Osservazione 3.19. In [19, Theorem 3.1] si prova che X è uno spazio di Banach
separabile isomorficamente poliedrale se e solo se esiste un rinormamento Y tale
che esiste un ricoprimento numerabile puntualmente finito di SY formato da slice
disgiunti dall’origine.
33
4
Ricoprimenti centrati sulla sfera e proprietà metriche dello spazio
In questo paragrafo studieremo i ricoprimenti di S centrati in S. Si noti che,
poichè una bolla di raggio 2 centrata in S ricopre S, possiamo limitarci a studiare
ricoprimenti con raggio minore di 2.
Come al solito, iniziamo la nostra analisi dal caso finito-dimensionale. Dal teorema 1.6 sappiamo che se dimX ≥ n, allora ogni ricoprimento di S formato da al
più n bolle possiederà raggio almeno pari ad 1. Ciò significa che il parametro
Tn (X) = inf{r > 0 : esiste un ricoprimento di S di raggio r
formato da al più n bolle centrate in S},
assumerà valori in [1, 2]. Seguendo [31] chiamiamo thickness di X il parametro
T (X) = inf{r > 0 : esiste un ricoprimento finito di S di raggio r
formato da bolle centrate in S}.
Ovviamente T = inf Tn . Riassumiamo nel prossimo teorema le prime proprietà del
parametro T .
Teorema 4.1. [31, Lemma 2, Lemma 4] Valgono le seguenti proprietà.
1. Se X è finito-dimensionale, allora T (X) = 0.
2. Se X è infinito-dimensionale, allora T (X) ∈ [1, 2].
1
3. T (lp ) = 2 p ogni p ∈ [1, ∞).
4. T (l∞ ) = T (c) = T (c0 ) = 1.
Dimostrazione. La proposizione 1 segue dalla compattezza della bolla finito-dimensionale,
mentre la proposizione 2 è conseguenza diretta del corollario 1.2.
Per quanto riguarda la 3, chiamiamo ej i versori canonici di lp . Se x ∈ S, allora
p
p
p
min{||e1 − x|| , ||e1 + x|| } = (1 − |x(1)|) +
∞
X
|x(i)|p ≤ 1 + ||x||p = 2,
i=2
1
1
perciò la famiglia {±e1 + 2 p B} ricopre S. Questo significa che T (lp ) ≤ 2 p .
Per mostrare la disuguaglianza opposta, consideriamo un ricoprimento finito di
S centrato nei punti x1 , . . . , xn ∈ S. Fissato un > 0, prendiamo un N tale che
∞
X
|xi (j)|p < p per ogni i = 1, . . . , n.
j=N
Si ha
p
p
||eN − xi || ≥ |1 − x(N )| +
N
−1
X
|xi (j)|p ≥ (1 − )p + 1 − p .
j=1
34
1
Per l’arbitrarietà di , il raggio del ricoprimento deve essere almeno 2 p , dunque
1
T (lp ) ≥ 2 p , il che conclude la dimostrazione della proposizione 3.
Per gli spazi della proposizione 4 basta notare che (±e1 + B) è un ricoprimento
di S; infatti, dato x ∈ S, si ha
min{||e1 − x||, ||e1 + x||} = max{1 − |x(1)|, sup |x(i)|} ≤ 1.
Per tutti gli spazi analizzati nel teorema precedente, esiste sempre un ricoprimento formato da due bolle di raggio T (X) centrate in S. Tuttavia la situazione
può anche essere più complicata: se X è lo spazio considerato nel prossimo esempio,
allora Tn (X) > T (X) per ogni n ∈ N. In particolare, T (X) non è un minimo.
Esempio 4.2. Questo esempio è ispirato da [30, Example 1]. Sia X = R ⊕1 l∞ .
Ogni x ∈ X sarà rappresentato come una successione (x(1), x(2), . . .). Per prima
vogliamo mostrare che T (X) = 1. Per ogni n ∈ N definiamo l’insieme finito
n−k
k
e x(2) ∈ ±
per qualche k = 0, . . . , n .
Kn = x ∈ S : x(1) ∈ ±
n
n
Si osservi che Kn ⊂ S. Se x ∈ S, allora, fissato un n, esiste un k ∈ {0, . . . , n} tale
che
k k 1
.
min x(1) − , x(1) + ≤
n
n
2n
Allora
n − k n − k , x(2) +
min x(2) −
≤ 1,
n n perciò esiste y ∈ Kn tale che min{|x − y| , |x + y|} ≤ 1. Ciò significa che S ⊂
Kn + (1 + 1/2n)B. Poichè possiamo prendere n arbitrariamente grande, deve essere
T (X) = 1.
Vogliamo ora far vedere che, per ogni n ∈ N, ogni ricoprimento composto da
n bolle centrate in S possiede raggio almeno pari a 1 + 2−3(n+1) . Consideriamo n
punti x1 , . . . , xn ∈ S. Dati degli intervalli disgiunti I1 , . . . , In+1 con Ij ⊂ [0, 1], esiste
sempre j tale che |xk (1)| ∈
/ Ij per ogni k. Poniamo
Ij = 2−3j , 2−3(j−1) .
Preso > 0, per ogni k tale che |xk (1)| ≤ 2−3j scegliamo ik in modo che |xk (ik )| >
1 − 2−3j − . Poniamo i∗ = maxk ik e consideriamo il punto x ∈ S cosı̀ individuato

3 (2−3j )
se i = 1,



0
se 1 < i ≤ i∗ ,
x(i) =

[3 (2−3j ) − 1] f (xk (i)) se i = i∗ + k,



0
altrimenti
35
dove
(
−1
f (α) =
1
se α ∈ [−1, 0),
se α ∈ [0, 1].
Sia ora k ∈ {0, . . . , n}. Se |xk (1)| ≤ 2−3j , allora
kx − xk k ≥ |x(1) − xk (1)| + |x(ik ) − xk (ik )| = 1 + 2−3j − ;
altrimenti |xk (1)| ≥ 2−3(j−1) e
kx − xk k ≥ |x(1) − xk (1)| + |x(i∗ + k) − xk (i∗ + k)| ≥ 1 + 2−3j .
Per l’arbitrarietà di , ogni ricoprimento centrato negli xi dovrà possedere raggio
almeno pari a 1 + 2−3j .
Stimiamo ora il parametro T per altri classici spazi di funzioni.
Teorema 4.3. [31, Lemma 3], [4, Theorem 1] Valgono le seguenti proprietà.
1. T (L∞ [0, 1]) = T (C[0, 1]) = 2.
1
2. T (Lp [0, 1]) = 2 p ogni p ∈ [1, ∞).
Dimostrazione. Partiamo dall’uguaglianza 1. Sia X = L∞ [0, 1] oppure X = C[0, 1]
e siano f1 , . . . , fn ∈ S. Dato > 0, per ogni i esiste ti ∈ [0, 1] tale che |fi (ti )| > 1 − .
Sia g ∈ X una funzione lineare a tratti tale che g(ti ) = −fi (ti )/|fi (ti )| e |g(t)| ≤ 1
per ogni t. Allora g ∈ S ∩ C[0, 1] e
||g − fi || ≥ |g(ti ) − fi (ti )| > 2 − .
Ogni ricoprimento centrato nelle fi dovrà dunque possedere raggio almeno pari a 2,
perciò T (X) = 2.
Veniamo ora all’uguaglianza 2. Sia X = Lp [0, 1] e siano f1 , . . . , fn ∈ S. Dato
> 0, prendiamo un intervallo I ∈ [0, 1] tale che
Z
|fi |p < p per ogni i.
I
1
Definiamo f = δ − p χ(I), dove δ è la misura di I e χ(I) è la sua funzione caratteristica.
Poichè per ogni i si ha
Z
Z
p
|fi | = 1 − |fi |p ≥ 1 − p
[0,1]\I
I
e
Z
|f − fi |p = ||f − χ(I)fi ||p ≥ |1 − ||χ(I)fi || |p ≥ (1 − )p ,
I
troviamo
||f − fi ||p ≥ (1 − )p + 1 − p .
36
1
Per l’arbitrarietà di , deve essere T (X) ≥ 2 p .
Per dimostrare la disuguaglianza opposta, distinguiamo i casi 1 ≤ p ≤ 2 e
2 < p < ∞. Nel primo caso, presi f, g ∈ S, applichiamo la disuguaglianza di
Clarkson:
q
q
||f − g||q + ||f + g||q ≤ 2| ||f ||p + ||g||p | p = 21+ p = 2q
con q = p/(p − 1). Sfruttiamo il fatto che, se a, b > 0, si ha
q
q
1
q
min{a, b} = min{a , b } ≤
aq + b q
2
1q
.
(4.1)
Troviamo che
1
1
min{||f − g||, ||f + g||} ≤ 21− q = 2 p ,
1
1
perciò (±f + 2 p B) è un ricoprimento di S, e dunque T (X) ≤ 2 p .
Sia ora 2 < p < ∞. Definiamo gli intervalli Ii = [(i − 1)/n, i/n] e le funzioni
fi = n1/p χ(Ii ) per ogni i = 1, . . . , n. Si noti che fi ∈ S per ogni i. Data g ∈ S, si ha
n Z
X
|g|p = 1,
i=0
Ii
perciò esiste un indice j tale che
Z
1
|g|p ≤ .
n
Ij
Denotiamo con gj la restrizione di g a Ij . Dalla disuguaglianza di Hanner in Lp (Ij )
otteniamo:
||fj − gj ||p + ||fj + gj ||p ≤ | ||fj || + ||gj || |p + | ||fj || − ||gj || |p
1
1
.
≤ (1 + n− p )p + (1 − n− p )p = δn .
Poichè
||fj ± g||p ≤ ||fj ± gj ||p + ||g||p = ||fj ± gj ||p + 1,
grazie a (4.1) si trova
min{||fj − g||, ||fj + g||} ≤
δn
+1
2
p1
.
1
Visto che lim δn = 2, deve essere T (X) ≤ 2 p .
Il prossimo teorema mostra che per spazi sufficientemente regolari, il parametro
T non può assumere i valori estremi.
Teorema 4.4. [27, Corollary 5.5, Theorem 5.10] Se X è infinito-dimensionale e
uniformemente non-quadrato (UNS), allora 1 < T (X) < 2.
37
Dimostrazione. Sia T (X) = 1. Allora X è infinito-dimensionale e per ogni > 0
esiste una copertura finita di S formata da bolle di raggio (1 + ) centrate in S.
Per il lemma di Lusternik-Schnirelmann (teorema 1.10) una di queste bolle contiene
punti antipodali di S. Ciò significa che, detto y ∈ S il centro di questa bolla, esiste
un x ∈ S tale che
ky ± xk ≤ 1 + Poniamo δ± = ky ± xk−1 e z± = δ± (y ± x). Allora z± ∈ S e
kz+ ± z− k = ky(δ+ ± δ− ) + x(δ+ ∓ δ− )k
≥ | |δ+ ± δ− | − |δ+ ∓ δ− | | = 2 min{δ± } ≥ 2 −
2
.
1+
Ciò significa che lo spazio X non è UNS.
Sia ora T (X) = 2. Per ogni > 0 non esiste alcun ricoprimento finito di S
formato da bolle di raggio (2 − ) centrate in S. Preso un qualsiasi punto x ∈ S,
non è dunque possibile ricoprire S con le bolle {±x + (2 − )B}. Ciò significa che
esiste un y ∈ S tale che
ky ± xk > 2 − ,
e dunque lo spazio X non è UNS.
Il prossimo esempio mostra che per ogni t ∈ (1, 2) esiste uno spazio non UNS X
tale che T (X) = t. L’implicazione inversa del teorema 4.4 è dunque falsa, ossia la
consizione 1 < T (X) < 2 non caratterizza gli spazi UNS.
Esempio 4.5. [4, Example 2] Sia X = R ⊕1 lp con p ∈ [1, ∞). Lo spazio X non è
UNS, poichè il sottospazio {x ∈ X : x(i) = 0 se i > 2} è isometrico a l21 . Vogliamo
mostrare che T (X) = 21/p .
Osserviamo che la relazione T (X) ≤ 21/p si ottiene in modo analogo a quanto fatto nell’esempio 4.2. Mostriamo dunque la relazione opposta. Prendiamo
x1 , . . . , xn ∈ S e, fissato > 0, sia N > 1 tale che
∞
X
|xk (i)|p < p per ogni k = 1, . . . , n.
i=N
Detto ak =
P∞
i=2
|xk (i)|p , per ogni k si ha
"
||xk − eN || ≥ |ak − 1| +
N
X
# p1
|xk (i)|p + |xk (N ) − 1|p
i=2
≥ 1 − ak +
[apk
1
− p + (1 − )p ] p .
Per l’arbitrarietà di e degli xk , si ha T (X) = inf a∈[−1,1] f (a), dove
1
f (a) = 1 − a + (ap + 1) p .
38
Ricordiamo ora che, se v ∈ R2 , allora 2||v||p ≥ 21/p ||v||1 . Prendendo v = (a, 1), si
trova
1
a+1
f (a) ≥ 1 − a +
2p .
2
Poichè la funzione di a a destra della disuguaglianza è decrescente e vale 21/p per
a = 1, si conclude che T (X) ≥ 21/p .
Osservazione
4.6. Ponendo p√= 2 nell’esempio precedente si trova T (R ⊕1 l2 ) =
√
2. Ciò significa che T (X) = 2 non implica che X sia uno spazio prehilbertiano.
Gli spazi con thickness pari a 2 non possono neppure essere riflessivi.
Teorema 4.7. [2, Proposition 3.1] Se T (X) = 2, allora X contiene un sottospazio
isomorfo a l1 .
Il teorema precedente non è invertibile, come si può vedere ponendo X = l1 nel
prossimo esempio.
Esempio 4.8. [4, Lemma 2] Se X è uno spazio qualunque e se Y = R ⊕∞ X, allora
T (Y ) = 1. Infatti si verifica agevolmente che le bolle {(±1, 0) + B} formano un
ricoprimento di S.
Vale tuttavia il seguente risultato.
Teorema 4.9. [23, Theorem 1.2] Sia X separabile. X può essere dotato di una
norma equivalente in cui T (X) = 2 se e solo se contiene una sottospazio isomorfo
a l1 .
Gli spazi con thickness pari a 2 sono perciò completamente caratterizzati. Ad
oggi non è tuttavia nota nessun altra caratterizzazione di questo tipo, neanche per
il caso T (X) = 1.
Un altro problema aperto riguarda il valore di T (X ∗∗ ). Si osservi infatti che
il parametro T non soggiace a condizioni ereditarie sui sottospazi. In altre parole,
se X è un sottospazio di Y , si può avere sia T (X) < T (Y ) (basta ricordare che
ogni spazio separabile è isometricamente immergibile in C[0, 1] e che T (C[0, 1]) = 2)
sia T (X) < T (Y ) (si veda l’esempio 4.8). È tuttavia vero, per ogni spazio X, che
T (X ∗∗ ) ≤ T (X).SInfatti, applicando la chiusura w∗ in X ∗∗ ad ambo i membri della
relazione SX ⊂ ni=1S(xi + ri B), e ricordando il teorema di Goldstine (teorema 0.8),
si ottiene BX ∗∗ ⊂ ni=1 (xi + ri BX ∗∗ ). Nulla invece si sa riguardo all’uguaglianza
T (X ∗∗ ) = T (X).
È bene infine informare il lettore che il parametro T è solo uno dei molti parametri
che si utilizzano per quantificare le proprietà geometriche degli spazi normati. Per
una rassegna di tali parametri consigliamo di consultare [27].
39
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