Michele Antolini
Lezione3
Informatica Grafica
Trasformazioni
Trasformazioni
Lezione del 11 Marzo 2011
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
Michele Antolini
Dipartimento di Ingegneria Meccanica
Politecnico di Milano
[email protected]
3.1
Trasformazioni
Michele Antolini
• La geometria dell’antichità si divide in due per quanto
riguarda la comprensione delle forme degli oggetti
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.2
Trasformazioni
Michele Antolini
• La geometria dell’antichità si divide in due per quanto
riguarda la comprensione delle forme degli oggetti
• Primo percorso: studio delle proprietà misurabili come
angoli, distanza, area e volume.
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.2
Trasformazioni
Michele Antolini
• La geometria dell’antichità si divide in due per quanto
riguarda la comprensione delle forme degli oggetti
• Primo percorso: studio delle proprietà misurabili come
angoli, distanza, area e volume.
• Secondo percorso: relazione logica tra le forme come
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
equivalenza, similitudine e costruibilità
3.2
Trasformazioni
Michele Antolini
• La geometria dell’antichità si divide in due per quanto
riguarda la comprensione delle forme degli oggetti
• Primo percorso: studio delle proprietà misurabili come
angoli, distanza, area e volume.
• Secondo percorso: relazione logica tra le forme come
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
equivalenza, similitudine e costruibilità
• Entrambi gli approcci portano alla considerazione che
alcune proprietà geometriche non cambiamo quando un
oggetto è traslato o ruotato, espanso o torto.
3.2
Trasformazioni
Michele Antolini
• La geometria dell’antichità si divide in due per quanto
riguarda la comprensione delle forme degli oggetti
• Primo percorso: studio delle proprietà misurabili come
angoli, distanza, area e volume.
• Secondo percorso: relazione logica tra le forme come
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
equivalenza, similitudine e costruibilità
• Entrambi gli approcci portano alla considerazione che
alcune proprietà geometriche non cambiamo quando un
oggetto è traslato o ruotato, espanso o torto.
• Gli studiosi di geometria scoprirono che diversi tipi di
cambiamenti, trasformazioni, lasciano diverse proprietà
immutate, invarianti
3.2
Geometria delle trasformazioni
Michele Antolini
• Ogni trasformazione modifica alcune proprietà e ne
conserva altre
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.3
Geometria delle trasformazioni
Michele Antolini
• Ogni trasformazione modifica alcune proprietà e ne
conserva altre
• Geometria congruente: si applica solo a figure con
identica forma e dimensione. Si possono traslare o ruotare
figure senza cambiarne la proprietà di congruenza
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.3
Geometria delle trasformazioni
Michele Antolini
• Ogni trasformazione modifica alcune proprietà e ne
conserva altre
• Geometria congruente: si applica solo a figure con
identica forma e dimensione. Si possono traslare o ruotare
figure senza cambiarne la proprietà di congruenza
• Geometria conforme: si applica a figure simili, in cui le
dimensioni sono differenti ma gli angoli corrispondenti
sono uguali
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.3
Geometria delle trasformazioni
Michele Antolini
• Ogni trasformazione modifica alcune proprietà e ne
conserva altre
• Geometria congruente: si applica solo a figure con
identica forma e dimensione. Si possono traslare o ruotare
figure senza cambiarne la proprietà di congruenza
• Geometria conforme: si applica a figure simili, in cui le
dimensioni sono differenti ma gli angoli corrispondenti
sono uguali
• Geometria affine: permette trasformazioni in cui le
distanze sono conservate solo tra punti sulla stessa linea
(o su linee parallele). Gli angoli non sono conservati. Il
parallelismo è l’invariante fondamentale.
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.3
Geometria delle trasformazioni
Michele Antolini
• Ogni trasformazione modifica alcune proprietà e ne
conserva altre
• Geometria congruente: si applica solo a figure con
identica forma e dimensione. Si possono traslare o ruotare
figure senza cambiarne la proprietà di congruenza
• Geometria conforme: si applica a figure simili, in cui le
dimensioni sono differenti ma gli angoli corrispondenti
sono uguali
• Geometria affine: permette trasformazioni in cui le
distanze sono conservate solo tra punti sulla stessa linea
(o su linee parallele). Gli angoli non sono conservati. Il
parallelismo è l’invariante fondamentale.
• Geometria proiettiva: permette trasformazioni in cui le
linee parallele non sono conservate, ma le linee rette
rimangono tali.
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.3
Geometria delle trasformazioni
Michele Antolini
• Ogni trasformazione modifica alcune proprietà e ne
conserva altre
• Geometria congruente: si applica solo a figure con
•
•
•
•
identica forma e dimensione. Si possono traslare o ruotare
figure senza cambiarne la proprietà di congruenza
Geometria conforme: si applica a figure simili, in cui le
dimensioni sono differenti ma gli angoli corrispondenti
sono uguali
Geometria affine: permette trasformazioni in cui le
distanze sono conservate solo tra punti sulla stessa linea
(o su linee parallele). Gli angoli non sono conservati. Il
parallelismo è l’invariante fondamentale.
Geometria proiettiva: permette trasformazioni in cui le
linee parallele non sono conservate, ma le linee rette
rimangono tali.
Topologia: è la trasformazione meno restrittiva. Permette
trasformazioni che distorcono una figura, fintantochè non
vengono effettuati tagli o adesioni. Connessioni e ordine
sono conservati.
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.3
Geometria delle trasformazioni
Michele Antolini
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.4
Proprietà geometriche invarianti
Collineazione
Michele Antolini
• Un punto si dice fisso se una trasformazione lo mappa con
sé stesso
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.5
Proprietà geometriche invarianti
Collineazione
Michele Antolini
• Un punto si dice fisso se una trasformazione lo mappa con
sé stesso
• Es. una rotazione su un piano fissa il punto al centro della
rotazione
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.5
Proprietà geometriche invarianti
Collineazione
Michele Antolini
• Un punto si dice fisso se una trasformazione lo mappa con
sé stesso
• Es. una rotazione su un piano fissa il punto al centro della
rotazione
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
• Se T indica una trasformazione (rotazione, traslazione,
scalatura, etc) e L una linea, T(L) è il risultato, il prodotto
della trasformazione
3.5
Proprietà geometriche invarianti
Collineazione
Michele Antolini
• Un punto si dice fisso se una trasformazione lo mappa con
sé stesso
• Es. una rotazione su un piano fissa il punto al centro della
rotazione
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
• Se T indica una trasformazione (rotazione, traslazione,
scalatura, etc) e L una linea, T(L) è il risultato, il prodotto
della trasformazione
• Se T(L)=L’ (un’altra linea) allora T è una collineazione: T
conserva le linee
3.5
Proprietà geometriche invarianti
Collineazione
Michele Antolini
• Un punto si dice fisso se una trasformazione lo mappa con
sé stesso
• Es. una rotazione su un piano fissa il punto al centro della
rotazione
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
• Se T indica una trasformazione (rotazione, traslazione,
scalatura, etc) e L una linea, T(L) è il risultato, il prodotto
della trasformazione
• Se T(L)=L’ (un’altra linea) allora T è una collineazione: T
conserva le linee
• Per ogni punto P su L, T(P) giace su T(L)
3.5
Collineazione
Michele Antolini
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.6
Proprietà geometriche invarianti
Conservazione delle distanze
• Le trasformazioni che conservano le distanze conservano
anche angoli, area e volume
Michele Antolini
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.7
Proprietà geometriche invarianti
Conservazione delle distanze
Michele Antolini
• Le trasformazioni che conservano le distanze conservano
Trasformazioni
anche angoli, area e volume
• È la geometria Euclidea più restrittiva
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.7
Proprietà geometriche invarianti
Conservazione delle distanze
Michele Antolini
• Le trasformazioni che conservano le distanze conservano
Trasformazioni
anche angoli, area e volume
• È la geometria Euclidea più restrittiva
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
• Conserva dimensione e forma
3.7
Proprietà geometriche invarianti
Conservazione delle distanze
Michele Antolini
• Le trasformazioni che conservano le distanze conservano
Trasformazioni
anche angoli, area e volume
• È la geometria Euclidea più restrittiva
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
• Conserva dimensione e forma
• Traslazione e rotazione conservano le distanze
3.7
Proprietà geometriche invarianti
Conservazione delle distanze
Michele Antolini
• Le trasformazioni che conservano le distanze conservano
Trasformazioni
anche angoli, area e volume
• È la geometria Euclidea più restrittiva
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
• Conserva dimensione e forma
• Traslazione e rotazione conservano le distanze
• Un quadrato rimane un quadrato dopo una rotazione o
una traslazione
3.7
Proprietà geometriche invarianti
Trasformazioni conformi
Michele Antolini
• Le trasformazioni conformi conservano gli angoli ma non
le distanze (dimensioni)
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.8
Proprietà geometriche invarianti
Trasformazioni conformi
Michele Antolini
• Le trasformazioni conformi conservano gli angoli ma non
le distanze (dimensioni)
• Le geometria euclidea delle figure simili è un esempio di
trasformazione conforme
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.8
Proprietà geometriche invarianti
Trasformazioni conformi
Michele Antolini
• Le trasformazioni conformi conservano gli angoli ma non
le distanze (dimensioni)
• Le geometria euclidea delle figure simili è un esempio di
trasformazione conforme
• Concerne figure simili, non necessariamente congruenti
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.8
Proprietà geometriche invarianti
Trasformazioni conformi
Michele Antolini
• Le trasformazioni conformi conservano gli angoli ma non
le distanze (dimensioni)
• Le geometria euclidea delle figure simili è un esempio di
trasformazione conforme
• Concerne figure simili, non necessariamente congruenti
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.8
Proprietà geometriche invarianti
Conservazione dell’orientamento
Michele Antolini
• Dato un triangolo ABC, si possono visitare i vertici in
senso orario o antiorario
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.9
Proprietà geometriche invarianti
Conservazione dell’orientamento
Michele Antolini
• Dato un triangolo ABC, si possono visitare i vertici in
senso orario o antiorario
• Un triangolo ha, quindi, due possibili orientazioni
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.9
Proprietà geometriche invarianti
Conservazione dell’orientamento
Michele Antolini
• Dato un triangolo ABC, si possono visitare i vertici in
senso orario o antiorario
• Un triangolo ha, quindi, due possibili orientazioni
• Una trasformazione che inverte l’orientamento è una
trasformazione opposta
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.9
Proprietà geometriche invarianti
Conservazione dell’orientamento
Michele Antolini
• Dato un triangolo ABC, si possono visitare i vertici in
senso orario o antiorario
• Un triangolo ha, quindi, due possibili orientazioni
• Una trasformazione che inverte l’orientamento è una
trasformazione opposta
• La riflessione è una trasformazione opposta
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.9
Proprietà geometriche invarianti
Conservazione dell’orientamento
Michele Antolini
• Dato un triangolo ABC, si possono visitare i vertici in
senso orario o antiorario
• Un triangolo ha, quindi, due possibili orientazioni
• Una trasformazione che inverte l’orientamento è una
trasformazione opposta
• La riflessione è una trasformazione opposta
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.9
Isometrie
Michele Antolini
• Una isometria è un movimento di una figura intesa come
corpo rigido
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.10
Isometrie
Michele Antolini
• Una isometria è un movimento di una figura intesa come
corpo rigido
• Deriva dal Greco isos e metron, stesse misure
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.10
Isometrie
Michele Antolini
• Una isometria è un movimento di una figura intesa come
corpo rigido
• Deriva dal Greco isos e metron, stesse misure
Trasformazioni
Equazione che descrive una isometria in un piano (escluse le
traslazioni):
x0
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
= ax + by
0
y = cx + dy
a b = ±1
Con il vincolo che c d (x e y sono le coordinate iniziali, mentre x 0 e y 0 sono le
coordinate trasformate)
3.10
Isometrie
Michele Antolini
• Se il determinante della matrice del sistema è uguale a
−1, la trasformazione è un’inversione di orientamento
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.11
Isometrie
Michele Antolini
• Se il determinante della matrice del sistema è uguale a
−1, la trasformazione è un’inversione di orientamento
• Esistono quattro tipi di isometrie nel piano
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.11
Isometrie
Michele Antolini
• Se il determinante della matrice del sistema è uguale a
−1, la trasformazione è un’inversione di orientamento
• Esistono quattro tipi di isometrie nel piano
1
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
Riflessione
3.11
Isometrie
Michele Antolini
• Se il determinante della matrice del sistema è uguale a
−1, la trasformazione è un’inversione di orientamento
• Esistono quattro tipi di isometrie nel piano
1
2
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
Riflessione
Rotazione
3.11
Isometrie
Michele Antolini
• Se il determinante della matrice del sistema è uguale a
−1, la trasformazione è un’inversione di orientamento
• Esistono quattro tipi di isometrie nel piano
1
2
3
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
Riflessione
Rotazione
Traslazione
3.11
Isometrie
Michele Antolini
• Se il determinante della matrice del sistema è uguale a
−1, la trasformazione è un’inversione di orientamento
• Esistono quattro tipi di isometrie nel piano
1
2
3
4
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
Riflessione
Rotazione
Traslazione
Riflessione e scorrimento (Glide reflection)
3.11
Trasformazioni similari
Michele Antolini
• Una trasformazione similare (similarity transformation)
cambia la dimensione di una figura, ma non la forma.
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.12
Trasformazioni similari
Michele Antolini
• Una trasformazione similare (similarity transformation)
cambia la dimensione di una figura, ma non la forma.
• È una trasformazione conforme
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.12
Trasformazioni similari
Michele Antolini
• Una trasformazione similare (similarity transformation)
cambia la dimensione di una figura, ma non la forma.
• È una trasformazione conforme
• Si può considerare come una combinazione tra una
scalatura ed una isometria
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.12
Trasformazioni similari
Michele Antolini
• Una trasformazione similare (similarity transformation)
cambia la dimensione di una figura, ma non la forma.
• È una trasformazione conforme
• Si può considerare come una combinazione tra una
scalatura ed una isometria
Trasformazioni
Trasformazioni
Equazione per una trasformazione similare nel piano:
• Dove
√
x0
= ax − by
y0
= ±(bx + ay )
Geometria delle
trasformazioni
a2 + b2 = k , necessariamente 6= 0
3.12
Trasformazioni similari
Michele Antolini
• Una trasformazione similare (similarity transformation)
cambia la dimensione di una figura, ma non la forma.
• È una trasformazione conforme
• Si può considerare come una combinazione tra una
scalatura ed una isometria
Trasformazioni
Trasformazioni
Equazione per una trasformazione similare nel piano:
• Dove
√
x0
= ax − by
y0
= ±(bx + ay )
Geometria delle
trasformazioni
a2 + b2 = k , necessariamente 6= 0
• Se k > 0 si parla di trasformazione similare diretta
3.12
Trasformazioni similari
Michele Antolini
• Una trasformazione similare (similarity transformation)
cambia la dimensione di una figura, ma non la forma.
• È una trasformazione conforme
• Si può considerare come una combinazione tra una
scalatura ed una isometria
Trasformazioni
Trasformazioni
Equazione per una trasformazione similare nel piano:
• Dove
√
x0
= ax − by
y0
= ±(bx + ay )
Geometria delle
trasformazioni
a2 + b2 = k , necessariamente 6= 0
• Se k > 0 si parla di trasformazione similare diretta
• Se k < 0 si parla di trasformazione similare opposta
3.12
Trasformazioni similari
Michele Antolini
• Una trasformazione similare (similarity transformation)
cambia la dimensione di una figura, ma non la forma.
• È una trasformazione conforme
• Si può considerare come una combinazione tra una
scalatura ed una isometria
Trasformazioni
Trasformazioni
Equazione per una trasformazione similare nel piano:
• Dove
√
x0
= ax − by
y0
= ±(bx + ay )
Geometria delle
trasformazioni
a2 + b2 = k , necessariamente 6= 0
• Se k > 0 si parla di trasformazione similare diretta
• Se k < 0 si parla di trasformazione similare opposta
• k è il rapporto di espansione o contrazione della
trasformazione
3.12
Trasformazioni similari
Michele Antolini
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.13
Trasformazioni affini
Michele Antolini
• Nelle trasformazioni affini vengono conservati collinearità
tra punti e parallelismo tra rette e segmenti
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.14
Trasformazioni affini
Michele Antolini
• Nelle trasformazioni affini vengono conservati collinearità
tra punti e parallelismo tra rette e segmenti
• Le misure degli angoli non vengono conservate
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.14
Trasformazioni affini
Michele Antolini
• Nelle trasformazioni affini vengono conservati collinearità
tra punti e parallelismo tra rette e segmenti
• Le misure degli angoli non vengono conservate
Il sistema di equazioni è lo stesso delle isometrie:
x0
y0
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
= ax + by
= cx + dy
3.14
Trasformazioni affini
Michele Antolini
• Nelle trasformazioni affini vengono conservati collinearità
tra punti e parallelismo tra rette e segmenti
• Le misure degli angoli non vengono conservate
Il sistema di equazioni è lo stesso delle isometrie:
x0
y0
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
= ax + by
= cx + dy
Ma
un vincolo sui parametri, chiediamo solo che
rilassiamo
a b c d 6= 0
3.14
Trasformazioni affini
Michele Antolini
Trasformazioni
Trasformazioni
Geometria delle
trasformazioni
3.15
Prossima lezione
Michele Antolini
Trasformazioni
Trasformazioni
• Trasformazioni in tre dimensioni
Geometria delle
trasformazioni
3.16
