introduzione e distribuzione Binomiale

Università del Piemonte Orientale
Corso di laurea in biotecnologie
Corso di Statistica Medica
Le distribuzioni teoriche di probabilità.
La distribuzione di probabilità binomiale
Corso di laurea in biotecnologie - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. La distribuzione di probabilità binomiale
1
In questa lezione parleremo di:
Distribuzioni teoriche di probabilità.
Distribuzione di probabilità binomiale
Calcolo del valore di probabilità di un evento secondo il modello binomiale
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Riprendiamo alcune definizioni:
Qualsiasi caratteristica che può essere misurata o categorizzata: Variabile
Variabile che può assumere diversi valori per effetto del caso: Variabile casuale
Le variabili possono essere categoriche (binarie, nominali, ordinali) o numeriche
(discrete, continue).
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Abbiamo visto che possiamo costruire in modo empirico la distribuzione di frequenza di
una variabile in un gruppo di soggetti.
es.
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Potremmo compiere un passo successivo se potessimo identificare una curva
matematica che descrive l'andamento del grafico.
In tal modo potremmo:
- descrivere la distribuzione dei dati senza bisogno di mostrarli ma solo in base ai
parametri della curva matematica.
- usare i parametri delle rispettive curve per confrontare gruppi di soggetti diversi.
- costruire una distribuzione di frequenza attesa, sulla base dei valori dei parametri.
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L'uso di modelli matematici è comune alla maggior parte delle discipline: ad
esempio, la curva esponenziale può essere usata per descrivere la crescita del
numero di batteri in laboratorio, in assenza di condizioni limitanti
y = ae
bt
- I parametri sono a (numero iniziale) e b (velocità di crescita). Stimati questi
parametri possiamo stimare il numero di batteri a determinati intervalli (t) dall'inizio
dell'esperimento.
- il parametro b corrisponde alla velocità di accrescimento, che possiamo
confrontare per ceppi diversi di ceppi diversi
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curve di crescita esponenziale
9000
8000
b=0,4
b=0,5
7000
6000
n
5000
4000
3000
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18
t
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La funzione matematica che descrive un fenomeno (biologico, statistico ecc ) è definita
'MODELLO'. In questo caso possiamo parlare di Modello esponenziale della crescita
batterica.
-
Un modello adeguato è un modello che descrive gli aspetti importanti del fenomeno che
vogliamo studiare, senza entrare in dettagli inutili.
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-
curve di crescita esponenziale
9000
8000
b=0,4
b=0,5
7000
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n
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t
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Anche in statistica possiamo identificare dei modelli che costituiscono una
rappresentazione sintetica dei dati o del fenomeno che vogliamo studiare.
Spesso però è difficile trovare un modello che descrive esattamente i dati.
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In questo caso una curva a campana potrebbe essere un buon modello, anche se
non perfettamente soddisfacente (la curva che interpola l'istogramma non è
simmetrica )
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Quale modello si applica alla distribuzione di eventi discreti?
ad esempio: quanti sono i bambini maschi in famiglie con 4 figli?.
%
frequenza relativa di figli maschi in famiglie di 4
figli
40,0%
35,0%
30,0%
25,0%
20,0%
15,0%
10,0%
5,0%
0,0%
0
1
2
3
4
numero maschi
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La distribuzione binomiale si usa per rispondere a problemi di questo tipo:
‘Qual è la probabilità di avere un certo numero di successi (r) dato un certo numero di
prove (N)’?
Il problema viene condotto ad una formulazione binaria (successo / insuccesso).
Debbo conoscere la probabilità di successo (π)
La probabilità di insuccesso (1-π)
Tali probabilità sono costanti, corrispondendo ad eventi indipendenti.
Il parametro che definisce la funzione è π.
(viene utilizzata una lettera greca quando ci si riferisce alla probabilità calcolata sulla
popolazione).
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La funzione binomiale, in modo analogo alle altre funzioni di probabilità, consente di
prevedere la probabilità associata ad un dato evento.
La previsione è, come sempre, condizionata alla correttezza delle assunzioni di partenza
(scelta della funzione più appropriata, valore dei parametri della distribuzione).
Nelle lezioni successive vedremo come si possono confrontare le probabilità (o le
frequenze) osservate con quelle attese.
Adesso vediamo come si calcola la frequenza attesa quando si può applicare il modello
di probabilità binomiale.
Incominciamo in modo empirico esaminando la forma della distribuzione binomiale al
variare del numero di prove e della probabilità di successo.
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In sintesi:
La distribuzione è simmetrica per π = 0,5 e diventa progressivamente asimmetrica per
valori di π inferiori o superiori.
La distribuzione assume progressivamente una forma a campana ('di Gauss') con
l'aumento del numero di prove.
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Costruiamo la formula della distribuzione di probabilità binomiale
Un fenomeno ha una probabilità di verificarsi (probabilità di successo)= π
L'evento complementare ha una probabilità di verificarsi (probabilità di insuccesso)= 1-π
Nel caso di una estrazione, la probabilità di successo sarà = π
Nel caso di due estrazioni, i cui risultati sono indipendenti, la probabilità di successo ad
entrambe sarà = π * π = π2
Nel caso di tre estrazioni, i cui risultati sono indipendenti, la probabilità di successo ad
entrambe sarà = π * π * π = π3
ecc. ecc.
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Allo stesso modo possiamo calcolare la probabilità di insuccesso su diverse prove.
Nel caso di una estrazione, la probabilità di insuccesso sarà = 1-π
Nel caso di due estrazioni, i cui risultati sono indipendenti, la probabilità di insuccesso ad
entrambe sarà = (1-π) * (1-π) = (1-π)2
Nel caso di tre estrazioni, i cui risultati sono indipendenti, la probabilità di insuccesso a
tutte sarà = (1-π) * (1-π) *(1-π) = (1-π)3
ecc. ecc.
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Possiamo generalizzare e giungere alla formula che ci consente di calcolare la probabilità
di un qualsiasi numero (r) di successi in un qualsiasi numero (N) di prove.
(π)r (1-π)(N-r)
La probabilità di un ‘successo’ è elevata al numero di ‘successi’ e moltiplicata alla
probabilità di ‘insuccesso’ elevata al numero di ‘insuccessi’.
Si applica pertanto la regola della probabilità di eventi indipendenti.
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Esiste un ultimo problema: lo stesso numero di successi si può ottenere con diverse
sequenze di risultati.
Es 2 successi in 3 prove:
aab
aba
baa
La seguente tabella ricostruisce lo spazio campionario di un esperimento con 3 prove.
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Numero
Primo figlio
Secondo f.
Terzo f.
figli maschi
F
F
F
0
M
F
F
1
F
M
F
1
F
F
M
1
M
M
F
2
M
F
M
2
F
M
M
2
M
M
M
3
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Numero
Primo figlio
Secondo f.
Terzo f.
In quanti modi si
figli maschi ottiene lo stesso
numero di successi
F
F
F
0
M
F
F
1
F
M
F
1
F
F
M
1
M
M
F
2
M
F
M
2
F
M
M
2
M
M
M
3
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1
3
3
1
28
Il coefficiente binomiale indica il numero di modi in cui possiamo ottenere r successi in N
prove.
N
r
( )
: Coefficiente Binomiale.
N
r
( )
=
N!
r!×( N − r )!
N! = N * (N-1) * .... * 4 * 3 * 2 * 1
Viene indicato come ‘fattoriale di N’
Attenzione 0! = 1
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Numero
Coefficiente
Primo figlio
Secondo f.
Terzo f.
figli maschi binomiale
F
F
F
0
M
F
F
1
F
M
F
1
F
F
M
1
M
M
F
2
M
F
M
2
F
M
M
2
M
M
M
3
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1
3
3
1
30
La formula complessiva è:
P(r successi su N prove) =
(N)
r
(π)r (1-π)(N-r)
Coefficiente
binomiale
Probabilità degli
insuccessi
Probabilità dei
successi
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Numero
Primo figlio
Secondo f.
Terzo f.
figli maschi probabilità
F
F
F
0
(1-p) (1-p) (1-p)
M
F
F
1
p (1-p) (1-p)
F
M
F
1
(1-p) p (1-p)
F
F
M
1
(1-p) (1-p) p
M
M
F
2
p p (1-p)
M
F
M
2
p (1-p) p
F
M
M
2
(1-p) p p
M
M
M
3
ppp
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Numero
Coeff.
bin.
Primo figlio
Secondo f.
Terzo f.
figli maschi
F
F
F
0
M
F
F
1
F
M
F
1
F
F
M
1
M
M
F
2
M
F
M
2
F
M
M
2
M
M
M
3
probabilità
1
(1-p) (1-p) (1-p)
3
(1-p) (1-p) p
3
(1-p) p p
1
ppp
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Es. Probabilità di ottenere 4 croci su 10 lanci di moneta
(π)= 0,5
(1-π) = 0,5
r= 4
n = 10
p(r=4 su N=10) = [10! / (4! 6! )] x 0,54 x 0,56 = 210 * 0,0625 * 0,015625 = 0,205
Interpretazione:
‘Se la moneta è equilibrata e quindi tale per cui la probabilità di un dato risultato (es.
testa) a ciascun lancio è pari a 0,5 (π = 0,5) la probabilità di avere 4 risultati in una serie
di 10 lanci è 0,205’
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Questa tabella riassume i valori di probabilità associati a ciascuno dei possibili risultati di
un esperimento di 10 lanci di moneta. r=croce
π=0.5
N
r
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N-r Coefficiente
Binomiale
10
1
9
10
8
45
7
120
6
210
5
252
4
210
3
120
2
45
1
10
0
1
1-π=0,5
π^r
(1-π)^(N-r)
1,0000000000
0,5000000000
0,2500000000
0,1250000000
0,0625000000
0,0312500000
0,0156250000
0,0078125000
0,0039062500
0,0019531250
0,0009765625
0,0009765625
0,0019531250
0,0039062500
0,0078125000
0,0156250000
0,0312500000
0,0625000000
0,1250000000
0,2500000000
0,5000000000
1,0000000000
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Valore di
probabilità
0,001
0,010
0,044
0,117
0,205
0,246
0,205
0,117
0,044
0,010
0,001
35
Distribuzione binomiale N=10, p=0.5
0,300
0,250
0,200
0,150
prob
0,100
0,050
0,000
0
1
2
3
4
5
6
7
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8
9
10
36
distribuzione binomiale con densità e probabilità cumulativa
1,000
0,900
0,800
probabilità
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,500
0,001
0,010
0,044
0,117
0,205
0,246
0,205
0,117
0,044
0,010
0,001
pcum
0,001
0,011
0,055
0,172
0,377
0,623
0,828
0,945
0,989
0,999
1,000
successi
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La tabella seguente mostra l’effetto della variazione del parametro (π)
π=0,75
N
r
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N-r Coefficiente
Binomiale
10
1
9
10
8
45
7
120
6
210
5
252
4
210
3
120
2
45
1
10
0
1
1-π=0,25
π^r
(1-π)^(N-r)
1,0000000000
0,7500000000
0,5625000000
0,4218750000
0,3164062500
0,2373046875
0,1779785156
0,1334838867
0,1001129150
0,0750846863
0,0563135147
0,0000009537
0,0000038147
0,0000152588
0,0000610352
0,0002441406
0,0009765625
0,0039062500
0,0156250000
0,0625000000
0,2500000000
1,0000000000
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Valore di
probabilità
0,000
0,000
0,000
0,003
0,016
0,058
0,146
0,250
0,282
0,188
0,056
38
Distribuzione binomiale N=10, p=0.75
0,300
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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Spesso la domanda posta è: ‘Qual è la probabilità di avere almeno un certo numero di
successi (r) dato un certo numero di prove (N)’?
In questo caso:
1 Calcolo la probabilità per tutti i numeri interi (r’) compresi tra r ed N (inclusi)
2 Sommo la probabilità per ciascuno degli interi compresi tra r ed N
P(r’>=r in N prove) = p(r) + p(r+1) + …+ p(N-1) + p(N)
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40
Ad esempio: probabilità di 8 o più successi su 10 prove con p=0,5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,000977
0,009766
0,043945
0,117188
0,205078
0,246094
0,205078
0,117188
0,043945
0,009766
0,000977
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41
0,300
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0
1
2
3
4
5
6
7
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8
9
1
0
42
Probabilità di 32 o più successi con 50 prove e p=0,5
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
2
4
6
8
1
0
1
2
1
4
1
6
1
8
2
0
2
2
2
4
2
6
2
8
3
0
3
2
3
4
3
6
3
8
4
0
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4
2
4
4
4
6
4
8
5
0
43
Esercizi.
- Quali sono i tre presupposti per poter applicare correttamente il modello di
distribuzione binomiale?
- p. 148, n.10
- p. 148, n.11
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