Equazione d’onda di Scrödinger
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Giuseppe Dinoi
14/03/2004
EQUAZIONE
D’ONDA
DIDISCR
EQUAZIONE
D’ONDA
SCRÖDINGER
ÖDINGER
c copyright 2002 2004
1
Introduzione
Con Il Principio di indeterminazione di Heisenberg non è più possibile parlare di orbita ma di orbitale. Gli orbitali come abbiamo già visto
rappresentano delle zone di spazio dove è possibile trovare l’elettrone. Gli
orbitali atomici vengono fuori da funzioni matematiche. Scrödinger
riuscı̀ a determinare la funzione d’onda dell’atomo d’idrogeno.
Gli orbitali atomici1 come abbiamo visto assumono forme particolari:
gli orbitali s sferica, gli orbitali p lobata, gli orbitali d quadrifogliare
e per concludere gli orbitali f assumono forme più complesse.
Queste forme vengono fuori da funzioni matematiche, nelle immagini seguenti vengono riportate le rappresentazioni grafiche delle funzioni
d’onda degli orbitali p e d.
1
orbitali atomici.html
1
2 DIMOSTRAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA DI SCRÖDINGER
z
y
z
y
x
Fig.1 Funzione d´onda dell´orbitale p
2
2
x
Fig.2 Funzione d´onda dell´orbitale d
Dimostrazione della Funzione d’onda di Scrödinger
ET = Ec + Ep
(1)
dove:
Ec è l’energia cinetica della particella
Ec = Energia cinetica
Ep è l’energia potenziale della particella Ep = Energia potenziale
Dalla fisica classica sappiamo che l’energia cinetica è uguale a:
Ec =
1 m
·
2 v2
(2)
dove:
m è la massa della particella
e
v la velocità della particella.
moltiplichiamo e dividiamo l’equazione 2 per la massa m e quindi
avremo:
1
m2 · v2
(3)
2·m
dove v · m è la quantità di moto della particella (p = m · v). L’equazione
3 diventa quindi:
1
Ec =
· p2
(4)
2·m
L’equazione dell’energia totale del nostro sistema, l’atomo d’idrogeno, tenendo conto dell’ equazione 1, dell’ equazione 2 e dell’ equazione
3 è:
Ec =
2 DIMOSTRAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA DI SCRÖDINGER
1
ET = m · v 2 + Ep
2
m2 · v 2
ET =
+ Ep
2·m
p2
ET =
+ Ep
2·m
(5)
(6)
(7)
Il comportamento dell´elettrone come tutte le particelle subatomiche viene spiegato dalla fisica quantistica.Per passare dalla fisica classica alla fisica quantistica dobbiamo trovare un operatore che agendo su
una funzione d´onda, Ψ, ci permette di determinare i valori dell´energia.
L´operatore che noi cerchiamo prende il nome di operatore Hamiltoniano e viene indicato con Ĥ, la funzione d’onda Ψ prende il nome di
autofunzione e i valori dell’energia prendono il nome di autovalori.
A questo punto non ci resta che determinare l’operatore Hamiltoniano, Ĥ. Applicando la matematica degli operatori scriveremo l’equazione
(7) nella seguente forma:
p̂2
+ Êp
(8)
2·m
L’accento circonflesso mi sta ad indicare che abbiamo a che fare con
degli operatori matematici. A questo punto non ci resta che associare alla
quantità di moto p un operatore lineare di tipo Hermitiano. C’è da
→
tener presente, inoltre, che la quantità di moto ( −
p ) è un vettore e come
tutti i vettori ha tre componenti che si sviluppano lungo gli assi cartesiani
→
→
→
X, Y e Z ( −
p x, −
py e −
p z ).
→
Gli operatori associati alla quantità di moto, −
p sono i seguenti:
Ê =
p̂x =
~ ∂
;
i ∂x
p̂y =
~ ∂
;
i ∂y
p̂z =
~ ∂
i ∂z
(9)
Il simbolo ~ si legge acca tagliato (costante di Planck . Il quadrato
dell’ operatore quantità di moto sarà quindi uguale a:
p̂2 = p̂2x + p̂2y + p̂2z
2 2
~ ∂
~ ∂
+
+
p̂ =
i ∂y
i ∂z
√
Sapendo che i è la radice di -1 (i = −1) avremo:
2
∂
∂2
∂2
2
2
p̂ = −~ ·
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
2
~ ∂
i ∂x
2
(10)
(11)
(12)
Sostituiamo l’ equazione (12) nel’ equazione (5), e quindi otteniamo
l’ Operatore Hamiltoniano Ĥ.
2
∂
∂2
∂2
~2
·
+
+
+ Êp
(13)
Ĥ = −
2·m
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
3
2 DIMOSTRAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA DI SCRÖDINGER
L’equazione d’onda di Schrödinger sarà quindi uguale a:
2
~2
∂2
∂2
∂
Ê = −
+ Êp
·
+
+
2·m
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
~2
ĤΨ(x, y, z, t) = −
·
2·m
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
4
(14)
· Ψ(x, y, z, t) + Êp · Ψ(x, y, z, t)
(15)
Nell’ equazione (15) notiamo che la funzione d’ onda dipende dalle variabili spaziali x, y e z e dalla variabile tempo (t).
2.1
Funzione d’onda di Scrödinger indipendente dal
tempo
Per dimostrare che l’equazione d’onda di Scrödinger è indipendente dal
tempo, immaginiamo che l’elettrone si muova lungo una sola direzione l’ asse
X , come se fosse imprigionato all’ interno di una scatola monodimensionale,
la funzione d’onda di Scrödinger tenendo conto della variabile spaziale
x e della variabile tempo (t) è: Ψ(x,t).
X
Fig.3 L’elettrone può essere considerato una piccolissima particellla imprigionato in una scatolo mono-dimensionale in continuo movimento lungo l’asse
X. I confini della scatola sono fissati da due assi perpendicolari.
La domanda che si pose Scrödinger è la seguente: se è possibile trovare un’equazione per vedere come la funzione d’onda cambia con il tempo, conoscendo lo stato iniziale. L’equazione postulata da Scrödinger
dipendente dal tempo è:
−
~2 ∂ 2 Ψ(x, t)
~ ∂Ψ(x, t)
·
=−
+ V (x, t) · Ψ(x, t)
i
∂t
2 · m2 ∂x2
(16)
dove V(x,t) è l’l’energia potenziale che varia in funzione della coordinata x e del tempo (t).
L’equazione dipendente dal tempo, postulata da Scrödinger, come si
può notare, è una equazione abbastanza complessa e difficile da risolvere. Per fortuna in molte applicazioni di quantomeccanica applicate alla
2 DIMOSTRAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA DI SCRÖDINGER
chimica si utilizza un’equazione più semplice, l’equazione di Scrödinger
indipendente dal tempo
~ ∂Ψ(x, t)
~2 ∂ 2 Ψ(x, t)
·
=−
+ V (x) · Ψ(x, t)
i
∂t
2 · m2 ∂x2
Se osserviamo il primo membro dell’equazione (17)
−
(17)
~ ∂Ψ(x, t)
− ·
i
∂t
è un’equazione dipendente dal tempo, mentre il secondo membro
dell’equazione (17)
−
~2 ∂ 2 Ψ(x, t)
+ V (x) · Ψ(x, t)
2 · m2 ∂x2
è un’equazione indipendente dal tempo. Nell’equazione (17) come si
può notare l’energia potenziale, V(x ), dipende solo dalla variabile x e non
dal tempo. Uguagliando il primo membro dell´equazione (17) a E·Ψ(x, t)
otteniamo un’equazione dipendente dal tempo e se noi uguagliamo il secondo membro dell´equazione (17) a E·Ψ(x, t) otteniamo un’equazione
indipendente dal tempo. Le due equazioni sono:
~ ∂Ψ(x, t)
i
∂t
(18)
~2 ∂ 2 Ψ(x, t)
+ V (x) · Ψ(x, t)
2 · m ∂x2
(19)
EΨ(x, t) = −
EΨ(x, t) = −
La funzione d’onda Ψ(x, t) può essere risolta utilzzando il metodo delle
variabili separate. Scriviamo la funzione d’onda Ψ(x, t) nella seguente
forma:
Ψ(x, t) = ϕ(x) · f (t)
(20)
Sostituiamo l’equazione (20) nell’equazione (18) e quindi avremo:
Eϕ(x) · f (t) = −
−i
~ ∂ϕ(x) · f (t)
i
∂t
(21)
Eϕ(x) · f (t)
∂f (t)
= ϕ(x)
~
∂t
(22)
1
iE
∂t =
∂f (t)
~
f (t)
(23)
−
Scriviamo l’equazione (23) nella forma differenziale e integrando si ha:
5
2 DIMOSTRAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA DI SCRÖDINGER
Z
1
df (t) = −
f (t)
ln f (t) = −
f (t) = e−
Z
iE
dt
~
iEt
+c
~
iEt
~
(24)
(25)
· ec
(26)
Sostituiamo l’equazione (26) nell’equazione (20) e quindi si ha:
Ψ(x, t) = A · ϕ(x) · e−
iEt
~
(27)
La funzione d’onda dell’equazione (27) è una funzione complessa,
ma la quantità che noi osserviamo sperimentalmente è la densità di probabilità [|Ψ(x, t)|2 ]. Il quadrato del valore assoluto di una quantità complessa è dato dal prodotto della quantità [|Ψ(x, t)|] per il suo complesso
coniugato [|Ψ(x, t)|∗ ].
|Ψ(x, t)|2 = Ψ(x, t) · Ψ(x, t)∗
Ψ(x, t) · Ψ(x, t) =
∗
A · ϕ(x) · e
− iEt
~
iEt
· A · ϕ(x) · e ~
(28)
(29)
|Ψ(x, t)|2 = A2 · ϕ(x) · ϕ(x)∗ e0 = A2 · ϕ(x) · ϕ(x)∗
(30)
|Ψ(x, t)|2 = |ϕ(x)|2
(31)
L’equazione (31) ci sta ad indicare che la funzione d’onda di Scrödinger è indipendente dal tempo.
Equazione d’onda di Scrödinger
equazione d onda.html
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