Equazione d’onda di Scrödinger documento scritto in LATEX Giuseppe Dinoi 14/03/2004 EQUAZIONE D’ONDA DIDISCR EQUAZIONE D’ONDA SCRÖDINGER ÖDINGER c copyright 2002 2004 1 Introduzione Con Il Principio di indeterminazione di Heisenberg non è più possibile parlare di orbita ma di orbitale. Gli orbitali come abbiamo già visto rappresentano delle zone di spazio dove è possibile trovare l’elettrone. Gli orbitali atomici vengono fuori da funzioni matematiche. Scrödinger riuscı̀ a determinare la funzione d’onda dell’atomo d’idrogeno. Gli orbitali atomici1 come abbiamo visto assumono forme particolari: gli orbitali s sferica, gli orbitali p lobata, gli orbitali d quadrifogliare e per concludere gli orbitali f assumono forme più complesse. Queste forme vengono fuori da funzioni matematiche, nelle immagini seguenti vengono riportate le rappresentazioni grafiche delle funzioni d’onda degli orbitali p e d. 1 orbitali atomici.html 1 2 DIMOSTRAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA DI SCRÖDINGER z y z y x Fig.1 Funzione d´onda dell´orbitale p 2 2 x Fig.2 Funzione d´onda dell´orbitale d Dimostrazione della Funzione d’onda di Scrödinger ET = Ec + Ep (1) dove: Ec è l’energia cinetica della particella Ec = Energia cinetica Ep è l’energia potenziale della particella Ep = Energia potenziale Dalla fisica classica sappiamo che l’energia cinetica è uguale a: Ec = 1 m · 2 v2 (2) dove: m è la massa della particella e v la velocità della particella. moltiplichiamo e dividiamo l’equazione 2 per la massa m e quindi avremo: 1 m2 · v2 (3) 2·m dove v · m è la quantità di moto della particella (p = m · v). L’equazione 3 diventa quindi: 1 Ec = · p2 (4) 2·m L’equazione dell’energia totale del nostro sistema, l’atomo d’idrogeno, tenendo conto dell’ equazione 1, dell’ equazione 2 e dell’ equazione 3 è: Ec = 2 DIMOSTRAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA DI SCRÖDINGER 1 ET = m · v 2 + Ep 2 m2 · v 2 ET = + Ep 2·m p2 ET = + Ep 2·m (5) (6) (7) Il comportamento dell´elettrone come tutte le particelle subatomiche viene spiegato dalla fisica quantistica.Per passare dalla fisica classica alla fisica quantistica dobbiamo trovare un operatore che agendo su una funzione d´onda, Ψ, ci permette di determinare i valori dell´energia. L´operatore che noi cerchiamo prende il nome di operatore Hamiltoniano e viene indicato con Ĥ, la funzione d’onda Ψ prende il nome di autofunzione e i valori dell’energia prendono il nome di autovalori. A questo punto non ci resta che determinare l’operatore Hamiltoniano, Ĥ. Applicando la matematica degli operatori scriveremo l’equazione (7) nella seguente forma: p̂2 + Êp (8) 2·m L’accento circonflesso mi sta ad indicare che abbiamo a che fare con degli operatori matematici. A questo punto non ci resta che associare alla quantità di moto p un operatore lineare di tipo Hermitiano. C’è da → tener presente, inoltre, che la quantità di moto ( − p ) è un vettore e come tutti i vettori ha tre componenti che si sviluppano lungo gli assi cartesiani → → → X, Y e Z ( − p x, − py e − p z ). → Gli operatori associati alla quantità di moto, − p sono i seguenti: Ê = p̂x = ~ ∂ ; i ∂x p̂y = ~ ∂ ; i ∂y p̂z = ~ ∂ i ∂z (9) Il simbolo ~ si legge acca tagliato (costante di Planck . Il quadrato dell’ operatore quantità di moto sarà quindi uguale a: p̂2 = p̂2x + p̂2y + p̂2z 2 2 ~ ∂ ~ ∂ + + p̂ = i ∂y i ∂z √ Sapendo che i è la radice di -1 (i = −1) avremo: 2 ∂ ∂2 ∂2 2 2 p̂ = −~ · + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 2 ~ ∂ i ∂x 2 (10) (11) (12) Sostituiamo l’ equazione (12) nel’ equazione (5), e quindi otteniamo l’ Operatore Hamiltoniano Ĥ. 2 ∂ ∂2 ∂2 ~2 · + + + Êp (13) Ĥ = − 2·m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 3 2 DIMOSTRAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA DI SCRÖDINGER L’equazione d’onda di Schrödinger sarà quindi uguale a: 2 ~2 ∂2 ∂2 ∂ Ê = − + Êp · + + 2·m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ~2 ĤΨ(x, y, z, t) = − · 2·m ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 4 (14) · Ψ(x, y, z, t) + Êp · Ψ(x, y, z, t) (15) Nell’ equazione (15) notiamo che la funzione d’ onda dipende dalle variabili spaziali x, y e z e dalla variabile tempo (t). 2.1 Funzione d’onda di Scrödinger indipendente dal tempo Per dimostrare che l’equazione d’onda di Scrödinger è indipendente dal tempo, immaginiamo che l’elettrone si muova lungo una sola direzione l’ asse X , come se fosse imprigionato all’ interno di una scatola monodimensionale, la funzione d’onda di Scrödinger tenendo conto della variabile spaziale x e della variabile tempo (t) è: Ψ(x,t). X Fig.3 L’elettrone può essere considerato una piccolissima particellla imprigionato in una scatolo mono-dimensionale in continuo movimento lungo l’asse X. I confini della scatola sono fissati da due assi perpendicolari. La domanda che si pose Scrödinger è la seguente: se è possibile trovare un’equazione per vedere come la funzione d’onda cambia con il tempo, conoscendo lo stato iniziale. L’equazione postulata da Scrödinger dipendente dal tempo è: − ~2 ∂ 2 Ψ(x, t) ~ ∂Ψ(x, t) · =− + V (x, t) · Ψ(x, t) i ∂t 2 · m2 ∂x2 (16) dove V(x,t) è l’l’energia potenziale che varia in funzione della coordinata x e del tempo (t). L’equazione dipendente dal tempo, postulata da Scrödinger, come si può notare, è una equazione abbastanza complessa e difficile da risolvere. Per fortuna in molte applicazioni di quantomeccanica applicate alla 2 DIMOSTRAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA DI SCRÖDINGER chimica si utilizza un’equazione più semplice, l’equazione di Scrödinger indipendente dal tempo ~ ∂Ψ(x, t) ~2 ∂ 2 Ψ(x, t) · =− + V (x) · Ψ(x, t) i ∂t 2 · m2 ∂x2 Se osserviamo il primo membro dell’equazione (17) − (17) ~ ∂Ψ(x, t) − · i ∂t è un’equazione dipendente dal tempo, mentre il secondo membro dell’equazione (17) − ~2 ∂ 2 Ψ(x, t) + V (x) · Ψ(x, t) 2 · m2 ∂x2 è un’equazione indipendente dal tempo. Nell’equazione (17) come si può notare l’energia potenziale, V(x ), dipende solo dalla variabile x e non dal tempo. Uguagliando il primo membro dell´equazione (17) a E·Ψ(x, t) otteniamo un’equazione dipendente dal tempo e se noi uguagliamo il secondo membro dell´equazione (17) a E·Ψ(x, t) otteniamo un’equazione indipendente dal tempo. Le due equazioni sono: ~ ∂Ψ(x, t) i ∂t (18) ~2 ∂ 2 Ψ(x, t) + V (x) · Ψ(x, t) 2 · m ∂x2 (19) EΨ(x, t) = − EΨ(x, t) = − La funzione d’onda Ψ(x, t) può essere risolta utilzzando il metodo delle variabili separate. Scriviamo la funzione d’onda Ψ(x, t) nella seguente forma: Ψ(x, t) = ϕ(x) · f (t) (20) Sostituiamo l’equazione (20) nell’equazione (18) e quindi avremo: Eϕ(x) · f (t) = − −i ~ ∂ϕ(x) · f (t) i ∂t (21) Eϕ(x) · f (t) ∂f (t) = ϕ(x) ~ ∂t (22) 1 iE ∂t = ∂f (t) ~ f (t) (23) − Scriviamo l’equazione (23) nella forma differenziale e integrando si ha: 5 2 DIMOSTRAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA DI SCRÖDINGER Z 1 df (t) = − f (t) ln f (t) = − f (t) = e− Z iE dt ~ iEt +c ~ iEt ~ (24) (25) · ec (26) Sostituiamo l’equazione (26) nell’equazione (20) e quindi si ha: Ψ(x, t) = A · ϕ(x) · e− iEt ~ (27) La funzione d’onda dell’equazione (27) è una funzione complessa, ma la quantità che noi osserviamo sperimentalmente è la densità di probabilità [|Ψ(x, t)|2 ]. Il quadrato del valore assoluto di una quantità complessa è dato dal prodotto della quantità [|Ψ(x, t)|] per il suo complesso coniugato [|Ψ(x, t)|∗ ]. |Ψ(x, t)|2 = Ψ(x, t) · Ψ(x, t)∗ Ψ(x, t) · Ψ(x, t) = ∗ A · ϕ(x) · e − iEt ~ iEt · A · ϕ(x) · e ~ (28) (29) |Ψ(x, t)|2 = A2 · ϕ(x) · ϕ(x)∗ e0 = A2 · ϕ(x) · ϕ(x)∗ (30) |Ψ(x, t)|2 = |ϕ(x)|2 (31) L’equazione (31) ci sta ad indicare che la funzione d’onda di Scrödinger è indipendente dal tempo. Equazione d’onda di Scrödinger equazione d onda.html 6