Esercizio svolto 1 Dati: R1 = 4 R2 = 3 R3 = 1 I G = 4A =2 Determinare la corrente I e le potenze rispettivamente erogate dal generatore Ig e dal generatore αI. Per trovare la grandezza pilota uso la sovrapposizione degli effetti 1. Considero solo il generatore di corrente Ig, aprendo αI: R1 I' R2 3 3 I ' = IG =4 = R2 R1 R2R 3 8 2 R3 Ig 2. Considero solo il generatore di corrente dipendente αI: R1 I'' R3 4 I'' = −I =− I R2 R1R2 R3 8 αI R3 (metto il meno perché αI immette corrente nel verso opposto) Per trovare la corrente I, effettuo la somma algebrica di I' e I'': 3 4 I = I' I ' ' = − I 2 8 4 3 3 3 I I = I= I =1 8 2 2 2 Per trovare le potenze erogate dai singoli generatori devo trovare le correnti su R2 ed R3: Sapendo che αI = 4A e Ig = 4A R1 1 2 I I IR2 R3 Scrivo le LKC: α R2 Nodo1 : − I R I G − I = 0 I R3 Ig Nodo 2: I I − I R = 0 Nodo3 : I R − I G − I I R = 0 { 3 Risoluzione della prima equazione: −I R 4 − 1 = 0 I R = 3 2 2 2 3 2 3 Risoluzione della seconda equazione: 1 4 − IR =0 I R =5 3 3 Verifico i risultati ottenuti con la terza equazione (che è ridondante): 3 − 4 − 4 5 = 0 0 = 0 verificata Calcolo la potenza erogata da Ig: La tensione tra il nodo 1 e il nodo 3 si ottiene mediante: R2 I R = 3⋅ 3 = 9V La potenza erogata si ottiene infine mediante: 9V⋅ I G = 9V ⋅ 4A = 36W 2 Calcolo la potenza erogata da αI: La tensione tra il nodo 2 e il nodo 3 si ottiene mediante: R3 I R = 1⋅5 = 5V La potenza erogata si ottiene infine mediante: 5V⋅ I = 5V⋅4A = 20W 3 Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Esercizi svolti con generatori dipendenti 1 Esercizio svolto 2 Dati: R1 = 5 I3 R2 = 1 R3 = 2 I G = 2A = 3 Determinare la corrente I e le potenze generate da Ig e αI. Per trovare la corrente I ed I3 (necessaria per il calcolo della potenza), uso la sovrapposizione degli effetti. 1. Considero solo il generatore di corrente Ig, aprendo αI: R 2 R3 12 6 =− 2 =− R 1 R 2 R3 512 8 R1 5 10 I 3' = I G =2 = R 1 R2 R 3 8 8 I ' = − IG I3 2. Considero solo il generatore di corrente αI, aprendo Ig: R3 2 6 = 3I = I R1 R2 R3 8 8 R1 R2 6 18 I 3' ' = − I = − 3I = − I R1 R 2 R 3 8 8 I ' ' = I I3 3. Trovo I ed I3: 6 6 I 8 8 10 18 I 3 = I 3' I 3' ' = − I 8 8 I = I' I ' ' =− 6 6 I =− 8 8 10 54 I3 = 8 8 I− 2 6 I =− 8 8 I = − 3A I 3 = 8A Calcolo la potenza erogata da Ig: P I = R1 ⋅ I ⋅ I G = 5⋅3 ⋅2 = 30W G Calcolo la potenza erogata da αI: P I = R3 ⋅ I 3 ⋅ I = 2⋅ 8⋅3⋅ 3 = 144W Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Esercizi svolti con generatori dipendenti 2 Esercizio svolto 3 Dati: R1 = 1 R2 = 3 R3 = 2 I G = 3A g = 0,5 S *1 [S] (Siemens) = 1A/V (Conduttanza elettrica) Determinare la tensione V2 e le potenze erogate da IG e gV2. Per trovare V2 e V1 (necessaria per calcolare la potenza), uso la sovrapposizione degli effetti. 1. Considero solo il generatore IG, aprendo gV2: R1 R3 3 9 3 =3 = = R1 R2 R3 6 6 2 R2 3 9 3 I 1' = IG =3 = = R1 R2R3 6 6 2 I 2' = I G I1 I2 2. Considero solo il generatore gV2, aprendo IG: g V 2 = g ⋅ R2 ⋅ − I 2 = 0,5⋅ 3⋅ − I 2 = −1,5 I 2 Metto il meno davanti a I2 perché il resistore è un utilizzatore e non può avere i versi concordi di tensione e corrente. I1 I2 R1 1,5 0,5 = I = I R1 R2R 3 6 2 2 2 R2R 3 7,5 2,5 I 1 ' ' = 1,5 I 2 = I = I R1R 2R3 6 2 2 2 I 2 ' ' = 1,5 I 2 3. Trovo I1, I2, V1 e V2: 3 0,5 I 2 = I2' I2 ' ' = I 2 2 2 I2− 0,5 3 I2= 2 2 I2= 3 = 2A 1,5 V 2 = − I 2 ⋅ R2 = − 2⋅ 3 = −6V Metto il meno davanti a I2 perché il resistore è un utilizzatore e non può avere i versi concordi di tensione e corrente. I 1 = I 1' I 1 ' ' = 3 2,5 2 2 2 I1 = 8 = 4A 2 V 1 = I 1 ⋅ R1 = 4 ⋅1 = 4V Calcolo la potenza erogata da Ig: P I = I G ⋅V 2 = 3⋅ 6 = 18W G Calcolo la potenza erogata da gV2: P g V = V 1 ⋅ g V 2 = 4⋅ 0,5⋅6 = 12W 2 Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Esercizi svolti con generatori dipendenti 3 Esercizio svolto 4 Dati: R1 = 4 R2 = 1 R3 = 2 E 1 = 30V E 2 = 12V =3 Determinare la tensione V2 e le singole potenze erogate da ogni generatore. Uso la sovrapposizione degli effetti. 1. Considero solo il generatore μV2, cortocircuitando E1 ed E2: V AB = VAB I 3' = I 2' = I 1' = V 2 R3 3 4 6 = ⋅ V2 = V2 1 1 1 2 7 7 R1 R2 R3 V AB − V 2 15 1 15 = − ⋅ V 2 =− V 2 R3 7 2 14 V AB 6 = V2 R2 7 V AB 6 1 3 = ⋅ V2= V R1 7 4 14 2 2. Considero i generatori E1 ed E2 cortocircuitando μV2 : E1 E 2 30 − − − 12 R1 R2 4 78 = =− 1 1 1 7 7 R1 R2 R3 4 V AB 78 1 39 =− ⋅ = − R3 7 2 7 E 2 V AB 6 = R2 7 E 1 V AB 132 1 33 = ⋅ = R1 7 4 7 − V AB = VAB I 3' ' = I 2' ' = I 1' ' = 3. Trovo le correnti I1,I2 ed I3: V 2 = R2 ⋅ I 2 = I 2 6 6 6 6 I 2 = I 2 ' I 2' ' = I 2 I 2− I 2 = I2 = 6 7 7 7 7 3 33 42 I 1 = I 1' I 1' ' = 6 I1 = =6 14 7 7 15 39 84 I 3 = I 3' I 3' ' = − 6− I3 = − = − 12 14 7 7 4. Calcolo le potenze erogate dai generatori: P V = V 2 ⋅ I 3 = 216W P E = E 1 ⋅ I = 30 ⋅6 = 180W 2 1 P E = E 2 ⋅ I 2 = 72W 2 Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Esercizi svolti con generatori dipendenti 4 Esercizio svolto 5 Dati: R1 = 4 R4 = 6 g = 0,5 S R2 = 2 E1 = 12V R3 = 4 E 2 = 12V 1[S ]Siemens = 1 V / A Determinare le correnti dei resistori Come prima cosa si nota che la tensione ai capi di R4 è imposta da E2, per cui si può calcolare subito la corrente I4: E 12 I4= 2 = = 2A R4 6 La resistenza R4 non influisce sul resto del circuito. Si nota che i rami del circuito sono posti tutti i parallelo, per cui è possibile calcolare la tensione VAB supponendo noto il valore del generatore dipendente: E1 E − gV 3 2 R R3 3 −2I3 3 V AB = 1 = = 6−2 I 3 1 1 1 1 R1 R2 R3 Trovo la grandezza pilota: V − E2 − 6− 2I3 3 1 I 3 = AB = = − − I3 R3 4 2 2 3 3 I3 = − 2 2 I 3 = − 1A A questo punto posso trovare il valore numerico di VAB: V AB = 6 − 2 I 3 = 6 2 = 8V Trovo le altre correnti: E 1 − V AB 12 − 8 I1= = = 1A R1 4 V 8 I 2 = AB = = 4A R2 2 Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Esercizi svolti con generatori dipendenti 5 Esercizio svolto 6 Dati: R1 = 4 E 1 = 8V R2 = 10 R3 = 4 E 2 = 8V = 3 Determinare le correnti nei resistori Uso la sovrapposizione degli effetti. 1. Considero solo il generatore E1, cortocircuitando gli altri 2: Noto che cortocircuitando gli altri due generatori, la resistenza R2 è collegata in parallelo ad un corto circuito, per cui non la considero. Graficamente ho questa situazione: Posso procedere a calcolare le due correnti: E1 I 1' = − = − 2A R1 E I 3 ' = 1 = 2A R3 2. Considero solo il generatore αV1, cortocircuitando gli altri 2: Noto che i punti A, B e C sono equipotenziali, dato che sono collegati tramite dei cortocircuiti, quindi posso ridisegnare il circuito per renderlo più facilmente interpretabile: αV1 I 1' ' = R1 I1 3V1 3 = V1 R1 4 R2 I2 I 2' ' = Nota: In R3 non scorre corrente perché è ai capi di un corto circuito 3V1 3 = V R2 10 1 3. Considero solo il generatore E2, cortocircuitando gli altri 2: Noto che cortocircuitando gli altri due generatori, la resistenza R1 è collegata in parallelo ad un corto circuito, per cui non la considero. Graficamente ho questa situazione: Posso procedere a calcolare le due correnti: E E 8 I 2' ' ' = 2 = A I 3 ' ' ' = 2 = 2A R 2 10 R3 4. Trovo tutte le correnti come somma algebrica dei contributi dei generatori: 3 I 1 = − 2 R1 I 1 I1 − 3 I1 = − 2 I 1 = 1A 4 12 8 I2= = 2A 10 10 I 3 = 2 2 = 4A Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Esercizi svolti con generatori dipendenti 6