Diapositiva 1 - Saetta e Livatino

Elementi di Logica
introduzione
© 2006
Corso multimediale di matematica
Prof. Calogero Contrino
Elementi di logica :
introduzione
Una delle prerogative fondamentali che distingue l’ «essere umano» dagli altri esseri viventi è
quella di aver saputo costruire ed utilizzare un’ampia varietà di linguaggi (verbali e non) per
rispondere ad una esigenza primaria: la comunicazione ( di emozioni, di sentimenti, di
opinioni, di concetti, di idee …) agli altri da sè.
Prende corpo, gradualmente nel corso della storia, per l’uomo che ha imparato a leggere e
scrivere, l’esigenza di verificare se la comunicazione del proprio pensiero avvenga in modo
corretto o meno ed anche se i ragionamenti che traducono l’attività del pensare siano essi
stessi corretti.
Nasce e si codifica e sviluppa a tal proposito nel corso dei secoli una nuova disciplina: la
logica.
Per la civiltà occidentale la culla di tale disciplina è ancora una volta l’antica Grecia.
Un precursore è sicuramente Talete per aver impiegato il metodo deduttivo per primo in
questioni matematiche.
Ma il vero padre della logica è sicuramente da ritenersi Aristotele (4° secolo a.C.) il quale nella
ʼʹ ˘
sua opera «»
(letteralmente strumento) getta le basi sistematiche della nuova
ʹ
‵ »
disciplina anche se non le assegna un nome specifico. Il termine «x
fu usato per
la prima volta dalla scuola dei filosofi stoici .
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Elementi di logica :
etimologia del termine
Al fine di individuare con maggior precisione il campo d’indagine della logica è utile indagare
l’etimologia del termine. L’aggettivo « x » deriva dal termine «» che annovera, nel
linguaggio comune dell’antica Grecia, tra le sue accezioni:
•
•
•
Parola, proposizione, discorso
Ragione, facoltà intellettiva, giudizio, regola
Conto, computo
L’etimologia appare quindi con un carattere variegato, e variegata sarà l’evoluzione di questa
disciplina da Aristotele ad oggi.
Nella sua opera Aristotele intende ricercare la scienza della dimostrazione e del sapere
dimostrativo e indica come oggetti di tale scienza le proposizioni (analizzate dal punto di
vista della loro verità o falsità) e il loro modo di concatenarsi nel discorso dimostrativo, di cui si
passa
ad
deve esaminare ancora una volta l’aspetto della verità e della falsità. Quindi
esaminare i termini fondamentali della proposizione (soggetto e predicato) e termina con
l’esame dei sillogismi ( concatenazione di proposizioni che partendo da alcune premesse
arriva ad una conclusione. Nel seguito è riportato un esempio di tale tipo di ragionamento:
Tutti gli uomini sono mortali ;
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Socrate è un uomo ;
Socrate è mortale.
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Elementi di logica :
il punto di vista degli stoici
Per la scuola stoica la logica più che essere uno strumento della filosofia è parte integrante di
essa (con la fisica e l’etica) e viene intesa come la scienza del ragionamento ipotetico deduttivo (dialettica) in cui le proposizioni (parti semplici del discorso) sono legati dalle
particelle connettive se…. (antecedente) allora… (conseguente) . Inoltre con una chiarezza che
non è presente in Aristotele gli stoici individuano nei termini impiegati in un discorso tre aspetti
fondamentali, due materiali ed uno immateriale:
•
•
•
ʹ
Significante ()
: il suono del termine (ed il suo corrispondente grafico)
ʹ
Significato ()
: la rappresentazione mentale del termine e del suo oggetto
ʹ
Evento ()
: l’oggetto a cui si riferisce il significante
È utile a questo punto riportare una cronologia delle tappe fondamentali nello sviluppo della
logica fino ai tempi nostri .
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Elementi di logica :
gli sviluppi – scheda cronologica
SCHEDA CRONOLOGICA
DATA
figure
Sviluppi
IV sec. a.C.
Aristotele
III sec. a.C.
Zenone, Crisippo;
Logica ipotetico-deduttiva
Cicerone, Galeno;
Introduzione della logica aristotelica nel mondo latino
Porfirio, Boezio;
Problema della natura degli oggetti della logica
I sec. a.C. − II sec. d.C.
III sec. d.C. − VI sec. d.C.
Logica deduttiva : sillogismo
,
1000 – 1200
• Bernardo di Chartres, Anselmo Disputa tra realisti (gli oggetti della Logica sono enti reali) e
d’Aosta;
nominalisti (gli oggetti della Logica sono forme del
• Roscellino, Abelardo, Ockam; discorso)
1200 – 1400
• Duns Scoto;
• Tommaso d’Aquino ;
Gli oggetti della Logica sono atti mentali
Gli oggetti della Logica sono forme del discorso
Raimondo Lullo ;
Idea che il ragionamento logico possa essere assimilato
ad un calcolo , sviluppo di un programma di ricerca che
non raggiunge gli scopi prefissati.
Gottfried Leibniz ;
Ripresa del programma di Lullo con un duplice scopo :
• trattare la logica secondo “ il costume dei matematici”
• applicare la logica (rigore formale e metodi deduttivi )
in modo sistematico alla matematica .
Non vengono ottenuti risultati fondamentali.
1300
1600 – 1700
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Elementi di logica :
gli sviluppi – scheda cronologica
SCHEDA CRONOLOGICA
DATA
1847
figure
Pubblica «l’Analisi Matematica della Logica» è risolto il
problema affrontato da Lullo e Leibniz.
George Boole
,
1880 – 1900
1931
1930 − 1954
…….
Sviluppi
Peano, Frege, Hilbert, Russell;
Con i loro contributi la logica diventa a pieno titolo logica
matematica.
Kurt Gödel;
Teoremi d’incompletezza
Turing , Von Neumann;
Si pongono le basi per la nascita dell’informatica
…….
…….
Concludendo questa parte della trattazione una nota curiosa: alla luce degli sviluppi storici il
termine «» è risultato profetico per quanto riguarda la sua accezione di «conto, computo ».
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Elementi di logica :
La costruzione di un linguaggio
Si riflette a questo punto, molto brevemente, sulle diverse fasi che intercorrono nella
creazione di un qualsiasi linguaggio, effettuando un confronto tra il nostro linguaggio
naturale(italiano) ed il linguaggio matematico:
La costruzione di un linguaggio
Fasi
Linguaggio naturale
Linguaggio matematico
a b c… z
+ - ≤ a 3 ( ) ∞ √ ∫ ∑ ≜ …..
Scelta dei simboli
Costruzione dei termini
ammessi
giro
Costruzione delle frasi
non ammessi
barca
auto
Bbuono
canpo
ammessi
relofo
√4
+5
non ammessi
(-1)
-:
(]
3:0
ben formate
non ben formate
ben formate
non ben formate
Le note musicali sono sette
La terra ruota intorno al sole
Egli ha andato a Roma
3+8=11
(3+5)+2]=10
Il sole sorge ad ovest
Il paesaggio è fantastico
La barca va a piedi
Un’unghia d’ombra
Luigi e forte
Fiori i sono belli
y=log(2-3)
3>10 -1
7+1= 10
y=2 +(-√ )
Si noti che, tra i termini non ammessi, mentre i termini del linguaggio naturale «Bbuono» e
«canpo» non rispettano le regole di formazione «relofo» le rispetta ma è privo di significato.
Analogamente nel linguaggio matematico «-:» e «(]» non rispettano le regole mentre «3:0)» è
privo di significato.
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Elementi di logica :
Giudizio di verità
Inoltre tra le frasi ben formate dei due linguaggi, alcune sono delle affermazioni vere, altre
sono affermazioni false , per altre ancora il giudizio di verità è talvolta soggettivo talvolta legato
al contesto, inoltre alcune frasi sono prive di significato ma in un particolare contesto possono
assumerlo. Infine alcune frasi non costituiscono affermazioni.
Nel seguito ci occuperemo di frasi ben formate, di un qualsiasi linguaggio, sulle quali si può
esprimere un giudizio di verità .
È qui opportuno specificare che nel contesto dell’esposizione il giudizio di verità che viene
espresso sulle proposizioni si basa su due valori ammessi : V = vero e F = falso. In questo
senso la logica che esamineremo è detta a due valori o bivalente. Si tenga presente però
che sono state sviluppate anche logiche a più valori; negli anni settanta del secolo scorso è
nata addirittura una logica ad infiniti valori di verità : la logica cosiddetta «Fuzzy» (sfocata) che
tra l’altro ha avuto innumerevoli ricadute nella scienza e nella tecnologia. Ma di esse noi non ci
occuperemo, nemmeno marginalmente.
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Elementi di logica :
Frasi ben formate: tipologie
Consideriamo a tale scopo la seguente tabella che riporta alcune frasi ben formate
frasi ben formate
tipologia
A1
Linguaggio naturale
A2
Mario ha gli occhi verdi
Paolo studia e pratica lo sport
B1
Tizio ha gli occhi verdi
B2
Caio ha gli occhi verdi o i capelli neri
Linguaggio matematico
3+2=5
2 < 4 ∧ 4 = 22
3+x=5
3<y∧ y<5
Si nota subito che per le frasi della tipologia A si può immediatamente esprimere un giudizio di
verità perché tutti i termini del discorso sono delle costanti. Mentre per le frasi della tipologia B
ciò non accade perché son presenti dei termini variabili (tizio, caio, x, y). Tale problema viene
superato però se alle variabili vengono fatti assumere i valori di un determinato insieme di
riferimento (di persone o di numeri nei nostri esempi)
Inoltre nelle tipologie A1, B1 si fa una sola affermazione sulle proprietà del soggetto, mentre
nelle tipologie A2 e B2 si fanno più affermazioni.
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Elementi di logica :
Proposizioni e frasi aperte
Alla luce di quanto esaminato si possono dare le seguenti definizioni
Proposizione
Si dice proposizione una frase ben formata( fbf ) di un determinato linguaggio, costituita
da termini costanti sulla quale è esprimibile un giudizio di verità .
Frase aperta
Si dice frase aperta una frase ben formata( fbf ) di un determinato linguaggio, costituita
da termini costanti e variabili sulla quale non è esprimibile un giudizio di verità ma che
diventa una proposizione quando le variabili in essa contenute vengono sostituite dagli
elementi di determinati insiemi di riferimento.
Si considerino ora le seguenti frasi : Paolo studia e pratica lo sport ; 2 < 4 ∧ 4 = 22 ;
Giovanni canta o nuota .
La prima è scomponibile nelle proposizioni Paolo studia; Paolo pratica lo sport ;
La seconda è scomponibile nelle proposizioni 2 < 4; 4 = 22 ;
La terza è scomponibile nelle proposizioni Giovanni canta ; Giovanni nuota ;
Le proposizioni di partenza sono ottenute da proposizioni più semplici con l’impiego di
particelle connettive («e»,«∧»,o). Le proposizioni più semplici non sono ulteriormente
scomponibili in generale però tale processo di scomposizione può essere reiterato più volte.
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Elementi di logica :
Proposizioni atomiche e molecolari
Si possono pertanto dare le ulteriori definizioni
Proposizione atomica (o elementare)
Una proposizione è detta atomica se non è scomponibile in proposizioni più semplici.
Proposizione molecolare (o composta)
Una proposizione è detta molecolare se è scomponibile in proposizioni più semplici.
Le proposizioni molecolari si ottengono da quelle atomiche con l’impiego di connettivi logici
(negli esempi precedenti abbiamo visto il ruolo di «e» ed «o» … ) che vengono utilizzati come
operatori veri e propri mentre gli operandi sono ovviamente le proposizioni atomiche ed il
risultato è rappresentato dalle proposizioni molecolari più o meno complesse.
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11/8
Elementi di logica :
Proposizioni atomiche e molecolari
Si esamineranno nel seguito le operazioni elementari eseguibili sulle proposizioni atomiche.
A tale scopo si specifica che per indicare le proposizioni saranno adottati i seguenti simbolismi:
•
•
Lettere minuscole in corsivo per le proposizioni atomiche
Lettere maiuscole in corsivo per le proposizioni molecolari
Esempio:
Si abbia la seguente proposizione molecolare :
oggi piove e sono inzuppato d’acqua (tradotta in simboli : A)
Le proposizioni atomiche che la compongono sono :
•
•
oggi piove (tradotta in simboli : a)
sono inzuppato d’acqua (tradotta in simboli : b)
I’operatore logico che le connette è la congiunzione: e (in simboli : ∧)
Pertanto in simboli si scriverà il tutto nel modo seguente: A = a ∧ b
La scrittura simbolica di una proposizione molecolare in termini delle proposizioni atomiche è
detta formula (es. (a ∧ b) → c ).
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Elementi di logica :
Calcolo proposizionale e tabelle di verità
Il problema generale del calcolo proposizionale consiste nel determinare i valori di verità
assunti da una proposizione molecolare più o meno complessa in relazione ai valori di assunti
dalle singole proposizioni atomiche che la compongono.
Un metodo molto semplice per risolvere il problema (nelle situazioni meno complesse) è quello
che impiega le cosiddette tavole di verità (truth table).
Una tavola di verità è una tabella che in ciascuna colonna riporta i valori di verità di ciascuna
proposizione atomica o molecolare, nell’ultima colonna a destra sono riportati i valori assunti
dalla proposizione risultante.
In basso è riportato un esempio relativamente alla proposizione molecolare A = ﹁( a ∨ ﹁ b)
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a ∨ ﹁b
﹁( a ∨ ﹁b )
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
a
b
﹁b
F
F
F
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13/8
Elementi di logica :
operazioni logiche : negazione
La prima operazione logica che esamineremo è la
Negazione
operatore : non
simbolo:﹁
Assegnata una proposizione atomica a la sua negazione si ottiene premettendo alla
proposizione l’ operatore non in simboli si ha cioè ﹁a (si legge non a).
Si chiarisce qui che l’operatore va premesso alla proposizione considerata come un
unicum e si rischia un errore grave applicandolo a parti interne di essa inoltre dovendo
leggere una proposizione per esteso è talvolta opportuno, per una migliore discorsività,
sostituire l’operatore « non » con una circonlocuzione, per esempio : « non è vero che …» .
esempi
Proposizione
Mario ha gli occhi verdi
Negazione della proposizione
Forma errata
Forme corrette
Tutti gli italiani parlano italiano
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Mario ha gli occhi azzurri
Non è vero che Mario ha gli occhi verdi
Mario non ha gli occhi verdi
Forma errata
Tutti gli italiani non parlano italiano
Forme corrette
Non tutti gli italiani parlano italiano
Non è vero che tutti gli italiani parlano italiano
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Elementi di logica
operazioni logiche : tabella di verità della negazione
La tabella di verità della negazione è la seguente:
negazione : tabella di verità
a
﹁a
F
V
V
F
Si ha cioè che la proposizione molecolare risulta vera se l’operando ( la proposizione da
negare) è falsa risulta invece falsa se l’operando (la proposizione da negare) è vera.
Si osservi che l’operatore «non» si applica ad una sola proposizione , per tale motivo esso
viene detto operatore unario.
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15/8
Elementi di logica :
operazioni logiche : congiunzione
La seconda operazione logica che esamineremo è la
congiunzione
operatore : e
simbolo: ∧
Assegnate due proposizioni atomiche a , b la congiunzione di a , b si ottiene connettendo le
due proposizioni date con l’operatore e ; in simboli si ha cioè a ∧ b (si legge : a e b).
Nella tabella che segue sono riportati degli esempi
esempi
Proposizioni atomiche
proposizione molecolare
a : Mario ha gli occhi verdi
a∧b
: Mario ha gli occhi verdi e
a∧b
: oggi piove e oggi vado a scuola
Giovanna canta
b : Giovanna canta
a : oggi piove
b : oggi vado a scuola
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Elementi di logica
operazioni logiche : tabella di verità della congiunzione
La tabella di verità della congiunzione è la seguente:
congiunzione : tabella di verità
a
b
a∧b
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
Si ha cioè che la proposizione molecolare risulta vera se ambedue gli operandi (le proposizioni
atomiche) sono vere.
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Elementi di logica :
operazioni logiche : disgiunzione inclusiva
La terza operazione logica che esamineremo è la
disgiunzione inclusiva
operatore : o
simbolo: ∨
Assegnate due proposizioni atomiche a , b la disgiunzione inclusiva di a , b si ottiene
connettendo le due proposizioni date con l’operatore o (nel senso del latino vel ); in simboli
si ha cioè a ∨ b (si legge : a o b).
Nella tabella che segue sono riportati degli esempi
esempi
Proposizioni atomiche
a : il triangolo è rettangolo
b : 16 è divisibile per 4
a : oggi vado al mare
b : oggi mangio l’anguria
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proposizione molecolare
a∨b
: il triangolo è rettangolo o 16 è divisibile per 4
a∨b
: oggi vado al mare o oggi mangio l’anguria
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18/8
Elementi di logica
operazioni logiche : tabella di verità della disgiunzione inclusiva
La tabella di verità della disgiunzione inclusiva è la seguente:
disgiunzione inclusiva : tabella di verità
a
b
a∨b
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
Si ha cioè che la proposizione molecolare risulta vera nei casi in cui almeno uno degli operandi
( proposizioni atomiche ) è vero.
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19/8
Elementi di logica :
operazioni logiche : disgiunzione esclusiva
La quarta operazione logica che esamineremo è la
disgiunzione esclusiva
operatore : o…o
simbolo: Ⓥ
Assegnate due proposizioni atomiche a , b la disgiunzione esclusiva di a , b si ottiene
connettendo le due proposizioni date con l’operatore o … o (nel senso del latino aut ); in
simboli si ha cioè a Ⓥ b (si legge : o a o b).
Nella tabella che segue sono riportati degli esempi
esempi
Proposizioni atomiche
a : il triangolo è rettangolo
b : il triangolo è scaleno
a : oggi vado al cinema
b : oggi vado in discoteca
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proposizione molecolare
aⓋb
: o il triangolo è rettangolo o è scaleno
aⓋb
: o oggi vado al cinema o vado in discoteca
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20/8
Elementi di logica
operazioni logiche : tabella di verità della disgiunzione esclusiva
La tabella di verità della disgiunzione inclusiva è la seguente:
disgiunzione esclusiva: tabella di verità
a
b
a∨b
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
Si ha cioè che la proposizione molecolare risulta vera nei casi in cui solo uno degli operandi (
proposizioni atomiche ) è vero.
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21/8
Elementi di logica :
operazioni logiche : implicazione materiale
La successiva operazione logica che esamineremo è la
Implicazione materiale
operatore : se… allora
simbolo: →
Assegnate due proposizioni atomiche a , b l’implicazione materiale di a , b si ottiene
connettendo le due proposizioni date con l’operatore se …. allora ; in simboli si ha a → b (si
legge : se a allora b od anche a implica b). La proposizione a è detta antecedente la proposizione
b è detta conseguente.
Nella tabella che segue sono riportati degli esempi
esempi
Proposizioni atomiche
a : oggi piove
b : esco con l’ombrello
a : Angelo studia tutti i giorni
b : Angelo sarà promosso
a : Domenico gioca al Tennis
proposizione molecolare
a → b : se oggi piove allora esco con l’ombrello
a → b : se Angelo studia tutti i giorni allora sarà promosso
a → b : se Domenico gioca al tennis allora Egli è il Papa
a : Domenico è il Papa
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22/8
Elementi di logica
operazioni logiche : tabella di verità dell’implicazione materiale
La tabella di verità dell’implicazione materiale è la seguente:
implicazione materiale : tabella di verità
a
b
a→b
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
Si ha cioè che la proposizione molecolare risulta falsa solo se il conseguente è falso quando
l’antecedente è vero mentre è vera in tutti gli altri casi .
Nota: non si deve confondere l’implicazione materiale con l’implicazione logica (simbolo ⇒)
che sarà esaminata più avanti .
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23/8
Elementi di logica :
operazioni logiche : implicazione materiale
Data un’implicazione materiale a → b nasce la possibilità di considerare le seguenti
operazioni agendo opportunamente sul ruolo delle due proposizioni iniziali
Implicazione contraria
: se non a allora non b
in simboli: (﹁a) → (﹁b)
Implicazione inversa
: se b allora a
in simboli: b → a
Implicazione contronominale : se non b allora non a
in simboli: (﹁b) → (﹁a)
Le relative operazioni sono riportate nella tabella seguente
a
b
﹁a
﹁b
a→b
(﹁a) → (﹁b)
b→a
(﹁b) → (﹁a)
F
F
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
Si osservi che le proposizioni a → b e (﹁b) → (﹁a) hanno gli stessi valori di verità cosi come
b → a e (﹁a) → (﹁b) , quando accade ciò due proposizioni si dicono logicamente equivalenti.
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24/8
Elementi di logica
operazioni logiche : coimplicazione materiale
Come si è visto l’implicazione diretta ed inversa hanno due tabelle di verità diverse, pertanto
se sussiste l’implicazione diretta non sussiste quella inversa. Ma dal confronto delle due
tabelle di verità (vedi figura) si nota che se cambiamo opportunamente i valori di verità si ha
una nuova operazione detta coimplicazione materiale in cui la proposizione molecolare
sarà vera se e soltanto se a e b sono contemporaneamente entrambe vere o entrambe
false. Si ha cioè contemporaneamente se a allora b e se b allora a , più brevemente se e
solo se (acronimo : sse).
tabellacoimplicazione
di verità delle implicazioni
diretta ed
inversa
coimplicazione
materiale operatore
: se
e solo esedella
simbolo
: ↔
a
b
a→b
b→a
a↔b
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
Nota: non si deve confondere la coimplicazione materiale con la coimplicazione logica
(simbolo ⇔) che sarà esaminata più avanti .
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25/8
Elementi di logica
operazioni logiche : proprietà
Le operazioni logiche di congiunzione e disgiunzione godono delle seguenti proprietà formali :
proprietà d’idempotenza
p∧p = p
p
p
p∧p
p∨p
p∨p = p
F
F
F
F
V
V
V
V
proprietà commutativa
(p ∧ q) = (q ∧ p)
(p ∨ q) = (q ∨ p)
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p∧q q∧p p∨q q∨p
p
q
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
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26/8
Elementi di logica
operazioni logiche : proprietà
proprietà associativa
(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)
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p
q
r
p∧q
q∧r
(p ∧ q) ∧ r
p ∧ (q ∧ r)
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
p
q
r
p∨q
q∨r
(p ∨ q) ∨ r
p ∨ (q ∨ r)
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
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27/8
Elementi di logica
operazioni logiche : proprietà
proprietà distributiva
p ∧ (q ∨ r ) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r )
p ∨ (q ∧ r ) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r )
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p
q
r
q∨r
p∧q
p∧r
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
p
q
r
q∧r
p∨q
p∨r
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
p ∧ (q ∨ r ) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r )
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
p ∨ (q ∧ r ) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r )
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
03/04/2014
28/8
Elementi di logica
operazioni logiche : proprietà
Valgono inoltre le seguenti proprietà generali:
proprietà della complementarità ( o della doppia negazione)
﹁﹁p = p
p
﹁p
﹁﹁ p
F
V
F
V
F
V
leggi dell’assorbimento
p∧q p∨ (q∧p) p∨q p∧ (q∨p)
p
q
p∨(p∧q) = p
F
F
F
F
F
F
p∧(p∨q) = p
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
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29/8
Elementi di logica
operazioni logiche : proprietà
leggi di De Morgan
﹁( p ∧ q ) = ﹁ p ∨ ﹁ q
﹁( p ∨ q ) = ﹁ p ∧ ﹁ q
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p
q
p∧q
﹁( p ∧ q )
﹁p
﹁q
﹁p∨﹁q
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
p
q
p∨q
﹁( p ∨ q )
﹁p
﹁q
﹁p∧﹁q
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
03/04/2014
30/8
Elementi di logica :
tautologie e contraddizioni
Si hanno due importanti definizioni:
tautologia ( legge logica )
simbolo: ⊤
Dicesi tautologia una formula proposizionale sempre vera qualsiasi sia il valore di verità
delle proposizioni atomiche che in essa compaiono .
contraddizione
simbolo: ⊥
Dicesi contraddizione una formula proposizionale sempre falsa qualsiasi sia il valore di
verità delle proposizioni atomiche che in essa compaiono .
Una tautologia rappresenta uno schema di ragionamento sempre valido indipendentemente
dal valore di verità assunto dalle proposizioni atomiche che la compongono , per questo è
detta anche legge logica .
Per verificare che una formula proposizionale è una tautologia basta costruire la sua tabella di
verità.
Nel seguito vengono esaminate e verificate alcune tautologie d’interesse notevole.
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31/8
Elementi di logica
tautologie notevoli
Si esaminano inizialmente due tautologie che assurgono al ruolo di principio nella logica
bivalente .
principio del terzo escluso
⊤
a∨﹁a
a
﹁a a∨﹁a
F
V
V
F
V
V
Tale principio in forma discorsiva si può così esprimere:
una proposizione o è vera o è falsa, non esiste un’altra possibilità. (tertium non datur)
principio di non contraddizione
⊤
﹁ (a ∧ ﹁ a )
a
F
V
﹁a a∧﹁a
V
F
F
F
﹁(a∧﹁a)
V
V
Il principio in forma discorsiva si può così esprimere:
una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa .
Nota : Il principio di non contraddizione espresso in forma diretta diviene una contraddizione (principio di
contraddizione)
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32/8
Elementi di logica
tautologie notevoli
Si prosegue nell’esame delle tautologie più importanti .
Proprietà transitiva dell’implicazione materiale
⊤
((a → b) ∧ (b → c)) → (a → c)
a
b
c
a→b
b→c
a→c
(a → b) ∧ ( b → c
((a → b) ∧ (b → c)) → (a → c)
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
In forma discorsiva la proprietà transitiva si può così esprimere
se una proposizione a implica una proposizione b e se la proposizione b implica una
proposizione c allora la proposizione a implica la proposizione c.
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33/8
Elementi di logica
tautologie notevoli
legge di contrapposizione
⊤ = (a → b) → (﹁ b → ﹁ c)
a
b
﹁b
﹁a
a→b
﹁b → ﹁a
(a → b) → (﹁b → ﹁a)
F
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
In forma discorsiva la legge di contrapposizione si può così esprimere:
se una proposizione a implica una proposizione b e se la proposizione non b implica la
proposizione non a allora dalla proposizione ‟ a implica b ” ne consegue la proposizione
‟ non b implica la proposizione non a ” .
(più brevemente: da una implicazione diretta ne consegue la sua contronominale )
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